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1、中考数学压轴题-二次函数-存在性问题第10节 等边三角形的存在性 方法点拨一、两定一动A、确定点的位置B、求解过程二、两动一定三、方法总结 例题演练题组1：两定一动1如图，已知抛物线C1与x轴交于A（4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，2）将抛物线C1向右平移m（m0）个单位得到抛物线C2，C2与x轴交于D，E两点（点D在点E的左侧），与抛物线C1在第一象限交于点M（1）求抛物线C1的解析式，并求出其对称轴；（2）当m1时，直接写出抛物线C2的解析式；直接写出用含m的代数式表示点M的坐标（3）连接DM，AM在抛物线C1平移的过程中，是否存在ADM是等边三角形的情况？若存在，请求出此
2、时m的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线C1的解析式为yax2+bx+c（a0），则，解得，抛物线C1的解析式为，对称轴是直线；（2）抛物线C1的解析式为，即y+，当m1时，由抛物线的平移规律可得抛物线C2解析式为：y+；即抛物线C2解析式为y；由抛物线的平移规律可得：抛物线C1向右平移m（m0）个单位得到抛物线C2的解析式为：y+，其对称轴为：x，交点M的横坐标为：+，将其代入抛物线C1的解析式可得：y，点M的坐标为；（3）存在m值使ADM是等边三角形，理由如下：过点M作MNAD于点N，若ADM是等边三角形，则DMN30，即，解得m45或m5（不合题意，舍去），当时，ADM是
3、等边三角形2如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y1相切若存在，求出点E的坐标，并求E的半径；若不存在，说明理由【解答】解：（1）二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：yax2，将（2，1）代入上式并解得：a，故二次函数表达式为：yx2； （2）将y1代入yx2并解得：x2，故点M、N的坐标分别为（2，1）、（2，1），则MN4
4、，PMN是等边三角形，点P在y轴上且PM4，PF2；点F（0，1），点P的坐标为（0，1+2）或（0，12）； （3）假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），故点E在FN的中垂线上点E是FN的中垂线与yx2图象的交点，y12，则点E（1，），EN，同理EF，点E到直线y1的距离为|（1）|，故存在点E，使得以点E为圆心半径为的圆过点F，N且与直线y1相切3如图，抛物线C1：yx2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C（1）求抛物线C1的
5、解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；（3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使PAC为等边三角形，求m的值【解答】解：（1）抛物线C1经过原点，与X轴的另一个交点为（2，0），解得，抛物线C1的解析式为yx22x，抛物线C1的顶点坐标（1，1），（2）如图1，抛物线C1向右平移m（m0）个单位得到抛物线C2，C2的解析式为y（xm1）21，A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），过点C作CH对称轴DE，垂足为H，ACD为等腰直角三角形，ADCD，ADC90，CDH+ADE90HCDADE，DEA90，
6、CHDDEA，AEHD1，CHDEm+1，EHHD+DE1+m+1m+2，由OCEH得m2+2mm+2，解得m11，m22（舍去），抛物线C2的解析式为：y（x2）21（3）如图2，连接BC，BP，由抛物线对称性可知APBP，PAC为等边三角形，APBPCP，APC60，C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，CBOCPA30，BC2OC，由勾股定理得OBOC，（m2+2m）m+2，解得m1，m22（舍去），m4如图，抛物线yax2+x+c经过点A（1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MPy轴，交抛物线于点P（1）求该抛物线的解析式；（2）在
7、抛物线上是否存在一点Q，使得QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作M，当M与坐标轴相切时，求出M的半径【解答】解：（1）把点A（1，0）和点C （0，3）代入yax2+x+c得：，解得：，抛物线的解析式为：yx2+x+3；（2）不存在，理由如下：当点Q在y轴右边时，如图1所示：假设QCO为等边三角形，过点Q作QHOC于H，点C （0，3），OC3，则OHOC，tan60，QHOHtan60，Q（，），把x代入yx2+x+3，得：y，假设不成立，当点Q在y轴右边时，不存在QCO为等边三角形；当点Q在y轴的左边时，如图2所示：假设QCO为等
8、边三角形，过点Q作QTOC于T，点C （0，3），OC3，则OTOC，tan60，QTOTtan60，Q（，），把x代入yx2+x+3，得：y，假设不成立，当点Q在y轴左边时，不存在QCO为等边三角形；综上所述，在抛物线上不存在一点Q，使得QCO是等边三角形；（3）令x2+x+30，解得：x11，x24，B（4，0），设BC直线的解析式为：ykx+b，把B、C的坐标代入则，解得：，BC直线的解析式为：yx+3，当M在线段BC上，M与x轴相切时，如图3所示：延长PM交AB于点D，则点D为M与x轴的切点，即PMMD，设P（x，x2+x+3），M（x，x+3），则PDx2+x+3，MDx+3，（x2
9、+x+3）（x+3）x+3，解得：x11，x24（不合题意舍去），M的半径为：MD+3；当M在线段BC上，M与y轴相切时，如图4所示：延长PM交AB于点D，过点M作MEy轴于E，则点E为M与y轴的切点，即PMME，PDMDEMx，设P（x，x2+x+3），M（x，x+3），则PDx2+x+3，MDx+3，（x2+x+3）（x+3）x，解得：x1，x20（不合题意舍去），M的半径为：EM；当M在BC延长线，M与x轴相切时，如图5所示：点P与A重合，M的横坐标为1，M的半径为：M的纵坐标的值，即：（1）+3；当M在CB延长线，M与y轴相切时，如图6所示：延长PM交x轴于D，过点M作MEy轴于E，则
10、点E为M与y轴的切点，即PMME，PDMDEMx，设P（x，x2+x+3），M（x，x+3），则PDx2x3，MDx3，（x2x3）（x3）x，解得：x1，x20（不合题意舍去），M的半径为：EM；综上所述，M的半径为或或或 题组2：两动一定5如图，抛物线yx22x+c经过点A（2，5），与x轴相交于B，C两点，点B在点C的左边（1）求抛物线的函数表达式与B，C两点坐标；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD沿直线BD翻折得到BCD，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当CPQ为等边三角形时，求
11、直线BP的函数表达式【解答】解：（1）由题意得：yx22x+c过点A（2，5），c3，抛物线的函数表达式为yx22x3，B、C是抛物线yx22x3与x轴的交点，x22x30，B（1，0），C（3，0）；（2）抛物线与x轴交于B（1，0），C（3，0），BC4，抛物线的对称轴为直线x1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH2，由翻折得CBCB4，在RtBHC中，由勾股定理，得CH2，点C的坐标为（1，2），tanCBH，CBH60，由翻折得DBHCBH30，在RtBHD中，DHBHtanDBH2tan30，点D的坐标为（1，）；（3）取（2）中的点C、D，连接CC
12、，BCBC，CBC60，CCB为等边三角形，分类讨论如下：当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，CP，PCQ，CCB为等边三角形，CQCP，BCCC，PCQCCB60，BCQCCP，BCQCCP（SAS），BQCP，点Q在抛物线的对称轴上，BQCQ，CPCQCP，又BCBC，BP垂直平分CC，点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为ykx+b，则，解得，直线BP的函数表达式为yx+；当点P在x轴下方时，点Q在x轴下方，PCQ，CCB为等边三角形，CPCQ，BCCC，CCBQCPCCB60，BCPCCQ，BCPCCQ（SAS），CBPCCQ，BCCC，CHBC，CCQCCB30，CB
13、P30，设BP与x轴相交于点E，在RtBOE中，OEOBtanCBPOBtan301点E的坐标为（0，）设直线BP的函数表达式为ymx+n，则，解得，直线BP的函数表达式为yx，综上所述，直线BP的函数表达式为yx+或yx6如图，抛物线的解析式为yx+5，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线BC交于点D（1）E点是线段BC上方抛物线上一点，过点E作直线EF平行于y轴，交BC于点F，若线段CD长度保持不变，沿直线BC移动得到CD，当线段EF最大时，求EC+CD+DB的最小值；（2）Q是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点P是APQ为等边三角
14、形，若存在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由【解答】解：（1）因为yx2+x+5（x5）（x+），A（，0），B（5，0），C（0，5），抛物线对称轴为x2，由B、C坐标可求得直线BC的解析式为yx+5，令x2，则y2+53，D（2，3），CDCD4设E（m，m2+m+5），则F（m，m+5），EFyEyFm2+m+5+m5m2+m（m）2+，当m时，EF取得最大值，此时E（，）如图1，作平行四边形ECDE，则ECED，E（，）作DGOB于G，EHOB于HtanCBO，所以CBO30，DGDB，EC+CD+DBCD+ED+DGCD+EH，当且仅当E、D、G三点共线时，EC+CD+DB取
15、得最小值CD+EH4+（2）如图2，APQ是等边三角形，此时Q与B重合，等边三角形的边长为AQAB6如图3，APQ是等边三角形，此时Q与B重合，P在x轴下方等边三角形的边长为AQAB6如图4，APQ是等边三角形，此时Q与C重合，P在x轴上方等边三角形的边长为AQAC2如图5，APQ是等边三角形，此时Q在第三象限，P在x轴下方PAPBPQ，所以A、Q、B三点在以P为圆心PA为半径为圆周上，ABQAPQ30，直线BQ的解析式为yx5，联立方程组，解得或（舍），Q（2，7），AQ2，即等边APQ的边长为2综上所述，满足要求的等边三角形的边长可以是：6、2、27综合与探究如图，抛物线yx2x+与x轴交
16、于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90得到线段MD，连接CD、BD设点M运动的时间为t（t0），请解答下列问题：（1）求点A的坐标与直线l的表达式；（2）请直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时t的值；求点M运动的过程中线段CD长度的最小值【解答】解：（1）当y0时，解得x11，x23，点A在点B的左侧，A（3，0），B（1，0），当x0时，y，即C（0，），设直线l的表达式为ykx+b，将B，C两点坐标代入得，解得，则直线l的表达式为yx+；（
17、2）如图1，当点M在AO上运动时，过点D作DNx轴于N，由题意可知，AMt，OM3t，MCMD，则DMN+CMO90，CMO+MCO90，MCODMN，在MCO与DMN中，MCODMN（AAS），MNOC，DNOM3t，D（t3+，t3）；同理，如图2，当点M在OB上运动时，点D的坐标为：D（3+t+，t3）将D点坐标代入直线BC的解析式yx+得，t3（3+t+）+，t62，即点D落在直线l上时，t62；COD是等腰直角三角形，CMMD，线段CM最小时，线段CD长度的最小，M在AB上运动，当CMAB时，CM最短，CD最短，即CMCO，根据勾股定理得，CD的最小值为题组3：三动点8如图1，抛物线
18、C1：yax22ax+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C已知点A的坐标为（1，0），点O为坐标原点，OC3OA，抛物线C1的顶点为G（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A、B，顶点为G，当ABG是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由【解答】解：（1）点A的坐
19、标为（1，0），OA1，OC3OA，点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入yax22ax+c，得：，解得：，抛物线C1的解析式为yx2+2x+3（x1）2+4，所以点G的坐标为（1，4） （2）设抛物线C2的解析式为yx2+2x+3k，即y（x1）2+4k，过点G作GDx轴于点D，设BDm，ABG为等边三角形，GDBDm，则点B的坐标为（m+1，0），点G的坐标为（1，m），将点B、G的坐标代入y（x1）2+4k，得：，解得：（舍），k1； （3）设M（x，0），则P（x，x2+2x+3）、Q（x，x2+2x+2），PQOA1，AOQ、PQN均为钝角，AOQPQN，如图2，延长PQ交直线y1
20、于点H，则QHNOMQ90，又AOQPQN，OQQN，AOQPQN，MOQHQN，OQMQNH（AAS），OMQH，即xx2+2x+2，解得：x（负值舍去），当x时，HNQMx2+2x+2，点M（，0），点N坐标为（+，1），即（，1）；或（，1），即（1，1）；如图3，同理可得OQMPNH，OMPH，即x（x2+2x+3）1，解得：x1（舍）或x4，当x4时，点M的坐标为（4，0），HNQM（x2+2x+2）6，点N的坐标为（4+6，1）即（10，1），或（46，1）即（2，1）；综上点M1（，0）、N1（，1）；M2（，0）、N2（1，1）；M3（4，0）、N3（10，1）；M4（4，0）、N4（2，1）