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1、专题17 等腰、等边三角形问题 专题知识回顾 一、等腰三角形1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴5.等腰三角
2、形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.二、等边三角形1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形2. 性质性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。3.判定（1） 三个角都相等的三角形是等边三角形；（2） 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（3） 有两个角是60°
3、的三角形是等边三角形。三、含30的直角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半.四、解题方法要领1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角
4、，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。专题典型题考法及解析 【例题1】（2019重庆）如图，在ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EFBC交AB于点F（1）若C36°，求BAD的度数；（2）求证：FBFE【例题2】（2019黑龙江哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，ABAD，BCDC，A60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CEAB，若AB8，CE6，则BC的长为 【例题3】（2019黄石）如图，在ABC中，B50°，CDAB于点D，BCD和BDC的角平分线相
5、交于点E，F为边AC的中点，CDCF，则ACD+CED（）A125°B145°C175°D190° 专题典型训练题 一、选择题1.（2019宁夏） 如图，在ABC中，点D和E分别在AB和AC上，且连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若，则的度数为（ ） A B C D 2.（2019浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若BDE=75°，则CDE的度数是
6、（ ） A. 60° B. 65°
7、; C. 75° D
8、. 80°3.（2019湖南长沙）如图，RtABC中，C90°，B30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则CAD的度数是（）A20° B30° C45° D60°4.（2019湖南长沙）如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A2B4C5D105.（2019湖南邵阳）如图，在RtABC中，BAC90°，B36°，AD是斜边BC上的中线，将ACD沿AD对
9、折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则BED等于（）A120°B108°C72°D36°二、填空题6.（2019湖南怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为7.（2019湖南邵阳）如图，将等边AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边AOB绕点O顺时针旋转180°得到AOB，则点B的坐标是8.（2019湖北天门）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上已
10、知CD9.6m，则旗杆AB的高度为 m9.（2019贵州毕节）如图，以ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD若B40°，C36°，则DAC的大小为 10. （2019湖北武汉）如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AEEFCD，ADF90°，BCD63°，则ADE的大小为 11.(2019黑龙江绥化)如图,在ABC中,ABAC,点D在AC上,且BDBCAD,则A_度.三、解答题12.（2019湖北孝感）如图，已知CD90°，BC与AD交于点E，ACBD，求证：AEBE13.（2019杭州）如图，在ABC中，AC
11、ABBC（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：APC2B（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ若AQC3B，求B的度数14（2019重庆）如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D（1）若C42°，求BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EFAC交AD的延长线于点F求证：AEFE15（2019南岸区）如图，直线ABCD，ACD的平分线CE交AB于点F，AFE的平分线交CA延长线于点G（1）证明：ACAF；（2）若FCD30°，求G的大小16（2019攀枝花）如图，在ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，
12、且BDCE求证：（1）点D在BE的垂直平分线上；（2）BEC3ABE17.（2019湖北十堰）如图，ABC中，ABAC，以AC为直径的O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且CDEBAC（1）求证：DE是O的切线；（2）若AB3BD，CE2，求O的半径18.（2019甘肃武威）如图，在ABC中，ABAC，BAC120°，点D在BC边上，D经过点A和点B且与BC边相交于点E（1）求证：AC是D的切线；（2）若CE2，求D的半径19. （2019湖南衡阳）如图，在等边ABC中，AB6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动设运动时间为以t（s）过点P作PEAC于E，连接PQ交AC边于D以CQ、CE为边作平行四边形CQFE（1）当t为何值时，BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将BPM沿直线PM翻折，得BPM，连接AB，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值