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1、第六节函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x T)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期课前检测1下列函数为偶函数的是()
2、 Aysin xByx3CyexDyln x21 解读： 选 D四个选项中的函数的定义域都是R.y sin x 为奇函数幂函数yx3也为奇函数指数函数yex为非奇非偶函数令f(x)ln x21，得 f(x)ln x21ln x21f(x)所以 ylnx21为偶函数2已知 f(x) ax2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数，那么ab 的值是 () A13B.13C.12D12解读： 选 B f(x)ax2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数，a12a 0， a13.又 f(x)f(x)，b0， ab13. 3已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足 f(x4)f(x)，则 f(8)的值为 ()
3、A 1 B0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页C1 D 2 解读： 选 B f(x)为奇函数且f(x4) f(x)，f(0)0，T4. f(8)f(0)0. 4若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_. 解读： 法一： f(x)f(x)对于 x R 恒成立，|xa|xa|对于 x R 恒成立，两边平方整理得ax 0，对于 x R 恒成立，故a0. 法二： 由 f(1)f(1)，得|a1| |a 1|，故 a0. 答案： 0 5设函数f(x)x3cos x1.若 f(a)11，则 f(a)_. 解读： 观察可
4、知， y x3cos x 为奇函数，且f(a)a3cos a 111，故a3cos a10.则f(a) a3cos a1 101 9. 答案： 9 1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在 x0 处有定义，则f(0) 0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2若函数满足f(xT)f(x)，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；应注
5、意 nT(nZ 且 n0)也是函数的周期一、函数奇偶性的判断例1设Q 为有理数集，函数f(x)1，xQ，1， x?RQ，g(x)ex1ex1，则函数h(x)f(x) g(x)() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数自主解答 当 x Q 时， x Q， f(x)f(x) 1；当x ?RQ 时， x ?RQ， f( x)f(x) 1.综上，对任意x R，都有f(x)f(x)，故函数f(x)为偶函数 g(x)ex1ex11ex1e
6、xex11ex g(x)，函数g(x)为奇函数 h(x) f(x) g( x)f(x) g(x)f(x)g(x) h(x)，函数h(x) f(x) g(x)是奇函数 h(1) f(1) g(1)e1e1， h( 1) f( 1) g(1)1e11e111e1e，h( 1)h(1)，函数 h(x)不是偶函数答案 A 由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x) f(x)或 f( x) f(x)是否对定义域内的每一个x 恒成立 (恒成立要给予证明，否则要举出反例)注意 判断
7、分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与 f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性以题试法1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)1x2x21；(2)f(x) 3x3x；(3)f(x)4x2|x 3| 3；(4)f(x)x22，x0，0，x0，x2 2，x0 时， f(x) ( x)22 (x22)f(x)；当 x0 的解集为() A(2,0)(2， )B(， 2)(0,2) C(， 2) (2， ) D(2,0)(0,2) 自主解答 (1) y f(x)x2是奇函数，且x1 时， y2，当 x 1 时， y 2，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
8、归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页f(1)(1)2 2，得 f(1) 3，所以 g( 1) f(1) 2 1. (2) f(x)为偶函数，f x f xx2f xx0. xf(x)0. x0，f x 0或x0，f x 0.又 f(2)f(2)0，f(x)在(0， )上为减函数，故 x (0,2)或 x ( ， 2)答案 (1) 1(2)B 本例 (2)的条件不变，若n2 且 nN*，试比较f(n)，f(1n)，f(n1)，f(n1)的大小解： f(x)为偶函数，所以f(n)f(n)，f(1n)f(n 1)又函数 y f(x)在(0， )为减函数，且0n1nn1， f(
9、n 1)f(n)f(n1) f(n 1)f(n)0为奇函数，则a b_. (2)已知定义在R 上的奇函数满足f(x)x22x(x0)，若 f(3a2)f(2a)，则实数a的取值范围是 _解读： (1)当 x0，所以f(x)x2x， f(x)ax2bx，而 f(x) f(x)，即 x2 xax2bx，所以 a 1，b1，故 ab0. (2)因为f(x) x2 2x 在0， )上是增函数，又因为f(x)是 R 上的奇函数，所以函数f(x)是 R 上的增函数，要使f(3a2)f(2a)，只需 3a22a，解得 3a1. 答案： (1)0(2)(3,1) 三、函数的周期性及其应用例 3设函数f(x)是
10、定义在R 上的周期为2 的偶函数，当x0,1时， f(x)x1，则f32_. 自主解答 依题意得， f(2x)f(x)，f(x)f(x)，则 f32f 12f1212132. 答案 32由题悟法1周期性常用的结论：对 f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若 f(xa) f(x)，则 T2a；(2)若 f(xa)1f x，则 T2a；(3)若 f(xa)1f x，则 T2a. 2周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用以题试法3设 f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2) f(x)当 x0,2时， f(x)2xx2. (1)
11、求证： f(x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解读式解： (1)证明：f(x2) f(x)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页 f(x 4) f(x2)f(x) f(x)是周期为4 的周期函数(2) x 2,4，x 4， 2， 4x 0,2， f(4 x)2(4x)(4 x)2 x26x8. 又 f(4x)f(x) f(x)， f(x) x26x 8，即 f(x)x26x8，x 2,4课堂练习1下列函数中，既是奇函数又是减函数的是() Ay x3Bysin xCyxDy12x答案： A 2设 f(
12、x)是周期为2 的奇函数，当0 x 1时， f(x)2x(1 x)，则 f52() A12B14C.14D.12解读： 选 A由题意得f 52 f52 f522 f12212 11212. 3已知函数f(x)x|x| 2x，则下列结论正确的是() Af(x)是偶函数，递增区间是(0， ) Bf(x)是偶函数，递减区间是(， 1) Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1) Df(x)是奇函数，递增区间是(， 0) 解 读 ： 选C将 函 数f(x) x|x| 2x 去 掉 绝 对 值 得f(x) x22x，x0，x22x，x0，x2x，x 0，则 f(x)，h(x)的奇偶性依次为 () A偶函数
13、，奇函数 B奇函数，偶函数C偶函数，偶函数 D奇函数，奇函数解读： 选 Df(x)|xa|xa|xa|xa| f(x)，故 f(x)为奇函数画出h(x)的图象可观察到它关于原点对称或当x0 时， x0，则h(x)x2x(x2x) h(x)，当 x0，则 h(x) x2x (x2 x) h(x)x0 时， h(0)0，故 h(x)为奇函数5已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x0 时， f(x)2x2xm(m 为常数 )，则f(1)的值为 () A 3 B 1C1 D 3 解读： 选 A函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，则 f(0)0，即 f(0)20m0，解得 m 1. 则 f(x
14、)2x2x1，f(1)212113， f(1) f(1) 3. 6若函数f(x)x2x1 xa为奇函数，则a() A.12B.23C.34D 1 解读： 选 A f(x)x2x1 xa是奇函数， f(1) f(1)，12 1 1a121 1a， a13(1a)，解得 a12. 7已知 f(x)是偶函数，当x0 时， f(x)_. 解读： x0， x0 时， f(x)x2x. 答案： x2x8.定义在 2,2上的奇函数f(x)在 (0,2上的图象如图所示，则不等式 f(x)x 的解集为 _解读：依题意，画出y f(x)与 yx 的图象，如图所示，注意到yf(x)的精选学习资料 - - - - -
15、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页图象与直线y x 的交点坐标是23，23和 23，23，结合图象可知，f(x)x 的解集为2，230，23. 答案：2，23 0，239已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且 x32，0 时， f(x)log2(3x1)，则 f(2 011)_. 解读： f(2 011)f(36701) f(1) f( 1) log2(31) 2. 答案： 2 10已知函数f(x)x2ax(x0，常数 aR)(1)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若 f(1)2，试判断f(x)在2， )上的单调性解
16、： (1)当 a0 时， f(x)x2，f(x)f(x)，函数是偶函数当 a0 时， f(x)x2ax(x0，常数 a R)，取 x 1，得 f(1)f(1)20；f(1)f(1) 2a0，即 f(1)f(1)，f(1)f(1)故函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)若 f(1)2，即 1a2，解得 a1，这时 f(x)x21x. 任取 x1，x2 2， )，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x211x1 x221x2(x1x2)(x1x2)x2x1x1x2(x1x2) x1x21x1x2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
17、 9 页，共 13 页由于 x12，x22，且 x1x2. 故 x1x21x1x2，所以 f(x1)0，0，x0，x2mx， x0是奇函数(1)求实数 m的值；(2)若函数 f(x)在区间 1，a 2上单调递增，求实数a 的取值范围解： (1)设 x0，所以 f(x) (x)22(x) x2 2x. 又 f(x)为奇函数，所以f(x) f(x)，于是 x1，a21，所以 1a 3，故实数a 的取值范围是 (1,312已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x1 对称(1)求证： f(x)是周期为4 的周期函数；(2)若 f(x)x(0 x1)，求 x5， 4时，函数f(x)的
18、解读式解： (1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x1 对称，得f(x1)f(1 x)，即有 f(x)f(x2)又函数 f(x)是定义在R 上的奇函数，故有 f(x) f(x)故 f(x2) f(x)从而 f(x 4) f(x2)f(x)，即 f(x)是周期为4的周期函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页(2)由函数 f(x)是定义在R 上的奇函数，有f(0)0. x 1,0)时， x (0,1，f(x) f(x)x，又 f(0)0，故 x 1,0时， f(x)x. x 5， 4，x4 1,0，f(x)f(x4
19、)x4. 从而， x 5， 4时，函数 f(x)x4. 课后练习1设f(x)是奇函数，且在(0， )内是增函数，又f(3)0，则x f(x)0 的解集是() Ax|3x3 B x|x3，或 0 x3 C x|x3 Dx|3x0，或 0 x3 解读： 选 D由 x f(x)0，得x0或x0，f x 0，而 f(3)0，f(3)0，即xf 3或x0，f x f 3 ，所以 x f(x)0 的解集是 x|3x0，或 0 x3 2 设f(x) 是 定 义 在R上 且 周 期 为2 的 函 数 ， 在 区 间 1,1 上 ， f(x) ax1， 1x0，bx2x1，0 x1，其中 a，bR.若 f12f
20、32，则 a3b 的值为 _解读： 因为 f(x)是定义在R 上且周期为2 的函数，所以f32f 12，且 f(1)f(1)，故 f12f 12，从而12b 212112a1,3a2b 2.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页由 f(1)f(1)，得 a1b22，故 b 2a.由得 a2，b 4，从而 a3b 10. 答案： 10 3已知函数f(x)的定义域是 (0， )，且满足f(xy) f(x)f(y)， f121，如果对于0 xf(y)，(1)求 f(1)；(2)解不等式f(x)f(3x) 2. 解： (1)
21、令 xy1，则 f(1)f(1)f(1)， f(1)0. (2)f(x)f(3x)2f12，f(x)f12f(3x)f120f(1)， f x2f3x2f(1)，fx23x2f(1)，则x0，3x0，x23x2 1，解得 1xg(0)g(1)答案： f(1)g(0)g(1) 2关于 y f(x)，给出下列五个命题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页若 f(1x)f(1x)，则 yf(x)是周期函数；若 f(1 x) f(1x)，则 yf(x)为奇函数；若函数 yf(x1)的图象关于x1 对称，则yf(x)为偶函数
22、；函数 yf(1x)与函数 yf(1x)的图象关于直线x1 对称；若 f(1 x) f(1x)，则 yf(x)的图象关于点(1,0)对称填写所有正确命题的序号_解读： 由 f(1 x) f(1x)可知，函数周期为2，正确；由f(1x) f(1 x)可知， yf(x)的对称中心为 (1,0)，错； yf(x 1)向左平移1 个单位得yf(x)，故 yf(x)关于 y 轴对称，正确；两个函数对称时，令1x1x 得 x0，故应关于y 轴对称，错；由 f(1x)f(1x)得 yf(x)关于 x1 对称，错，故正确的应是. 答案： 3已知f(x)是偶函数，且f(x)在0， )上是增函数，如果f(ax1)f(x2)在 x12， 1 上恒成立，求实数a 的取值范围解： 由于f(x)为偶函数，且在0， )上为增函数，则在( ，0上为减函数，由f(ax1)f(x2)，则 |ax1|x2|，又 x12，1 ，故 |x2|2x，即 x2ax 12x.故 x3ax1x,13xa1x1，在12，1 上恒成立由于1x1min 0， 13xmax 2，故 2a 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页