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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第六节 函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性奇偶性假如对于函数定义图象特点偶函数fx的定义域内任意一个x,都有 fxfx,关于 y 轴对称那么函数 fx是偶函数奇函数假如对于函数fx的定义域内任意一个x,都有 fx fx,关于原点对称那么函数 fx是奇函数二、周期性1周期函数对于函数 yfx,假如存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 fxT fx,那么就称函数 yfx为周期函数,称 T 为这个函数的周期2最小正周期假如在周期函数fx的全部周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做fx的最小正周
2、期课前检测_精品资料_ 1以下函数为偶函数的是 第 1 页,共 13 页Aysin xB yx3x CyeD yln x 21 解析： 选 D四个选项中的函数的定义域都是R.y sin x 为奇函数幂函数yx3 也为奇函数 指数函数ye x为非奇非偶函数令 fxln x 21,得 fxln x21ln x21fx所以 ylnx 21为偶函数2已知 fx ax2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数,那么ab 的值是 A1B.133C.1 2D1 2解析： 选 B fxax2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数,a12a 0, a1 3.又 fxfx,b0, ab1 3. 3已知定义在R 上的奇函
3、数fx,满意 fx4fx,就 f8的值为 A 1 B0 - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - C1 精品资料D2 欢迎下载解析： 选 B fx为奇函数且fx4 fx,f00,T4. f8f00. 4如函数 fxx 2|xa|为偶函数,就实数 a_. 解析： 法一： fxfx对于 xR 恒成立,|xa|xa|对于 xR 恒成立,两边平方整理得 ax0,对于 xR 恒成立,故 a 0. 法二： 由 f1f1,得|a1| |a 1|,故 a0. 答案： 0 5设函数 fxx 3cos x1.如 fa11,就 fa_. 解析： 观看可知, yx3cos x 为
4、奇函数,且faa 3cos a111,故 a3cos a10.就 fa a 3cos a1 101 9. 答案： 9 1.奇、偶函数的有关性质：1定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；2奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然；3如奇函数 fx在 x0 处有定义,就 f0 0；4利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同； 利用偶函数的图象关于 反y 轴对称可知, 偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相2如函数满意fxTfx,由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；应留意 nTnZ 且 n 0也是函数的周期一、函数奇偶
5、性的判定_精品资料_ 例 1设 Q 为有理数集,函数fx1,xQ,gxe e x1x1,就函数hx第 2 页,共 13 页1,x.RQ,fx gx - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数自主解答 当 xQ 时, xQ,fxfx1；当 x.RQ 时, x.RQ,fxex1fx 1.综上,对任意 xR,都有 fxfx,故函数 fx为偶函数gxex11e xe x1xx gx,函数gx为奇函数hxfx gxfx gx fxgx1e 1ee1 hx,函
6、数 hxfx gx是奇函数 h1 f1 g1,h1f1 g 1e1e11 1e1,h1 h1,函数 hx不是偶函数e11 1e答案 A 由题悟法利用定义判定函数奇偶性的方法1第一求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；2假如函数的定义域关于原点对称,可进一步判定fx fx或 f x fx是否对定义域内的每一个 x 恒成立 恒成立要赐予证明,否就要举出反例 留意 判定分段函数的奇偶性应分段分别证明 fx与 fx的关系,只有对各段上的 x都满意相同的关系时,才能判定其奇偶性以题试法1判定以下函数的奇偶性1fx1x2x21；2fx 3 x3 x；_精品资料_ 3fx2 4
7、x；|x 3| 3第 3 页,共 13 页4fxx22,x0,0,x0,x2 2,x0 时,fx x 22 x22 fx；当 x0 的解集为x A2,02, B, 20,2 C, 2 2, D2,00,2 自主解答 1yfxx2 是奇函数,且x1 时, y2,当x 1 时, y 2,即f112 2,- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载得 f1 3,所以 g 1 f1 2 1. 2fx为偶函数,f x f xx2f x x0. xfx0. x0,或x0f x 0.又 f2f20,fx在0, 上为减函数,故 x0,2或 x , 2答案
8、112B 本例 2的条件不变, 如 n2 且 nN*,试比较 fn,f1n,fn1,fn1的大小解： fx为偶函数,所以 fnfn,f1nfn 1又函数 y fx在0, 为减函数,且 0n1nn1,fn 1fnfn1fn 1fn02已知定义在R 上的奇函数满意fxx22xx0,如 f3a 2f2a,就实数 a 的取- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载值范畴是 _解析： 1当 x0,所以 fxx 2x, fxax即 x 2 xax 2bx,所以 a 1,b1,故 ab0. 2bx,而 fx fx,2由于 fxx 22x 在0,上是增函
9、数, 又由于 fx是 R 上的奇函数, 所以函数 fx是 R 上的增函数,要使 f3a 2f2a,只需 3a 22a,解得 3a1. 答案： 10 2 3,1 三、函数的周期性及其应用例 3设函数 fx是定义在 R 上的周期为2 的偶函数, 当 x0,1 时,fxx1,就 f32_. 自主解答 依题意得, f2xfx,fxfx,就 f2f 1 2f 1 21 213 2. 答案 3 2由题悟法1周期性常用的结论：对 fx定义域内任一自变量的值 x：1如 fxa fx,就 T2a；12如 fxaf x,就 T2a；3如 fxa1,就 T2a. f x2周期性与奇偶性相结合的综合问题中,周期性起到
10、转换自变量值的作用,奇偶性起到调剂符号作用以题试法3设 fx是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有 fx2 fx当 x0,2时, fx2xx 2. 1求证： fx是周期函数；2当 x2,4 时,求 fx的解析式解： 1证明：fx2 fx,fx 4 fx2fxfx是周期为 4 的周期函数_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 13 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2x2,4 ,x 4, 2,4x0,2 ,f4 x24x4 x 2 x 26x8. 又f4xfx fx,fx x 26x 8,即 fxx 26x8,x2,4 课堂练习1以下
11、函数中,既是奇函数又是减函数的是 Ay x3Bysin xCyxDy1x2答案： A _精品资料_ 2设 fx是周期为2 的奇函数,当0x 1 时, fx 2x1x,就 f5 2 第 7 页,共 13 页A1B1241 C. 4D.12解析： 选 A由题意得 f 5 2 f 5 2 f 5 22 f 1 2 21 2111 2. 23已知函数fxx|x| 2x,就以下结论正确选项 Afx是偶函数,递增区间是0, Bfx是偶函数,递减区间是, 1 Cfx是奇函数,递减区间是1,1 Dfx是奇函数,递增区间是, 0 解 析 ： 选C将 函 数fx x|x| 2x 去 掉 绝 对 值 得fx x 2
12、2x,x0,x 22x,x0,就 fx,hx的奇偶性x2x,x 0,依次为 - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - A偶函数,奇函数精品资料欢迎下载B奇函数,偶函数C偶函数,偶函数 D奇函数,奇函数解析： 选 D fx|xa|xa|xa|xa| fx,故 fx为奇函数画出 hx的图象可观看到它关于原点对称或当 x0 时,x0,就 hxx 2x x 2x hx,当 x0,就 hx x 2x x 2x hxx0 时, h00,故 hx为奇函数5已知函数 fx为定义在 R 上的奇函数,当 x0 时, fx2 x2xmm 为常数 ,就f1的值为 A 3 B 1
13、C1 D 3 解析： 选 A 函数 fx为定义在 R 上的奇函数,就 f0 0,即 f02 0m0,解得 m 1. 就 fx2 x2x1,f12 12 113, f1 f1 3. 6如函数 fx2x1 xa x 为奇函数,就 a A.1 2 B.2 3 C.3 4 D1 解析： 选 Afxx是奇函数,2x1 xaf1 f1,12 1 1a1,21 1aa131a,解得 a1 2. 7已知 fx是偶函数,当x0 时, fx_. 解析： x0, x0 时, fxx2x. 答案： x2x8.定义在 2,2上的奇函数 fx x 的解集为 _解析：fx在0,2上的图象如下列图, 就不等式_精品资料_ 依
14、题意,画出y fx与 yx 的图象,如下列图,留意到yfx的第 8 页,共 13 页图象与直线yx 的交点坐标是3,2 3和 2 3, 2 3,结合图象可知,fxx- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 的解集为2,2 3 0,2 3 . 精品资料欢迎下载答案：2,2 3 0,2R 上的奇函数,其最小正周期为3,且 x 3 2,0 时, fx39已知函数fx是定义在log 23x1,就 f2 011_. 解析： f2 011f3 6701 f1 f 1 log231 2. 答案： 2 10已知函数fxx2 a xx 0,常数 aR1判定 fx的奇偶性,并
15、说明理由；2如 f12,试判定 fx在2, 上的单调性解： 1当 a0 时, fxx 2,fxfx,函数是偶函数当 a 0 时, fxx 2a xx 0,常数 aR,取 x1,得 f1f1 2 0；f1f1 2a 0,即 f1 f1 ,f1 f1故函数 fx既不是奇函数也不是偶函数2如 f12,即 1a2,解得 a1,这时 fxx 21 x. 任取 x1,x22 , ,且 x1x2,就 fx1fx2 x 11 x1 x 21 x2x2x1x1x2x1x2x1x2x1x2 x1x21 x 1x2. 由于 x12,x22,且 x1x2. _精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 13
16、 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 故 x1x2 1 x1x2,精品资料欢迎下载所以 fx10,11已知函数fx0,x0,是奇函数x2mx, x01求实数 m 的值；2如函数 fx在区间 1,a 2上单调递增,求实数 a 的取值范畴解： 1设 x0,所以 fx x 22x x 2 2x. 又 fx为奇函数,所以 fx fx,于是 x1,a21,所以 1a 3,故实数 a 的取值范畴是 1,312已知函数fx是定义在R 上的奇函数,且它的图象关于直线x1 对称1求证： fx是周期为 4 的周期函数；2如 fxx0x1,求 x5, 4时,函数 fx的解析式解： 1证明：由函数
17、 fx的图象关于直线 x1 对称,得 fx1f1 x,即有 fxfx2R 上的奇函数,又函数 fx是定义在 故有 fx fx故 fx2 fx从而 fx 4 fx2fx,即 fx是周期为 4 的周期函数_精品资料_ 2由函数 fx是定义在R 上的奇函数,有f00. 第 10 页,共 13 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载x1,0时, x0,1,fx fxx,又 f00,故 x 1,0时,fx x. x5, 4,x4 1,0,fxfx4x4. 从而, x5, 4时,函数 fxx4. 课后练习1设 fx是奇函数, 且在 0, 内是增
18、函数, 又 f30,就 xfx0 的解集是 A x|3x3 B x|x3,或 0x3 C x|x3 D x|3x0,或 0x3 解析： 选 D由 xfx0,f x 0,得x0而 f30,f30,即x0,f x f 3f x f 3 ,所以 xfx0 的解集是 x|3x0,或 0x3 _精品资料_ 2 设fx 是 定 义 在R上 且 周 期 为2的 函 数 , 在 区 间 1,1 上 , fx 第 11 页,共 13 页ax1, 1x0,其中 a,bR.如 f 1 2f 3 2,就 a3b 的值为 _bx2 x1,0x1,解析： 由于 fx是定义在R 上且周期为2 的函数,所以f 3 2f 1
19、2,且 f1f1,故 f 1 2f 1 2,从而1 2b 211 2a1,3a2b 2. 21由 f1f1,得 a1b2,故 b 2a.2- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载由得 a2,b 4,从而 a3b 10. 答案： 10 3已知函数 fx的定义域是 0, ,且满意 fxyfxfy,f1 21,假如对于 0xfy,1求 f1；2解不等式 fxf3x 2. 解： 1令 xy1,就 f1f1 f1, f10. 2fxf3x2f1 2,f1,fxf2f3xf 1 20f1, f x 2f 3x 2f x 23xf1,2x0,就 3x
20、0,解得 1xg0g1答案： f1g0g1 2关于 y fx,给出以下五个命题：如 f1xf1x,就 yfx是周期函数；如 f1 x f1x,就 yfx为奇函数；_精品资料_ - - - - - - -第 12 页,共 13 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载如函数 yfx1的图象关于 x1 对称,就 yfx为偶函数；函数 yf1x与函数 yf1x的图象关于直线 x1 对称；如 f1 x f1x,就 yfx的图象关于点 1,0对称填写全部正确命题的序号 _解析： 由 f1xf1x可知,函数周期为 2,正确；由 f1x f1 x可知,yfx的对称中心为 1
21、,0,错； yfx1向左平移 1 个单位得 yfx,故 yfx关于 y轴对称,正确；两个函数对称时,令 1x1x 得 x0,故应关于 y 轴对称,错；由f1xf1x得 yfx关于 x1 对称,错,故正确的应是 . 答案： 3已知 fx是偶函数, 且 fx在0, 上是增函数, 假如 fax1fx2在 x1 2, 1上恒成立,求实数 a 的取值范畴解： 由于 fx为偶函数,且在 0, 上为增函数,就在 ,0上为减函数,由 fax1fx2,就 |ax 1| |x2|,又 x1 2,1 ,故 |x2|2x,_精品资料_ 即 x2ax 12x.故 x3ax1x,13 xa1 x1,在 1 2,1 上恒成立第 13 页,共 13 页由于1 x1 min 0, 13max 2,故 2a 0. x- - - - - - -