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1、精品学习资源第六节函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性奇偶性定 义图象特点假如对于函数fx的定义域内任意一个x，都有 f xfx，偶函数关于 y 轴对称那么函数 fx是偶函数假如对于函数 fx的定义域内任意一个x，都有 f x 奇函数关于原点对称fx，那么函数 f x是奇函数二、周期性1 周期函数对于函数y fx，假如存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有fx T fx，那么就称函数2 最小正周期y fx为周期函数，称T 为这个函数的周期假如在周期函数fx的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期fx课前检测1以下函数为偶函数的是A y sin xB
2、 yx3Cy e D y lnxx2 1解读： 选 D四个选项中的函数的定义域都是R.y sin x 为奇函数幂函数yx3 也为奇函数指数函数y ex 为非奇非偶函数令fx lnx2 1，得 f x ln x 21 lnx2 1 fx 所以 y lnx2 1为偶函数2已知fx ax2 bx 是定义在 a 1,2a 上的偶函数，那么a b 的值是 A B.1133C.121D 2解读： 选 B fx ax2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数， a 1 2a 0， a 13.又 fx fx， b 0， a b 1.33. 已知定义在R 上的奇函数 fx，满意 fx4 fx，就 f8的值为 A 1
3、 B 0欢迎下载精品学习资源C1 D 2解读： 选 B fx为奇函数且 fx 4 fx， f0 0， T 4. f8 f0 0.4. 如函数 f x x2 |xa|为偶函数，就实数a.解读： 法一： f x f x对于 xR 恒成立， | x a| |xa|对于 xR 恒成立，两边平方整理得 ax 0，对于 xR 恒成立，故 a 0.法二： 由 f 1f 1，得|a 1| |a 1|，故 a0.答案： 0欢迎下载精品学习资源35. 设函数 f x xcos x 1.如 fa 11，就 f a .欢迎下载精品学习资源解读： 观看可知， y x3 cos x 为奇函数，且fa a3cos a 1
4、11，故 a3cos a 10.就f a a3cos a1 10 1 9.答案： 91. 奇、偶函数的有关性质：(1) 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2) 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然； 3如奇函数 f x在 x 0 处有定义，就 f0 0；4利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2. 如函数满意fx T fx，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；应留意 nTn Z 且 n 0也是函数的周期欢迎下载精品学习资源1
5、，x Q，ex1 1， x . Q，Rgx ex1一、函数奇偶性的判定 例 1 设 Q 为有理数集，函数f x，就函数hx 欢迎下载精品学习资源fx gx欢迎下载精品学习资源A 是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数自主解答 当 xQ 时， xQ，f x fx 1；当 x .RQ 时， x.RQ，f x xfx 1.综上，对任意xR，都有f x fx，故函数 fx 为偶函数 g xe 1x1 exx1 exe 1x gx，函数 gx为奇函数 h x f x g x fx gx 1 efxgx hx，函数 hx f x gx 是奇函数 h1 f
6、1 g1 e 1e 1， h 1 f e 1 11 e1 g 1 1， h 1 h1 ，函数 hx不是偶函数 e 1 11 e答案 A由题悟法利用定义判定函数奇偶性的方法1第一求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；2假如函数的定义域关于原点对称，可进一步判定f x fx或 f x fx是否对定义域内的每一个x 恒成立 恒成立要赐予证明，否就要举出反例留意 判定分段函数的奇偶性应分段分别证明f x与 fx的关系，只有对各段上的都满意相同的关系时，才能判定其奇偶性以题试法1判定以下函数的奇偶性1fx 1x2x2 1；2fx 3x3 x；3fx |x 3|4 x2；3x
7、2 2， x0，4fx0， x0， x2 2， x0 时， f x x 2 2 x2 2 fx；当 x0 的解集为欢迎下载精品学习资源自主解答 1 y fx x2 是奇函数，且x 1 时， y 2，当 x 1 时， y 2，即欢迎下载精品学习资源f 1 12 2，f x f xx2f xx0.xfx0.x0，x0f x 0.得 f 1 3，所以 g 1 f 1 2 1. 2fx为偶函数，又 f 2 f2 0， f x在0， 上为减函数， 故 x0,2 或 x ， 2答案 1 12B本例 2的条件不变，如n 2 且 nN *，试比较 f n， f1 n， fn 1， f n1的大小解： fx为偶
8、函数，所以 f n fn， f1 n fn 1又函数 y fx在0， 为减函数，且 0n 1nn 1，fn 1f nfn 1fn 1f n02已知定义在R 上的奇函数满意fx x2 2xx 0，如 f3 a2f 2a，就实数 a 的取值范畴是解读： 1当 x0，所以 f x x2 x， f x ax2 bx，而 f x fx， 即 x2 x ax2 bx，所以 a 1， b 1，故 a b 0.2(2) 由于 fx x 2x 在0 ， 上是增函数，又由于fx是 R 上的奇函数，所以函数22欢迎下载精品学习资源fx是 R 上的增函数，要使f3 af 2a，只需 3 a2a，解得 3a1.欢迎下载
9、精品学习资源答案： 102 3,1三、函数的周期性及其应用例 3 设函数 fx是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当x 0,1 时， fx x1，就3欢迎下载精品学习资源f 2 .3自主解答 依题意得， f2 x fx ，f x fx，就 f1 f 113f 1欢迎下载精品学习资源22222.3答案 2由题悟法1. 周期性常用的结论：对 fx 定义域内任一自变量的值x： 1如 f x a fx，就 T 2a；欢迎下载精品学习资源2如 f x a 1f x，就 T 2a；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1(3) 如 f x a f x，就 T 2a.欢迎下载精品学习资源2. 周期性与
10、奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调剂符号作用以题试法3. 设 fx是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数x，恒有 f x 2 fx当 x 0,2时， fx 2x x2.(1) 求证： fx是周期函数；(2) 当 x 2,4 时，求 fx的解读式 解： 1证明：f x2 fx，欢迎下载精品学习资源fx 4 f x2 f xfx 是周期为 4 的周期函数 2x2,4 ，x 4， 2 ，4 x0,2 ，f4 x 24 x 4 x2 x2 6x8.又f4 x f x fx，fx x2 6x 8，即 fx x2 6x 8， x2,4 课堂练习Cy xD y12x答案：
11、A2设 fx是周期为 2 的奇函数，当 0x 1 时， fx 2x1 x，就 f 2 5A B1211C.4D. 214解读： 选 A由题意得 f 5 f 5 f 5222 2 f 1 2112 122 1.23已知函数 fx x|x| 2x，就以下结论正确选项A fx是偶函数，递增区间是0， Bfx是偶函数，递减区间是， 1Cfx是奇函数，递减区间是 1,1D fx是奇函数，递增区间是， 0解 读 ： 选 C将 函 数 fx x|x| 2x去 掉 绝 对 值 得 fx x2 2x， x 0， x2 2x， x0，2就 fx， hx的奇偶性欢迎下载精品学习资源依次为 A 偶函数，奇函数B奇函数
12、，偶函数C偶函数，偶函数D奇函数，奇函数x x，x 0，欢迎下载精品学习资源解读： 选 Df x |x a| | x a| |x a| |x a| fx，故 fx 为奇函数画出 hx的图象可观看到它关于原点对称或当x0 时， x0，就 h x x2 x x2 x hx，当 x0，就 h x x2 x x2 x hxx 0 时， h0 0，故 hx为奇函数5已知函数f x为定义在 R 上的奇函数，当x 0 时， f x 2x 2x mm 为常数 ，就f 1的值为 A 3 B 1C 1 D 3解读： 选 A函数 fx为定义在 R 上的奇函数，就 f0 0，即 f0 20 m 0，解得 m 1.就
13、fx 2x 2x1， f1 21 2 1 13， f1 f1 3.欢迎下载精品学习资源x 6如函数 f x 2x 1x a为奇函数，就a 欢迎下载精品学习资源123欢迎下载精品学习资源A. 2B. 3C.4D 1解读： 选 Af xx 2x 1x a是奇函数，欢迎下载精品学习资源f 1 f1 ，1 1， 2 1 1a2 11 a1a 131 a，解得 a 2.7. 已知 fx是偶函数，当 x0 时， f x.解读： x0， x0 时， f x x2 x.答案： x2x8. 定义在 2,2上的奇函数fx在 0,2 上的图象如下列图，就不等式 fxx 的解集为解读：依题意，画出 y fx与 y x
14、 的图象，如下列图，留意到yfx的欢迎下载精品学习资源图象与直线y x 的交点坐标是22223，3和 3，3，结合图象可知，fxx 的解集为欢迎下载精品学习资源22欢迎下载精品学习资源2， 3 0， 3 .3答案： 2， 23 0， 23欢迎下载精品学习资源9. 已知函数 fx是定义在 R 上的奇函数，其最小正周期为3，且 x 2， 0 时， f xlog 2 3x1 ，就 f2 011 .解读： f2 011 f3 6701 f1 f 1 log23 1 2.欢迎下载精品学习资源答案： 2xx10. 已知函数 fx x2 a 0，常数 a R欢迎下载精品学习资源1判定 fx的奇偶性，并说明理
15、由；2如 f 1 2，试判定 fx在2 ， 上的单调性 解： 1当 a0 时， fx x2，fxfx，函数是偶函数当 a0 时， f x x2 a0，常数 aR，取 x 1，得 f 1 f1 2 0； x xf1 f1 2a 0，即 f 1 f1 ，f 1f1 故函数 f x既不是奇函数也不是偶函数 2如 f 1 2，即 1 a 2，解得 a 1，x这时 fx x2 1.任取 x1， x22 ， ，且 x1x2，欢迎下载精品学习资源就 fx fx x2 1 x2 1欢迎下载精品学习资源121x12x2欢迎下载精品学习资源 x1 x2 x1 x2x2 x1 x1x2欢迎下载精品学习资源x x x
16、1 x2 x1 x2 1.1 2欢迎下载精品学习资源由于 x1 2， x2 2，且 x1x2.1故 x1 x2x1x2，所以 fx10，0，x 0， x2 mx， x0是奇函数欢迎下载精品学习资源(1) 求实数 m 的值；22(2) 如函数 fx在区间 1，a 2 上单调递增，求实数a 的取值范畴 解： 1设 x0，欢迎下载精品学习资源所以 f x x 2 x x 2x.欢迎下载精品学习资源2又 fx 为奇函数，所以 f x f x，欢迎下载精品学习资源2于是 x1， a 21，欢迎下载精品学习资源所以 1 a 3，故实数 a 的取值范畴是 1,3 12. 已知函数 fx是定义在 R 上的奇函
17、数，且它的图象关于直线x 1 对称 1求证： fx是周期为 4 的周期函数；2如 f x x0 x 1，求 x 5， 4 时，函数 fx 的解读式解： 1证明：由函数 fx的图象关于直线 x 1 对称，得 fx 1 f1 x， 即有 f x fx2 又函数 f x是定义在 R 上的奇函数， 故有 f x fx 故 fx 2 fx从而 fx 4 fx 2 fx ， 即 fx 是周期为 4 的周期函数欢迎下载精品学习资源2由函数 fx是定义在 R 上的奇函数，有 f 0 0. x 1,0时， x0,1 ，fx f x x，又 f0 0， 故 x 1,0时， fx x. x 5， 4 ， x 4 1
18、,0，fx fx 4 x 4.从而， x 5， 4 时，欢迎下载精品学习资源函数 fx x 4.课后练习欢迎下载精品学习资源1设 f x是奇函数，且在0， 内是增函数，又f 3 0，就 xfx0 的解集是A x| 3x3 B x|x 3，或 0x3C x|x3D x| 3x0，或 0x3解读： 选 D由 xfx0 ，欢迎下载精品学习资源x0x0，或f x 0，欢迎下载精品学习资源而 f 3 0， f3 0，欢迎下载精品学习资源xf 3x0，或f x f 3 ，欢迎下载精品学习资源所以 xfx0 的解集是 x| 3x0，或 0x3 2 设 f x 是 定 义 在 R上 且 周 期 为2的 函 数
19、 ， 在 区 间 1,1 上 ， fx 欢迎下载精品学习资源ax 1， 1 x 0，bx 2， 0 x 1，其中 a， b R.如 f 1f 3 ，就 a 3b 的值为欢迎下载精品学习资源x 12231欢迎下载精品学习资源解读： 由于 fx是定义在 R 上且周期为2 的函数，所以 f2 f 2 ，且 f 1 f1 ，欢迎下载精品学习资源1112b 21欢迎下载精品学习资源故 f 2 f 2 ，从而1 2a 1,3a 2b 2. 12欢迎下载精品学习资源由 f 1 f1 ，得 a 1b 22，故 b 2a.欢迎下载精品学习资源由得 a 2， b 4，从而 a3b 10.欢迎下载精品学习资源答案：
20、 103已知函数fx的定义域是 0 ， ，且满意 fxy fx f y， f 0xf y，1求 f 1；2解不等式 f x f3 x 2.解： 1令 x y 1，就 f1 f1 f1， f1 0.12 1 ，假如对于欢迎下载精品学习资源12f x f3 x 2f 2 ，欢迎下载精品学习资源1fxf 21 f3 x f 2 0f1， f x2 f 3x2 f1 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f x3 xf 1，欢迎下载精品学习资源2 2欢迎下载精品学习资源 x0，就3 x0，解得 1 x g0 g 1答案： f1 g0 g 12. 关于 y fx，给出以下五个命题：欢迎下载精品学习资
21、源如 f 1 x f1 x，就 yfx是周期函数；如 f1 x f1 x，就 yfx为奇函数；如函数 y fx 1的图象关于 x 1 对称，就 y fx为偶函数；函数 y f1 x与函数 y f1 x的图象关于直线 x 1 对称；如 f1 x f1 x，就 y fx的图象关于点 1,0对称 填写全部正确命题的序号 解读： 由 f 1 x f1 x可知，函数周期为 2，正确；由 f1 x f1 x 可知， y fx 的对称中心为 1,0，错； y f x 1向左平移 1 个单位得 y fx，故 yfx关于 y 轴对称，正确；两个函数对称时，令 1 x1 x 得 x 0，故应关于 y 轴对称，错；
22、由 f1 x f 1 x 得 y f x关于 x 1 对称，错，故正确的应是.答案： 3. 已知fx 是偶函数，且fx在0 ， 上是增函数，假如fax 1 f x 2在 x1， 1 上恒成立，求实数a 的取值范畴 22解： 由于 fx 为偶函数，且在 0 ， 上为增函数，就在 ， 0 上为减函数，由fax 1 fx 2，就 |ax1| |x 2|，又 x1， 1 ，故|x 2| 2 x，欢迎下载精品学习资源，即 x 2 ax 12 x.故 x 3 ax 1x,1 3 a 11，在 11 上恒成立欢迎下载精品学习资源xx213由于 x 1 min 0， 1 x max 2，故 2 a 0.欢迎下载