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函数的奇偶性与周期性 第 2 页 函数的奇偶性与周期性 一、函数的奇偶性 1.定义：对于函数 fx，如果对于定义域内任意一个 x，都有 f-x=-fx，那么 fx为奇函数；对于函数 f x，如果对于定义域内任意一个 x，都有 f-x=fx，那么 fx为偶函数；2.性质：1函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数；2 fx，gx的定义域为 D；3图象特点：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于原点对称；4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数 fx在原点处有定义，那么有 f0=0；5任意一个定义域关于原点对称的函数 fx总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：fx=gx+hx，其中 gx=-fx+f-x为偶函数，hx=-fx-f-x为奇函数；6奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。3.判断方法：1定义法 第 3 页 2等价形式：f-x+fx=0，fx为奇函数；f-x-fx=0，fx为偶函数。4.拓展延伸：1一般地，对于函数 y=fx，定义域内每一个自变量 x，都有 fa+x=2b-fa-x，那么 y=fx的图象关于点a，b成中心对称；2一般地，对于函数 y=fx，定义域内每一个自变量 x都有 fa+x=fa-x，那么它的图象关于 x=a 成轴对称。