函数单调性奇偶性周期性.pdf

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1、函数单调性、奇偶性、周期性 知识点梳理 一函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称 奇函数)(xf在原点有定义,则0)0(f；2、)(xf是奇函数)()(xfxf)(xf图像关于原点对称；3、)(xf是偶函数)()(xfxf)(xf图像关于 y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律:奇奇=奇,偶偶=偶 奇/奇=偶,奇/偶=奇,偶/偶=偶 二函数的单调性 方法：导数法；规律判断法；图像法;1、单调性的定义：)(xf在区间M上是增减函数,21Mxx 当21xx 时)0(0)()(21xfxf 2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21xfxf化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负；3

2、、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法：转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决；先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解;4、一些判断单调性的规律:减+减=减,增+增=增；1()()()f xf xf x与、的单调性相反；三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑 1、首先将原函数)(xgfy 分解为基本初等函数：)(xgu 与)(ufy；2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性;四函数的周期性 1、周期性的定义：若有)()(xfTxf,则称函数)(xf为周期函数,T为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期

3、都指最小正周期;2、三角函数的周期 Txy:tan,|:tanTxy|2:)cos(),sin(TxAyxAy 3、与周期有关的结论：)()(axfaxf或(2)()f xaf x)(xf的周期为a2；)()(xfaxf)(xf的周期为a2；1()()f xaf x)(xf的周期为a2；考点剖析 一考查一般函数的奇偶性 例 1、设函数 fx 是定义在 R 上的奇函数,若当 x0,+时,fxlg x,则满足 fx0 的 x 的取值范围是 .变式 1、若函数(1)()yxxa为偶函数,则 a=A2 B1 C1 D2 变式 2、函数1()f xxx的图像关于 Ay轴对称 B 直线xy对称 C 坐标原

4、点对称 D 直线xy 对称 二考查函数奇偶性的判别 例 2、判断下下列函数的奇偶性 122(1),0()(1),0 xxxf xxxx 224()|3|3xf xx 变式 3、已知函数0()(2xxaxxf,常数)aR 1 讨论函数)(xf的奇偶性,并说明理由；变式 4、判断下下列函数的奇偶性 121()log1xf xx 21,0()1,0 xxf xxx 三考查抽象函数的奇偶性 例 3、已知函数 fx,当 x,yR 时,恒有 fx+y=fx+fy.求证：fx 是奇函数；变式 5A、若定义在 R 上的函数 fx 满足：对任意12,x x R 有1212()()()1f xxf xf x,则下

5、列说法一定正确的是 Afx 为奇函数 Bfx 为偶函数 C fx+1 为奇函数 Dfx+1 为偶函数 变式 5B、已知函数()f x,当,x yR时,恒有()()()f xyxf yyf x,求证()f x是偶函数;三考查一般函数的单调区间暂不讲 例 4、设函数1()(01)lnf xxxxx且,求函数()f x的单调区间；变式 6、函数xexxf)3()(的单调递增区间是 A.)2,(B.0,3 C.1,4 D.),2(四考查复合函数的单调区间 例 5、判断函数 fx=12x在定义域上的单调性.变式 7、求函数 y=21log4x-x2的单调区间.五考查函数单调性的运用 例 6A、定义在 R

6、 上的偶函数()f x满足：对任意的1212,0,)()x xxx,有2121()()0f xf xxx.则 A(3)(2)(1)fff B(1)(2)(3)fff C(2)(1)(3)fff D(3)(1)(2)fff 变式8、2008全国设奇函数()f x在(0)，上为增函数,且(1)0f,则不等式()()0f xfxx的解集为 A(10)(1)，B(1)(01)，C(1)(1)，D(10)(01)，例 6B、已知函数32()f xxaxax在区间(1,)上递增,求a的取值范围;变式 9、已知函数0()(2xxaxxf,常数)aR 1 略 2 若函数)(xf在2)x，上为增函数,求a的取值

7、范围 六考查函数周期性的应用 例 7、函数 f x对于任意实数x满足条件 12fxfx,若 15,f 则 5ff_;变式 10、已知函数 f x满足：114f,4,f x f yf x yf x y x y R,则2010f=_.变式 11、已知定义在 R 上的奇函数 fx 满足 fx+2=fx,则,f6 的值为 A1 B 0 C 1 D2 方法小结 1、注意：单调区间一定要在定义域内,且不可以有“”,只能用“和”,“,”.2、含有参量的函数的单调性问题,可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围,其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式,结合定义域求出参数的取值范

8、围.3、判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断或证明函数是否具有奇偶性.如果要证明一个函数不具有奇偶性,可以在定义域内找到一对非零实数a与a,验证fafa0.4、函数的周期性：第一应从定义入手,第二应结合图象理解.课后强化 1.若函数2()()af xxaxR,则下列结论正确的是 Aa R,()f x在(0,)上是增函数 Ba R,()f x在(0,)上是减函数 Ca R,()f x是偶函数 Da R,()f x是奇函数 2.下列函数()f x中,满足“对任意1x,2x0,当1x2()f x的是 A()f x=1x B.()f x=2(1)x C.()

9、f x=xe D()ln(1)f xx 3.已知偶函数()f x在区间0,)单调增加,则满足(21)fx1()3f的 x 取值范围是 A13,23 B 13,23 C12,23 D 12,23 4.已知函数)(xf是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有)()1()1(xfxxxf,则)25(f的值是 A.0 B.21 C.1 D.25 5.已知定义在 R 上的奇函数)(xf,满足(4)()f xf x,且在区间 0,2 上是增函数,则 .A.(25)(11)(80)fff B.(80)(11)(25)fff C.(11)(80)(25)fff D.(25)(80)(11)

10、fff 6、已知()f x在 R 上是奇函数,且(4)(),f xf x2(0,2)()2,(7)xf xxf当时，则 A.2 C.98 7、设 fx 为定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,fx=2x+2x+bb 为常数,则 f-1=A 3 B 1 C-1 D-3 8、给定函数12yx,12log(1)yx,|1|yx,12xy,其中在区间0,1 上单调递减的函数序号是 A B C D 9、若函数 fx=3x+3-x与 gx=3x-3-x的定义域均为 R,则 Afx 与 gx 均为偶函数 B.fx 为偶函数,gx 为奇函数 Cfx 与 gx 均为奇函数 D.fx 为奇函数,gx 为偶函数 1

11、0、11、设函数 fx=xex+ae-xxR 是偶函数,则实数 a=_ 12、以下 4 个函数:12 x)x(f;11xx)x(f;2211xx)x(f;xxlg)x(f11.其中既不是奇函数,又不是偶函数的是 A.B.C.D.13、已知函数),xx(lgx)x(f122若 f aM,则 f a 等于 A.Ma 22 B.22aM C.22aM D.Ma22 14、设 yf x 是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f xx 22 x,则在 R 上 f x 的表达式为 A.)x(x2 B.)|x|(x2 C.)x (|x|2 D.)|x|(|x|2 15函数1)(xaxf)1,0aa是减函数

12、,则a的取值范围是 A 1,0a B,1a CRa DRa 16函数)(xf112xx的单调增区间是 A 11,B1,1,C1,D,11,17已知(31)4,1()log,1aaxa xf xx x是(,)上的减函数,那么a的取值范围是 A(0,1)B1(0,)3 C1 1,)7 3 D1,1)7 18若 fx=-x2+2ax 与1)(xaxg在区间 1,2 上都是减函数,则 a 的值范围是 A)1,0()0,1(B 1,0()0,1(C0,1 D 1,0(19若函数)1,0()(log)(3aaaxxxfa在区间)0,21(内单调递增,则 a 的取值范围是 A)1,41 B)1,43 C),

13、49(D)49,1(20函数)1lg()(2xxxf是 A奇函数 B偶函数 C是奇函数也是偶函数 D非奇非偶函数 21函数2222)(xxxf是 A奇函数 B偶函数 C是奇函数也是偶函数 D非奇非偶函数 22函数)0(,)0(,)(22xxxxxxxf是 A奇函数 B偶函数 C是奇函数也是偶函数 D非奇非偶函数 23定义在 R 上的偶函数 fx 满足 fx=fx+2,当 x3,5 时,fx=2|x4|,则 Afsin6fcos1 Cfcos32fsin2 24定义在 R 上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数.若)(xf的最小正周期是,且当2,0 x时,xxfsin)(,则)35(f的值为 A

14、21 B21 C23 D23 25已知定义在 R 上的奇函数 fx 满足 fx+3=fx,则,f6 的值为 A1 B 0 C 1 D2 26)(xf是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且0)2(f,则方程)(xf=0 在区间 0,6 内解的个数的最小值是 A5 B4 C3 D2 27下列函数既是奇函数,又在区间1,1上单调递减的是 A()sinf xxB()1f xx C1()2xxf xaaD2()ln2xf xx 28若函数 fx=121X,则该函数在-,+上是 A 单调递减无最小值 B 单调递减有最小值 C 单调递增无最大值 D 单调递增有最大值 29下列函数中,在其定义域内既是奇

15、函数又是减函数的是 A.Rxxy,3 B.Rxxy,sin C.Rxxy,D.Rxxy,)21(30已知Ra,函数Rxaxxf|,|sin)(为奇函数,则 a A0 B1 C1 D1 31 若函数 fx 是定义在 R 上的偶函数,在0,(上是减函数,且 f20,则使得fx0 的 x 的取值范围是 A,2 B 2,C,22,D 2,2 32设()f x是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 A()()f x fx是奇函数 B()()f xfx是奇函数 C()()f xfx是偶函数 D()()f xfx是偶函数 33函数)2(log)(22xxxf的单调增区间是_,减区间是_.34.函数1231

16、)(xxxf的单调增区间是_,减区间是_.35.设 fx 是定义在 R 上的奇函数,且 y=f x 的图象关于直线21x对称,则 f 1+f 2+f 3+f 4+f 5=_.36若函数)2(log)(22axxxfa是奇函数,则 a=.37、函数 fx=111122xxxx的图象 A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 x=1 对称 38、函数 fx 在 R 上为增函数,则 y=f|x+1|的一个单调递减区间是_.39、若 fx 为奇函数,且在 0,+内是增函数,又 f3=0,则 xfx0,b0 是奇函数,当 x0 时,fx 有最小值 2,其中 bN 且f1

17、21,得(3)(2)(1)fff,故选 A.变式 8、D 例 6B、解：32()f xxaxax在区间(1,)上递增 2()320fxxaxa在区间(1,)上恒成立 即2(21)3xax 在区间(1,)上恒成立 210 x 2321xax 在区间(1,)上恒成立 只要满足2max3()21xax 23333334(21)(2)321422142xxxx 3a 变式 9、2 解：)(xf在2)x，上为增函数 ()0fx在2)x，上恒成立 即32202axaxx即在2)x，上恒成立,故只要满足3min(2)ax 显然33min(2)2 216x a的取值范围是(16，例 7、解析：由 12fxfx

18、得14()2fxf xfx,所以(5)(1)5ff,则 115(5)(1)(12)5fffff ;变式 10、解析：取x=1 y=0 得21)0(f 法一：通过计算).4(),3(),2(fff,寻得周期为6 法二：取 x=n y=1,有 fn=fn+1+fn-1,同理 fn+1=fn+2+fn 联立得 fn+2=fn-1 所以 T=6 故2010f=f0=21 变式 11、解析：由 xfxfxfxfxf242 由 xf是定义在 R 上的奇函数得 00 f,002246ffff,故选择 B;1、答案：C 解析对于0a 时有 2f xx是一个偶函数 2、解析依题意可得函数应在(0,)x上单调递减

19、,故由选项可得 A 正确;3、答案 A 解析由于 fx 是偶函数,故 fxf|x|得 f|2x1|f13,再根据 fx 的单调性 得|2x1|13 解得13x23 4、答案 A 解析若x0,则有)(1)1(xfxxxf,取21x,则有：)21()21()21(21211)121()21(fffff)(xf是偶函数,则)21()21(ff 由此得0)21(f 于是,0)21(5)21(2121135)121(35)23(35)23(23231)123()25(fffffff 5、解析:因为)(xf满足(4)()f xf x,所以(8)()f xf x,所以函数是以 8 为周期的周期函数,则)1(

20、)25(ff,)0()80(ff,)3()11(ff,又因为)(xf在 R 上是奇函数,(0)0f,得0)0()80(ff,)1()1()25(fff,而由(4)()f xf x 得)1()41()3()3()11(fffff,又 因 为)(xf在 区 间 0,2上 是 增 函 数,所 以0)0()1(ff,所以0)1(f,即(25)(80)(11)fff,故选 D.6、选 A 7、答案 D 8、答案：B 9、D()33(),()33()xxxxfxf x gxg x 10、11、解析 gx=ex+ae-x为奇函数,由 g0=0,得 a=1;12、A 13、A 14、B 15、B 16、D 1

21、7、C 18、D 30、A 33.,2;1,34.,21;21,36.22 37、答案：C 解析：fx=fx,fx 是奇函数,图象关于原点对称.38、解析：令 t=|x+1|,则 t 在,1上递减,又 y=fx 在 R 上单调递增,y=f|x+1|在,1上递减.答案：,1 39、答案：3,00,3 解析：由题意可知：xfx00)(00)(0 xfxxfx或 3030 )3()(0 )3()(0 xxxxfxfxfxfx或或x3,00,3 40、答案：f31f32f1 解析：fx 为 R 上的奇函数 f31=f31,f32=f32,f1=f1,又 fx 在1,0 上是增函数且31 321.f31

22、f32f1,f31f32f1.41、解：1fx 是奇函数,fx=fx,即cbxcbxcbxaxcbxax1122 c=0,a0,b0,x0,fx=bxxbabxax11222ba,当且仅当 x=a1时等号成立,于是22ba=2,a=b2,由 f125得ba125即bb1225,2b25b+20,解得21b2,又 bN,b=1,a=1,fx=x+x1.2 设存在一点 x0,y0在 y=fx 的图象上,并且关于 1,0 的对称点 2x0,y0也在 y=fx 图象上,则0020002021)2(1yxxyxx 消去 y0得 x022x01=0,x0=12.y=fx 图象上存在两点 1+2,22,12,22关于 1,0 对称.42、解：1 由 f x的定义域为R,关于原点对称 1111xxxxaafxf xaa 得 f x为R上的奇函数 2 证明：12xxR,则由1a 得12xxaa 12121212122121101111xxxxxxxxaaaaf xf xf xf xaaaa 当1a 时,f x在R上单调递增 43、,33,44、1,3 45、1 46、00且ab 47、0