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1、1 2019-2020 年高考数学大题综合练习（二）1.已知函数22( )2sin2sin ()6fxxx， xR. （1）求函数( )yfx的对称中心；（2）已知在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，且()262Bbcfa，ABC的外接圆半径为3，求ABC周长的最大值 . 【解析】( )1cos21cos2()cos(2)cos263f xxxxx13cos2sin 2cos222xxx31sin 2cos2sin(2)226xxx. （1）令26xk（kZ），则212kx（kZ），所以函数( )yf x的对称中心为(,0)212kkZ；（2）由()262Bbcfa，得
2、sin()62bcBa，即31sincos222bcBBa，整理得3 sincosaBaBbc，由正弦定理得：3 sinsinsincossinsinABABBC，化简得3 sinsinsincossinABBAB，又因为sin0B，所以3 sincos1AA，即1sin()62A，由0A，得5666A，所以66A，即3A，又ABC的外接圆的半径为3，所以2 3sin3aA，由余弦定理得2222222cos()3abcbcAbcbcbcbc2223()()()44bcbcbc，即6bc，当且仅当bc时取等号，所以周长的最大值为9.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
3、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 2.如图,在梯形 ABCD 中,/ /,120ABCDBCD，四边形 ACFE 为矩形，CF平面 ABCD，ADCDBCCF，点 M 是线段 EF 的中点 . （1）求证： EF平面 BCF；（2）求平面 MAB 与平面 FCB 所成的锐二面角的余弦值. 【解析】（1）在梯形ABCD中， / /,120ABCD ADBCBCD，60 ,120DABABCADC，又ADCD，30DAC，30CAB，90ACB，即BCAC. CF平面ABCD，
4、AC平面ABCD. ACCF，而CFBCCAC平面BCF. / /EFAC，EF平面BCF. （2）建立如图所示空间直角坐标系，设1ADCDBCCF, 则30,0,0 ,3,0,0 ,0,1,0 ,0,12CABM，33,1,0 , 1,12ABBMuuu ru uu u r. 设1, ,nx y zu u r为平面MAB的一个法向量，由110,0,nABnBMu u ruuu ru u ruuuu r得30302xyxyz取1x，则131,3,2nu u r，21,0,0nuu r是平面FCB的一个法向量，121212 19cos193134nnnnu u ruu ru u ru u r.名
5、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 3.某省 2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为： 85 分及以上，记为A等；分数在70,85 内，记为 B等，分数在60,70 内，记为 C 等；60分以上，记为 D 等.同时认定 A，B，C 为合格， D 为不合格 .已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在50,100 内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50 名学生的原始成
6、绩作为样本进行统计，按照50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1 所示，乙校的样本中等级为C，D 的所有数据茎叶图如图2 所示. （1）求图 1 中 x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲，乙两校C 等级的学生中随机抽取3 名学生进行调研，用X 表示所抽取的 3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望 . 【解析】（1）由题意，可知100.012 100.056 10 x0.018 100.010 101，0.004x. 甲学校的合格率为1 10 0.0040.96，
7、而乙学校的合格率为210.9650，甲、乙两校的合格率均为96%. （2）样本中甲校C等级的学生人数为0.012 10 506，而乙校C等级的学生人数为4. 随机抽取3人中，甲校学生人数X的可能取值为0，1，2，3，343101030CP XC，12643103110C CP XC，2164310122C CP XC，36310136CP XC，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4 X的分布列为X0123P1303
8、101216数学期望311912310265EX. 4.已知椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点23(,)22P，动直线 l：ykxm交椭圆 C 于不同的两点 A、B，且0OA OBuuu r uuu r（O为坐标原点） . （1）求椭圆 C 的方程 . （2）讨论2232mk是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由. 【解析】（1）由题意可知22ca，所以222222()acab，即222ab，又点23(,)22P在椭圆上，所以有2223144ab，由 联立，解得21b，22a，故所求的椭圆方程为2212xy. （2）设11(,)A xy，22(,)B xy
9、，由0OA OBuu u r uu u r，可知12120 x xy y. 联立方程组2212ykxmxy，消去y化简整理得222(12)4220kxkmxm，由2222168(1)(12)0k mmk，得2212km，所以122412kmxxk，21222212mx xk，又由题知12120 x xy y，即1212()()0 x xkxmkxm，整理为221212(1)()0kx xkm xxm. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - -
10、 - - - - - 5 将代入上式，得22222224(1)01212mkmkkmmkk. 化简整理得222322012mkk，从而得到22322mk. 5.已知等差数列 an的首项为 1，公差为 d，数列 bn的前 n 项和为 Sn，且对任意的*nN，692nnnSba恒成立（1）如果数列 Sn 是等差数列，证明数列 bn也是等差数列；（2）如果数列12nb为等比数列，求d的值；（3）如果3d，数列 cn 的首项为 1，1(2)nnncbbn，证明数列 an 中存在无穷多项可表示为数列 cn中的两项之和【解析】（1）设数列 nS的公差为d，由692nnnSba， 111692(2)nnnS
11、ban， -得1116()9()()nnnnnnSSbbaa， 即169()nndbbd，所以169nnddbb为常数，所以nb为等差数列（2）由 得1699nnnbbbd，即139nnbbd，所以11111111133()11322332311112222nnnnnnndddbbbbbbb是与 n 无关的常数，所以103d或112nb为常数当103d时，3d，符合题意；当112nb为常数时，在692nnnSba中令1n，则111692aba，又11a，解得11b，8分所以11113222nbb，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
12、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 此时111333311322nddb，解得6d综上，3d或6d（3）当3d时，32nan，由（ 2）得数列12nb是以32为首项，公比为3 的等比数列，所以11313=3222nnnb，即1=(31)2nnb当2n时，11111(31)(31)322nnnnnncbb，当1n时，也满足上式，所以13(1)nncn设(1)nijaccij，则113233ijn，即133(31)2ijin，如果2i ，因为3n为 3 的倍数，13(31)iji为 3 的倍数，所以 2 也为 3
13、 的倍数，矛盾所以1i，则1333jn，即213(2,3,4,)jnjL所以数列na中存在无穷多项可表示为数列nc中的两项之和6.已知函数2( )ln(R)fxxaxx a. （1）讨论函数( )f x在1,2上的单调性；（2）令函数12( )( )xg xexaf x，e=2.71828 是自然对数的底数，若函数( )g x 有且只有一个零点 m，判断 m与 e的大小，并说明理由 . 【解析】（1）由已知0 x，且2121( )2xaxfxxaxx当280a时，即当222 2a时，( )0fx则函数( )f x在1,2上单调递增当280a时，即2 2a或2 2a时，2210 xax有两个根，
14、284aax，因为0 x，所以284aax名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 1 当2814aa时，令(1)30fa，解得3a当32 2a或2 2a时，函数( )f x在1,2上单调递增2 当28124aa时，令(1)30fa，9(2)02fa，解得932a当932a时，函数( )f x在281,4aa上单调递减，在28,24aa上单调递增；3 当2824aa时，令9(2)02fa，解得92a当92a时，函数(
15、)f x在1,2上单调递减；（2）函数121( )( )lnxxg xexafxexaxa则11( )( )xgxeah xx则121( )0 xh xex，所以( )gx在(0,)上单调增当0,( ),( )xg xxg x，所以( )Rg x所以( )g x在(0,)上有唯一零点1x当11(0,),( )0,(,),( )0 xxgxxxgx，所以1()g x为( )g x的最小值由已知函数( )g x有且只有一个零点m，则1mx所以()0,()0,g mg m则1110ln0mmeamemama则11111ln()()0mmmemememm，得11(2)ln0mmm emm令11( )(
16、2)ln(0)xxp xx exxx，所以()0,p m则121( )(1)()xp xx ex，所以(0,1),( )0,(1,),( )0 xp xxp x所以( )p x在(1,)单调递减，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8 因为1111(1)10,( )(2)1(2)0eeepp ee ee eee所以( )p x在(1, )e上有一个零点，在( ,)e无零点 . 所以me. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -