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1、2021年 陕 西 高 考 数 学 大 题 练 习(一)1.集 合 A=1,3,a,B=1,a?,问 是 否 存 在 这 样 的 实 数,使 得 B A,且 ACB=1,a?若 存 在，求 出 实 数。的 值；若 不 存 在，说 明 理 由.2.在 A4BC中，a、力、c分 别 是 三 内 角 A、B、C 的 对 应 的 三 边，已 知?+c?=，+庆。(I)求 角 A 的 大 小：(H)若 2sin2 g+2sin2c=1,判 断 AABC的 形 状。2 23.设 椭 圆 的 中 心 在 原 点，焦 点 在 x轴 上,离 心 率 6=岑.已 知 点 P(0,卞 到 这 个 椭 圆 上 的 点
2、 的 最 远 距 离 为 近，求 这 个 椭 圆 方 程.4.数 列 伍,为 等 差 数 列，为 正 整 数，其 前 项 和 为 S，数 列 为 等 比 数 歹！I，且 4=3,乙=1,数 列%是 公 比 为 64的 等 比 数 列，凰 52=64.|7(1)求 a”也;(2)求 证 一+-.E 52 S 45.已 知 函 数/(x)=的 定 义 域 为 集 合 A,函 数 g(x)=lg(-/+2x+m)的定 义 域 为 集 合 B.当 m=3时，求 A C I(C RB);若 A D 3=k|1 X/2+sin 0,2 V2-cos 0),G(肛 一 九)，若 2_ _ rr 7m n=,
3、求：(1)sin(6d)的 值；(2)COS(6 H-乃)的 值.4 12j r7.在 几 何 体 ABCDE 中，NBAC=,D C,平 面 ABC,2点，AB=AC=BE=2,CD=1(I)求 证:DCII平 面 ABE；(H)求 证:AF_L 平 面 BCDE；(0)求 证:平 面 AFD_L平 面 AFE.8.已 知 AO FQ的 面 积 为 24,O F F Q m.(1)设 加 V m V 4 m，求 向 量 赤 与 匝 的 夹 角 9 正 切 值 的 取 值 范 围;设 以。为 中 心，F 为 焦 点 的 双 曲 线 经 过 点 Q(如 图 乂 而 卜。，m=(呼-l)c27当|
4、而|取 得 最 小 值 时，求 此 双 曲 线 的 方 程.37r9.已 知 向 量?=(3sina cosa),b=(2sina,5sina4cosa),a(,2n),且 7_1_匕.(1)求 tana的 值；(2)求 cos+)的 值.10.某 隧 道 长 2150m,通 过 隧 道 的 车 速 不 能 超 过 20m/s。一 列 有 55辆 车 身 长 都 为 1 0 m的 同 一 车 型 的 车 队(这 种 型 号 的 车 能 行 驶 的 最 高 速 为 40m/s),匀 速 通 过 该 隧 道，设 车 队 的 速 度 为 xm/s,根 据 安 全 和 车 流 的 需 要，当 0 x
5、K 1 0时，相 邻 两 车 之 间 保 持 2 0 m 的 距 离；当 10 xW2()时，相 邻 两 车 之 间 保 持(：x 2+3)m的 距 离。自 第 1 辆 车 车 头 进 入 隧 道 至 第 55辆 车 尾 离 开 隧 道 所 用 的 时 间 为 y(s)。(1)将 y 表 示 为 x 的 函 数。(2)求 车 队 通 过 隧 道 时 间 y 的 最 小 值 及 此 时 车 队 的 速 度。(G al.73)11.设 数 列 4 的 前 项 和 为 S“，且 满 足 S“=2-4,=1,2,3,.。(I)求 数 列 an 的 通 项 公 式；(n)若 数 列 bn 满 足 bi=
6、l,且 bn+l=bn+an,求 数 列 bn 的 通 项 公 式；(III)设 Cn=n(3 bn),求 数 列 Cn 的 前 项 和 Tn12.设 函 数/(x)=(x+l)2-2Zlnx.(1)当 k=2时，求 函 数 f(x)的 增 区 间；(2)当 k V O 时，求 函 数 g(x)=r(x)在 区 间(0,2 上 的 最 小 值.13.已 知 向 量 m-(V3 sin 2x+2,cosx),n=(1,2cosx),设 函 麴(x)=m n.(1)求/(x)的 最 小 正 周 期 与 单 调 递 减 区 间。(2)在 AABC中，a、b、c 分 别 是 角 A、B、C 的 对 边
7、，若/(A)=4/=l,ABC的 面 积 为 自，求 a 的 信 14.已 知 数 列 a“为 等 差 数 列，且 4=2,4+生+。3=12.(I)求 数 列%的 通 项 公 式；(口)令 2=3，求 证：数 列 也,是 等 比 数 列.15.已 知 a 是 实 数，函 数/(%)=是(x-a).(I)若/=3,求。值 及 曲 线 y=/(x)在 点(1J)处 的 切 线 方 程；(口)求/(x)在 区 间 0,2 上 的 最 大 值.16.已 知 二 次 函 数/(无)=/一 R)同 时 满 足：不 等 式/(x)W 0 的 解 集 有 且 只 有 一 个 元 素；在 定 义 域 内 存
8、在 0 占/，使 得 不 等 式/(尤 1)/()成 立。设 数 列 4 的 前 项 和 S“=f()。(1)求/(x)表 达 式；(2)求 数 列 a,J的 通 项 公 式；(3)设 勿=(百)册+5,%=的+%-么,c“前 n 项 和 为 T“，T”+加 对 bn%(e N*,2)恒 成 立，求 m 范 围 2 217.设 R，K 分 别 是 椭 圆 C：0+2=1(。人 0)的 左、右 焦 点(1)若 椭 圆 C 上 的 点 A(l,手 到 耳 K 两 点 的 距 离 之 和 等 于 4,写 出 椭 圆 C 的 方 程 和 焦 点 坐 标；(2)设 点 P 是(1)中 所 得 椭 圆 上
9、 的 动 点，。(0,3,求 P Q 的 最 大 值；18.设 函 数/(幻=/+如 3+2彳 2+/x e R),其 中 a,h&R.(I)当。=-与 时，讨 论 函 数/(x)的 单 调 性；(口)若 函 数/(x)仅 在 x=0 处 有 极 值，求 a 的 取 值 范 围；(I D)若 对 于 任 意 的 a-2,2,不 等 式/(x)W l在-1,1 上 恒 成 立，求 匕 的 取 值 范 围 19.在 一 个 特 定 时 段 内，以 点 E 为 中 心 的 7 海 里 以 内 海 域 被 设 为 警 戒 水 域.点 E正 北 5 5海 里 处 有 一 个 雷 达 观 测 站 A某 时
10、 刻 测 得 一 艘 匀 速 直 线 行 驶 的 船 只 位 于 点 A 北 偏 东 45。且 与 点 A 相 距 4 0及 海 里 的 位 置 B,经 过 4 0分 钟 又 测 得 该 船 已 行 驶 到 点 八 北 偏 东 45+6(其 中 sin=,0。90。)且 与 点 4 相 距 10比 5 海 里 的 26位 置 C.(I)求 该 船 的 行 驶 速 度(单 位：海 里/小 时)；(I I)若 该 船 不 改 变 航 行 方 向 继 续 行 驶.判 断 它 是 否 会 进 入 警 戒 水 域，并 说 明 理 由.20.已 知 分 别 以 4 和 4 为 公 差 的 等 差 数 列
11、伍”和 仇,满 足 卬=1 8,仿 4=3 6.(1)若 4=1 8,且 存 在 正 整 数%使 得 乙；=2 用 4-4 5,求 证：d2 108；(2)若 a*=%=0,且 数 列 为,a2,ak,bk+l,bk+2.4 4 的 前 几 项 和 S“满 足 S1 4=2Sk,求 数 列 an 和 他,的 通 项 公 式;参 考 答 案 1.解：由 人=1,3,a,B=1,a2,BcA,W a2=3.或。2=0.当。2=3 时，a=V3,止 匕 时 AnBx 1,a；-7 分 当 cf2=a 时，a=0 或 a=l,a=0 时，AnB=1,0；a=l 时，AnBH 1,a.综 上 所 述，存
12、 在 这 样 的 实 数 a=0,使 得 B q A,且 ACB=1,a.-14分 2.解：(I)在 AABC 中，b2+c2-a=2bccos A,又 cosA-,A-.6 分 2 3(II),.sin2+2sin2=1,.1 COSJB+1cosC=l.8 分 2 2/2%27.2万.(.COSJB+COSC=1,COSB+COS(-B)=1,cos B+cos cosfi+sm sin B=1,3 3 3sin 5+cos B=l,.,.sin(B+)=1,2 2 6.0B/?0),M(x,y)为 椭 圆 上 的 点，由=走 得 a b a 2a-2bAMf=+(y_|)2=-3(y+1
13、)2+4/,2+3 yh)若 Z?3，故 矛 盾.若 Z?2 时,y=一 _1 时 4+3=7,b2=I2 2丫 2所 求 方 程 为+/=144.解：(1)设 为 的 公 差 为 d,2的 公 比 为 q,则 d 为 正 整 数，an=3+(l)d,bn=q 1b 3+d=_z-=d=64=依 题 意 有 九 泮 i q S2b2=(6+d)q=64由（6+d M=64知 q 为 正 有 理 数，故 为 6 的 因 子 1,2,3,6之 一,解 得 d=2,q=8故%=3+2(-1)=2+1也=8T(2)S“=3+5+(2+1)=(+2)I 1 1+1 1 1-1-1-1x3 2x4 3x5
14、1+-(+2)1 1 1 1 1 1 1-+5 n(1-1 3 2 4 3=-(1+-2 2+1+2、3)0)=(-1,5x+1(1)当 m=3 时，8=目 一 f+2 x+30=(1,3).。*=杂/2+sin 0)+sin 0(242-cos 0)=2&(sin 0+cos 0).3 分 rr=4sin(+).5 分 又 相 九 二 1jr 1/.sin(H)=.7 分 4 4(2)由 于。(一 肛 一 乃),贝 I 夕+三(一 9 肛 一 3).9 分 2 4 4 4=.姮.14分 7.解：(I).DC_L平 面 ABC,EBL平 面 ABC.,.DC/EB,又,D C a平 面 ABE
15、,EBu平 面 ABE,.DCII平 面 ABE(4 分)平 面 ABC,.-.DCAF,又,AFB C,，AFJ平 面 BCDE(8 分)（HI）由 知 AF_L平 面 BCDE,.AFJ_E F,在 三 角 形 DEF中,由 计 算 知 DF_LEF,，EF_L平 面 A F D,又 E F u平 面 A F E,二 平 面 AFDJ_平 面 AFE.(1 4分=/方|苑 卜 in/OFQ,OF FQ=|OF|IFe|cos 乙 OFQ=m.-.t a n 0=-.又 V m V 4加 z.-.l ta n 0 0,b 0),Q(x1,y1),贝 iJ=(xi-c,yi),.SAOFQ=之
16、|-|yi|=2-/6.又 由 O F-FQ=(c,O Nxi-c,yi)=(xi-c)c=C-l)c2,.,.xi=4 c.8 分 当 且 仅 当 c=4时，|最 小，这 时 Q 点 的 坐 标 为（加，#）或（加，-枳）.1 2分 6 6a2+b2=16Ja2=4,，|b2=12.x2 y2故 所 求 的 双 曲 双 曲 线 方 程 为=1.1 4分 9.解：(1)aA.b,.。山=0.而 a=(3sina,cosa),b=(2sina,5sina4cosa),故 a-b=6sin2a+5sinacosa4cos2a=0.2 分 由 于 cosawO,.,.6tan2a+5 ta n a
17、4=0.解 之，得 ta n a=一 士，或 ta n a=.5 分 3 2o 1 A*.,aG(,2T C t a n a 0,故 t a n a=-(舍 去)./.ta n a=-.6 分 2 2 3(2),/a G(,2 n),九).2 2 4由 ta n a=一 士，求 得 tang=-,，tan=2(舍 去).3 2 2 2a 5 a 2A/5 sin=,cos=-，.1 1分 2 5 2 5a 兀、a 兀.a.r e+一)=coscos smsin 2 3 2 3 2 3275 1 V5 73 _ 2下+亚-X-X-5 2 5 2 10.14分 10.解：当。x 4 1 0时，2.
18、5 0+10X 55+20X(55-1)3780X X2150+10 x55+(1-x29+-1x)x(55-l)当 0 x20 时，y 二-x空 2+9X+18X所 以，y=(0 x10)X2700-+9x+18(10 x 329.4所 以，当 车 队 的 速 度 为 17.3(m/s)时，车 队 通 过 隧 道 时 间 y 有 最 小 值 329.46)11.=1 时，+H=q+q=2/.a,=1 Sn=2 an BJan+Sn=2,4+i+S,M=2 两 式 相 减：an+-an+S,用 S“=0 即 an+l-an+an+t=0故 有 2a“+=a“.anQ,=Nt)a.2所 以，数
19、列 4 为 首 项 q=l，公 比 为;的 等 比 数 列，a“=(g严(wN*)(口)=1，2,3,=(；严 得 b2-b=1 by-b2=|仇-a=(g bn-bn_x=(1)-2(n=2,3.)将 这-1个 等 式 相 加。一 仇=1+(+g)2+()3+(；厂 2=2 2(g)T1-2又.仇=1,.,.Z?=3-2(-)-(=1,2,3)221 2.解：(1)k=2,/(x)=(x+l)2-41nx.贝!j/(x)=2x+2-.3 分 x=2(x-l)(x+2)0,(此 处 用，”同 样 给 分).5 分 X注 意 到 x 0,故 X 1,于 是 函 数 的 增 区 间 为(1,4W)
20、.(写 为 1,+0同 样 给 分)7 分(2)当 k 0 时，g(x)=f(x)=2x+2-.g(x)=2(x+4)+2 2 4 Q+29 分 X X当 且 仅 当 X=Q 时，上 述 2中 取 若 Q(0,2,即 当 k-4,0)时，函 数 g(x)在 区 间(0,2 上 的 最 小 值 为 4 Q+2；11 分 若 k V-4,则 g，(x)=2(l+=)在(0,2 上 为 负 恒 成 立，X故 g(x)在 区 间(0,2 上 为 减 函 数，于 是 g(x)在 区 间(0,2 上 的 最 小 值 为 g(2)=6-k.13分 综 上 所 述，当-4,0)时，函 数 g(x)在 区 间(
21、0,2 上 的 最 小 值 为 4 G+2；当 k V-4时，函 数 g(x)在 区 间(0,2 上 的 最 小 值 为 6-k.15分13.解：/(x)=m-n=V3sin2x+2+2cos2 x=2sin(2x+)+3-4 分 6O TT(1)最 小 正 周 期 T=乌=万-6 分 2当(2x+-)e 2kjc+-2k兀+吗(0 Z)时,函 数 f(x)单 调 递 减 6 2 2，函 数 f(X)单 调 递 减 区 间 k7l+-,k7l+(k 6 Z)-10分 6 3(2)/(A)=2sin(2A+-)+3=4.,.sin(2A+-)=-6 6 2 n*/A G(0,7r)/.A=12
22、分 又 叉=0csinA=3 2 2/.c=2-14 分 7 b 2+/-2Z?ccosA=V.16 分 14.解：(1)数 列%为 等 差 数 列，设 公 差 为 d,由 6=2,/+2+%=12，得 3a2=12,%=4,d=2,an-ax+(l)d=2+(-1)2=2.6 分(n)：5=3册=3?=9,b=JQ,+1=9,b 9，数 列 h 是 等 比 数 列.12分 15.解：(I)fx)=3x2-2ax,因 为 尸(1)=3 2a=3,所 以 a=0.3 分 又 当。=0 时，/=1,/(1)=3,所 以 曲 线 y=/(x)在(1,/)处 的 切 线 方 程 为 3x-y-2=0.
23、6分(口)令/(x)=0,解 得=0,.7 分 当 W 0,即 a W O 时，/(x)在 0,2 上 单 调 递 增，从 而 篇 x=/(2)=8-4a9 分 当 日 2 2,即 时，/(x)在 0,2 上 单 调 递 减，从 而 九 x=/(0)=。当 0 彳 2,即 0 a 3 时，/(x)在 0,y 上 单 调 递 减，在 y,2上 单 调 递 增.13分 从 而/max=8-4a,0a 2,0,2 2.16分 16.解(l):/(x)。=0或。=4,当 a=4时，函 数/(x)=-4%+4在(0,2)上 递 减，故 存 在 0 匹 A/)成 立，当 a=0时,函 数/(%)=,在(0
24、,+QO)上 递 增 故 不 存 在 0 X1 f(x2)成 立，综 上，得 a=4,f(x)=x*2*-4x+4 27,=1,b,3,n22G1=18-n 2时，cn27(2)由(1)可 知 S“=-4+4,当 n=l 时，q=S=1当 22 时，2(3)bn=(V3)fl+5=12756x32n+3rt+1-3H.1-；-=2+3n x3 31F+C2+c“=q+2(“_l)+*一 击)2 1=18+2/7-2+127立，9 3rt+l1 C16H-2n-273,+iM 对 e N*,n 2 2 恒 成 可 转 化 为：m 16+n-)对 27 3n+l16+n-1 是 关 于 n 的 增
25、 函 数,27 3n+,8,所 以 m 2 恒 成 立，因 为 所 以 当 n=2时，其 取 得 最 小 值 117.解：(1)椭 圆 C 的 焦 点 在 x轴 上，由 椭 圆 上 的 点 A 到 片，鸟 两 点 的 距 离 之 和 是 4,得 2=4(3)2即 a=2,又 41怖)在 椭 圆 上，.；+备=1,解 得=3,于 是。2=1Y2 y2所 以 椭 圆。的 方 程 是 不+、=1,焦 点 耳(-1,0),8(1,0)设 P(x,y),则 亍+?=1，/=4 一 表 2PQ2=d+(；)2=4-g)，+)3-y+；=-；)/_y+：=_；(+1_)2+5I-Z I又.一 百”百，当 丁
26、=一 时，P0mx=小 18.解：(I)ff(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).当 a=-w 时，r(x)=x(4x2-10 x+4)=2x(2x-l)(x-2).3令/(X)=O,解 得 XI=0,%2=g，%3=2.当 X变 化 时，f(x),/(x)的 变 化 情 况 如 下 表：X(-8,0)0陷 22_(别 2(2,+8)fM0+00+f(x)极 小 值 71 极 大 值 极 小 值 71所 以/(x)在 o,；,(2,+8)内 是 增 函 数，在(_8,o),2)内 是 减 函 数./(口)解：:。)=武 4/+36+4),显 然 x=0不 是 方 程 4/+
27、3改+4=0的 根.为 使/(无)仅 在 x=0 处 有 极 值，必 须 4x2+3or+4,0恒 成 立，即 有 A=9-64W0.解 此 不 等 式，得-|W a W.这 时，/(0)=8是 唯 一 极 值.因 此 满 足 条 件 的。的 取 值 范 围 是(I H)解：由 条 件 a e-2,2 可 知=9 2-6 4 0 恒 成 立.当 X 0时，/(x)0时，f(x)0.因 此 函 数/（x）在-1,1 上 的 最 大 值 是/（I）与/（-1）两 者 中 的 较 大 者.为 使 对 任 意 的 a-2,2,不 等 式/（x）W l在 上 恒 成 立，当 且 仅 当|7 W1,j b
28、-2-a,即/(-1)W1,b-2+a在。目-2,2 上 恒 成 立.所 以 W T,因 此 满 足 条 件 的 人 的 取 值 范 围 是 1 9.解：(I)如 图，48=40五，AC=10V13,NBAC=e,sin 9=叵.26由 于 0。6 9 0。,所 以 cose=J1（噜 由 余 弦 定 理 得 BC=AB2+A C2-2 A B A C c o s 0=10曲.所 以 船 的 行 驶 速 度 为 当 5=1 5 6（海 里/小 时）.3（II）解 法 一 如 图 所 示，以 人 为 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，设 点 8、C的 坐 标 分 别 是 8（x i,力
29、），C（x i，及），8 c与 x 轴 的 交 点 为 D.由 题 设 有，Xi=yi=AB=40,X2=ACCOSZCAD=10V13cos(45o-6)=30,y2MCsin NCAD=10/sin(45-6)=20.70所 以 过 点 8、C的 直 线/的 斜 率 k=B=2,直 线/的 方 程 为 y=2x-40.又 点 E（0,-55）至 I 直 线/的 距 离 4=笔 2戈=3石 40=AQ,所 以 点 Q 位 于 点 A 和 点 E 之 间，且 QE=AE-AQ=15.过 点 E 作 EP 1 BC于 点 P,则 EP为 点 E 到 直 线 BC的 距 离.在 Rt QPE 中，
30、P=Q sin ZPQE=QE-sin NAQ C=QE-sin(45 ZABC)=15x 半=36 2 A/182 x9=108；m等 号 成 立 的 条 件 为 182加=2,即 机=工，m 6.加 eN*,.,.等 号 不 成 立，原 命 题 成 立.18+0,36+0(2)由 S14=2S 得：S=S|4S*,即：-xk=x(14-k+),贝 1 9-=18x(15-4),得&=10bn=9-90；.10 分(3)在(2)的 条 件 下，=24，4=2%,要 使 cndn+14%+dn,即 要 满 足(e-l)(Jn-l)0,(c-l)(J-l)0;当 正 整 数 ill时,%-10,(c-l)(J-l)0；当 正 整 数=1()时，c“一 1=0,d-=Q,(c-1)(-1)=0,综 上 所 述，对“N+,不 等 式 c,d,+1 4%+d恒 成 立.16分