2022年高一三角函数的课 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载一知识点第一讲三角函数的基本概念知识点1，角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。旋转开始时的射线 OA叫做角的，射线的端点O叫做角的，按时针方向旋转所形成的角叫做正角，按时针方向旋转所形成的角叫做负角。若一条射线没做任何旋转，称它形成了一个角。2，象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角。是第一象限角可表示为；是第二象限角可表示为；是第三象限角可表示为；是第四象限角可表示为。3，象限界角（即轴上角）终边落在x 轴非负半轴上的角的集合可记作：；终边落在x 轴非正半轴上的角的

2、集合可记作：；终边落在x 轴上的角的集合可记作：；终边落在y 轴非负半轴上的角的集合可记作： ; 终边落在y 轴非正半轴上的角的集合可记作：；终边落在y 轴上的角的集合可记作：；终边落在坐标轴上的角的集合可记作：。4，终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，前者用角度制表示，后者用弧度制表示。5，弧度制把长度等于长的弧所对的叫 1 弧度的角。以弧度作为单位来度量角的制度叫做，它的单位符号是rad ，读作，通常略去不写。6，度与弧度的换算关系圆周的1360为 1 度的角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共

3、10 页优秀学习资料欢迎下载即1360周角 =1。，12周角 =1rad. 360。= rad, 180。= rad, 1。=180rad,1rad= 7, 弧长公式l，即弧长等于。8. 任意角的三角函数的定义直角坐标系中任意大小的角终边上一点P 的坐标（ x,y ） ，它到原点饿距离是r （r0）,那么任意角的三角函数的定义如下：sin，cos，tan，cot，sec，csc，9. 正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域sincostan10. 各象限角的三角函数值的符号如下图所示：sin,csccos,sectan,cot三角函数正值口诀：全正，正弦，两切，余弦，正、余割分别随着余、正

4、弦。易错点1. 角度与弧度混淆引入弧度制后， 角的表示要么采用弧度制，要么采用角度制，两者不可混用。 如，260k或3603k等都不对。2. 不讨论产生的混淆（1）已知角的终边在直线y=2x 上，求角的四个三角函数值。（2）若 sinA=45, 则5sin815cos7AA .。（3）4141sin()cos()()44kkkZ。第二讲同角三角函数关系式及诱导公式知识点三角函数的恒等变形包括同角三角函数的关系式、诱导公式等， 同角三角函数的关系公式揭示了同角三角函数之间的内在联系：诱导公式可用一句话概括为：运用诱导公式可将任意角的三角函数值问题转化为090间角的三角函数值的问题。1. 同角三角

5、函数的基本关系。（1）倒数关系：；（2）商数关系： =tan； =cot；（3）平方关系： =1. + y + o x y + o + x y + + o x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载2. 同角函数的诱导公式（1）诱导公式的内容（2）诱导公式的规律22()kkZ2sincos诱导公式概括为： “,()2kkZ的正弦，余弦值，当为偶函数时，得角的同名三角函数值；当为奇数时，得角相应的余弦函数值；然后放上把角看成角的原函数所在象限的符号，可概括为。（3）诱导公式的作用诱导公式可以将任意角的

6、三角函数转化为090角的三角函数值。易错点1. 已知角的某一种三角函数值，求角的其余5 种三角函数值时，要注意公式的合理选择。（05 浙江久校联考）已知1tan2，且3( ,)2则sin的值是（）A.55 B.55C.2 55 D.2 552. 在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时， 要注意用“是否是同角”来区分和选用公式。3. 在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取。4. 在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时，细心观察题目的特征，灵活、 恰当的选用公式，一般思路是将切割化弦，但在某些特殊问题中就不要化切割为弦，只须利用倒数关系即可，否则解法较繁，如“求证tanc

7、ottancottancot” ，利用倒数关系可得简证。第三讲两角和与差的正弦、余弦、正切知识点1. 在两角和与差的公式中，以公式()C为最基本，其推导过程应熟练掌握。如右图，点1234,P PP P的坐标分别为1P( ， )，2P( ， )，3P( ， )，4P( ， )，由1324PPP P及 两 点 间 距 离 公 式 得， 整 理 得c o s ()，本公式中,对都成立。2. ()C（()C）以代精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载两式相除可推出tan()（()T） ，tan()（()T）

8、 ，sin()（()S）sin()（()S）3. 在三角和的三角函数公式()S、()C、()T中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式2S、2C、2T：sin2（2S）cos2 = = （2C）tan2。 （2T）在 公 式2S、2C中 ， 角没 有 限 制 ， 但 公 式2T中 ， 只 有 当142k和()2kkZ时才成立。4. 二倍角公式不仅限于2是的二倍的形式，其他如4是的二倍，2是的二倍，3是的二倍，3是的二倍等都适用，要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用公式的关键。5. 余弦的二倍角公式有三种形式：2222cos2cossin2cos112sin

9、.解题时应根据不同的函数名的需要，选取不同的形式。公式的双向应用分别起缩角升幂（1cos2，1 cos2） 和扩角降幂 （2sin，2cos）的作用。6.22sincossin()abab，其中cos，sin，tan。的终边所在象限由来确定。易错点一、公式多易混用本节公式较多， 要对公式的来龙去脉了解清楚，把握住公式的结构，这样才能准确地应用公式，同时注意公式的逆用、变形应用。如： 1. （05 江西高考）已知tan3,2则cos（）由诱导公式以代精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载A.45 B.

10、45 C.415 D.35二、多角度转换易错转化的思想是实施三角变换的主导思路，变换包括函数名称变换、角的变换、1 的变换、和积变换、幂的升降变换等等。如： （05 全国）22sin 2cos1cos2cos2（）A.tan B. tan2 C.1 D.12三、不讨论产生混淆3. 若15sin5，10sin10，则、为锐角，则的值为。4. 已知122sinsin3,且1、2为锐角，则12tan()。第四讲三角函数的图像知识点1. 有向线段： 一条与坐标轴平行的线段可以规定两种相反的方向，若线段的方向与坐标轴的正向一致，就规定这条线段是，否则，就规定它是。2. 三角函数线设角的终边与单位圆交于点

11、P，过 P点作 PM x 轴于 M ，过点 A（1，0）作单位圆的切线，与角的终边或终边的反向延长线相交于点T，则有向线段MP 、 OM 、AT分别叫做角的、。3. 三角函数的图像函数sinyxcosyxtanyx图像4. “五点法”作sin()(0,0)yAxA的简图五点的取法是： 设Xx，由X取，来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。5. 图像变换：函数sin()(0,0)yAxA的图像可由函数sinyx的图像作为如y 2O x y 232O 的终边 y P M O X T Y 的终边P T O M x y T的终边P O x y M P T 的终边A(1,0) A(1,0) A(1,0

12、) M x o A(1,0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载下变换得到：（1） 相位变换：sinyxsin()yx， 把s i nyx图像上所有的点向（0）或向（0）平行移动个单位。（2）周期变换：sin()yxsin()yx，把s in()yx图像上各点的横坐标（01）或（1）到原来的倍（纵坐标不变）（3）振幅变换：sin()yxsin()yAx，把sin()yx图像上各点的纵坐标（1A）或（01A）到原来的倍（横坐标不变）. 6. 当 函 数si n () (0,0,(,)yAxAx表

13、示 一 个 振 动 量 时 ， 则A叫做，2T叫做，1fT叫做，x叫做，叫做。函数cos()yAx的周期为。函数tan()yAx的周期为。7. 正弦曲线sinyx的对称轴为，对称中心为；正弦曲线cosyx的对称轴为，对称中心为；函数tanyx的图像的对称中心为。易错点1. 用五点法画函数cos()(0)yAxA一个周期的图像时，取点列表“”所示。xx0 2322sin()yAx0 A0 -A0 2. 由sinyx变换为sin()yx时，0，则向左平移个单位。0，则向右平移个单位。如2sin(2)3yx右移3所得到的解析式为2sin 2yx为什么不对，你知道吗？第五讲三角函数的性质知识点三角函数

14、图像与性质三角函数sinyxcosyxtanyx图像定义域R R 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载值域和最值-1,1,当时（kZ），min1y当 x= 时（kZ） ，max1y-1,1,当 x= 时（kZ） ，max1y当 x= 时 （kZ） ，min1yR， 无最大值和最小值周期22奇偶性奇偶奇对称性对称中心（）kZ对称轴，kZ对称中心（）kZ对称轴，kZ对称中心（） ，kZ无对称轴单调区间增区间 减区间 （kZ）减区间 增区间 （kZ）在（kZ）上是增函数易错点一、概念不清产生的混淆1.

15、下面的四个命题中正确命题的序号是。（1）正切函数在整个定义域内是增函数；（2）周期函数一定有最小正周期；（3）函数23tanyx的图像关于y轴对称；（4）若x是第一象限角，则sin x是增函数，cosx是减函数。二、忽视定义域产生的混淆2.22tan21tan2xyx的最小正周期是。3.1 cossin1 cossinxxyxx是函数（奇偶性）4.2log cosyx的递增区间是。三、忽视x的系数符号易出错5. 函数sin(2 )3yx的增区间为。第六讲三角函数的最值和应用问题知识点一、可转化为利用正、余弦函数的有界性求解的最值问题。主要有以下两种类型： 可 将 函 数 式 化 为sin()y

16、Ax的 形 式 求 解 的 问 题 ， 形 如sinsinaxbycxd或 者si ncosyaxbx、22sinsincoscosyaxbxxcx的函数适用；可将函数化为sin()( )xfy的形式求解的问题，形如cossinaxbycxd，或者形如精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载sincosaxbycxd的函数适用。2. 可转化为求二次函数2yatbtc在闭区间 -1,1上的最值问题，典型的是：形如2sinsin(0)yaxbxc a的最值；形如(sincos )sincosyAxxBxx

17、的最值；3. 转化为可利用均值不等式求解的最值问题，例如函数*sin()sinayxaRx的最值；某些带约束（隐含）条件的最值。4. 利用其它方法求解的最值问题（如利用单调性、判别式、图像法等）5. 含参数的逆向思考的问题。二、求解三角函数最值问题的基本思想和方法（1）认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。（2）根据类型，适用地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤，具体可考虑：1）将函数化成sin()yAx或sin()( )xfy形式，再利用正余弦函数的有界性求出最值；2）通过换元，将函数解析式化成二次函数、二次方程进行求解，需要注意的是，在换元后，要注意新变元的取值范围；3）转化为可利

18、用不等式性质，均值不等式来求解的问题；4）转化为可利用函数的单调性求解的问题；5）改变主元，视函数y为辅元，从而通过判别式法来分析的最值问题；6）转化为可利用几何解释来解决的问题。三、三角函数应用问题的特点和处理方法（1）三角函数的实际应用是指用三角函数理论解答生产、科研和日常生活中的实际问题。（2）三角函数应用题的特点是：1）实际问题的意义反应在三角形中的边、角关系上，这样的三角形有直角三角形、斜三角形，有时一个问题中既有直角三角形又有斜三角形；2）函数的模型多种多样，有三角函数、代数函数、 ，有时同一问题中三角函数与代数函数并存。（3）解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，

19、再讨论变量的性质，最后作出结论并回答问题。易错点1. 三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间。2. 求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，需注意函数有意义的条件和正余弦函数的有界性；3. 含参数函数的最值，解题时要注意参数的作用和影响。二检测题1.sin( 1560 )的值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载A12B12C32D322. 如果1cos()2A，那么sin()2A=（）A12B12C32D323. 函数2cos()35yx的最小

20、正周期是（）A5B52C2D54. 轴截面是等边三角形的圆锥的侧面展开图的中心角是（）A3B23CD435. 已知tan100k，则sin80的值等于（）A21kkB21kkC21kkD21kk6. 若sincos2，则tancot的值为（）A1B2C1D27. 下列四个函数中，既是(0,)2上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）AsinyxB|sin|yxCcosyxD|cos|yx8. 已知tan1a，tan2b，tan3c，则（）AabcBcbaC bcaDbac9. 已知1sin()63，则cos()3的值为（）A12B12C13D1310.是第二象限角，且满足2cossin(sin

21、cos)2222，那么2（）A是第一象限角B是第二象限角C是第三象限角D可能是第一象限角，也可能是第三象限角11. 已知( )f x是以为周期的偶函数， 且0,2x时，( )1 sinf xx， 则当5,32x时，( )f x等于 （）A1sin xB1sinxC1 sin xD1sin x12.函数)0)(sin()(xMxf在区间,ba上是增函数，且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载MbfMaf)(,)(，则)cos()(xMxg在,ba上（）A 是增函数 B 是减函数 C 可以取得最大值M

22、 D 可以取得最小值M二、填空题（每题4 分，计 16 分）13. 函数tan()3yx的定义域为_。14. 函数123 cos()(0,2)23yxx的递增区间_15. 关于3sin(2)4yx有如下命题，若12()()0f xfx， 则12xx是的 整 数 倍 ， 函 数 解 析 式 可 改 为cos3(2)4yx，函数图象关于8x对称，函数图象关于点(,0)8对称。其中正确的命题是_16. 若函数( )f x具有性质： ( )f x为偶函数， 对任意xR都有()()44fxfx则函数( )f x的解析式可以是：_（只需写出满足条件的一个解析式即可）三、解答题17（ 6 分）将函数1cos()32yx的图象作怎样的变换可以得到函数cosyx的图象？19（10 分）设0a，20 x，若函数bxaxysincos2的最大值为0，最小值为4，试求a与b的值，并求y使取最大值和最小值时x的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页