2022年高一三角函数的课.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载一学问点第一讲 三角函数的基本概念学问点 1,角的概念 角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；旋转开头时 的射线 OA叫做角的,射线的端点 O叫做角的,按 时针方向旋转所形成的角叫 做正角,按 时针方向旋转所形成的角叫做负角；如一条射线没做任何旋转,称它形成了 一个 角；2,象限角使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就说这个角是第几象限角；是第一象限角可表示为；是其次象限角可表示为；是第三象限角可表示为；是第四象限角可表示为；3,象限界角（即轴上角）终

2、边落在 x 轴非负半轴上的角的集合可记作：；终边落在 x 轴非正半轴上的角的集合可记作：；终边落在 x 轴上的角的集合可记作：；终边落在 y 轴非负半轴上的角的集合可记作： ; 终边落在 y 轴非正半轴上的角的集合可记作：；终边落在 y 轴上的角的集合可记作：；终边落在坐标轴上的角的集合可记作：；4,终边相同的角 全部与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合,用角度制表示,后者 用弧度制表示；前者 5,弧度制把长度等于长的弧所对的rad ,读作叫 1 弧度的角；以弧度作为单位来度量角的制度叫做,它的单位符号是,通常略去不写；6,度与弧度的换算关系名师归纳总结 圆周的1为 1 度的角第

3、1 页,共 10 页360- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即1 周角 =1；, 1360 2360；= rad, 周角 =1rad. 优秀学习资料欢迎下载180；= rad, 1；=180rad,1rad= ；7, 弧长公式l,即弧长等于8. 任意角的三角函数的定义直角坐标系中任意大小的角终边上一点P 的坐标（ x,y ）,它到原点饿距离是r （r0 ）,那么任意角的三角函数的定义如下：sin, cos, tan,cot, sec, csc,9. 正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数 定义域sincostan10. 各象限角的三角函数值的符号如下图所

4、示：+ y + y + y + sino x o + x + o x , csccos, sectan, cot三角函数正值口诀：全正,正弦,两切,余弦,正、余割分别随着余、正弦；易错点1. 角度与弧度混淆引入弧度制后, 角的表示要么采纳弧度制,要么采纳角度制,两者不行混用； 如,2k60或k3603等都不对；2. 不争论产生的混淆（1）已知角的终边在直线y=2x 上,求角的四个三角函数值；（2）如 sinA=4 5, 就5sin 15cosA8 .；A7（3）sin4 k14 kcos41kZ4其次讲同角三角函数关系式及诱导公式学问点三角函数的恒等变形包括同角三角函数的关系式、诱导公式等,

5、同角三角函数的关系公式揭示了同角三角函数之间的内在联系：诱导公式可用一句话概括为：运用诱导公式可将任意角的三角函数值问题转化为 0 90 间角的三角函数值的问题；1. 同角三角函数的基本关系；（1）倒数关系：； =cot；（2）商数关系： =tan（3）平方关系： =1. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2. 同角函数的诱导公式（1）诱导公式的内容（2）诱导公式的规律sin22kkZ2的同名cos的正弦,余弦值,当为偶函数时,得角诱导公式概括为： “k2,kZ相应的余弦函数值；然后放上把角看

6、成角的三角函数值；当为奇数时,得角原函数所在象限的符号,可概括为；（3）诱导公式的作用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为090 角的三角函数值；易错点1. 已知角的某一种三角函数值,求角的其余5 种三角函数值时,要留意公式的合理选择；（05 浙江久校联考）已知tan1,且 ,3就 sin的值是（）22A.5 B.5来区分和选用公55C.2 5 5 D.2 552. 在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时, 要留意用“ 是否是同角”式；3. 在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时,应留意公式中符号的选取；4. 在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时,细心观看题目的特点,敏捷、 恰当的选用公式

7、,一般思路是将切割化弦,但在某些特殊问题中就不要化切割为弦,只须利用倒数关系即可,否就解法较繁,如“ 求证 tan cottan cot” ,利用倒数关系可得简证；tan cot第三讲 两角和与差的正弦、余弦、正切学问点名师归纳总结 1. 在两角和与差的公式中,以公式C为最基本,其推导过程应娴熟把握；如右图,点第 3 页,共 10 页P P 2,P P 的坐标分别为1P , ,P , ,P , ,P , ,由PP 3P P 及 两 点 间 距 离 公 式 得, 整 理 得c o s ,本公式中,对都成立；2. C以代（C）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

8、- 由 诱 导 公 式两式相除可推出tan优秀学习资料T 欢迎下载）,（T tan（）,sin（S ）以代sin（S ）和的3. 在三角和的三角函数公式S 、C 、T 中,当时,就可得到二倍角的三角函数公式S 2、C2、T 2：sin 2（S 2）cos2 = = （C2）tan2；（T 2）在 公 式S 2、C2中 , 角没 有 限 制 , 但 公 式T 2中 , 只 有 当41k22kkZ时才成立；4. 二倍角公式不仅限于2是的二倍的形式,其他如4是的二倍,2是二倍, 3是的二倍,3是的二倍等都适用,要熟识这些多种形式的两个角的倍数关系,才能娴熟地应用二倍角公式,这是敏捷运用公式的关键；5

9、. 余弦的二倍角公式有三种形式：cos22 cossin22cos2112sin2.解题时应依据不同的函数名的需要,选取不同的形式；公式的双向应用分别起缩角升幂（1cos2,1 cos2）和扩角降幂 （sin2,cos2）的作用；6.asinbcosa2b2sin,其中, tan；cos, sin来确定；的终边所在象限由易错点一、公式多易混用本节公式较多, 要对公式的来龙去脉明白清晰,把握住公式的结构,这样才能精确地应用公式,同时留意公式的逆用、变形应用；名师归纳总结 如： 1. （05 江西高考）已知tan23,就 cos（）第 4 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 -

10、 - - - - - - - - A.4 5 B.4 C.优秀学习资料欢迎下载34 D.5155二、多角度转换易错转化的思想是实施三角变换的主导思路,变换包括函数名称变换、角的变换、1 的变换、和积变换、幂的升降变换等等；如：（05 全国）2sin 22 cos（）；1cos2cos2A. tan B. tan2 C.1 D.12的值为2三、不争论产生混淆3. 如sin15,sin10,就、为锐角,就5104. 已知sin1sin22且1、2为锐角,就tan13,第四讲三角函数的图像学问点1. 有向线段： 一条与坐标轴平行的线段可以规定两种相反的方向,如线段的方向与坐标轴的正向一样,就规定这条

11、线段是,否就,就规定它是；2. 三角函数线设角 的终边与单位圆交于点 P,过 P 点作 PMx 轴于 M,过点 A（1,0）作单位圆的切线,与角 的终边或终边的反向延长线相交于点 T,就有向线段 MP、 OM、AT分别叫做角 的、；的终边 y Y 的终边 y y P P T T 的终边A1,0 A1,0 M A1,0 M A1,0 M O X O M x P O x o P x T T 的终边3. 三角函数的图像函数yAysinxA2x ycosxytanxO 23图像y y 4. “ 五点法” 作sinxO 0的简图20,五点的取法是： 设 Xx,由 X 取,来求相应的 x值及对应的 y 值

12、,再描点作图；名师归纳总结 5. 图像变换：函数yAsinxA0,0的图像可由函数ysinx 的图像作为如第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载下变换得到：（1）相位变换：y sin x y sin x ,把 y sin x 图像上全部的点向（0 ）或向（0 ）平行移动 个单位；（2）周期变换：y sin x y sin x ,把 y sin x 图像上各点的横坐标（ 0 1）或（1）到原先的 倍（纵坐标不变）（3）振幅变换：y sin x y A sin x ,把 y sin x 图像上各点的纵坐标（A 1）

13、或（ 0 A 1）到原先的 倍（横坐标不变）. 6. 当 函 数 y A si n x A 0, 0, , 表 示 一 个 振 动 量 时 , 就 A 叫做,T 2叫做,f 1叫做,x 叫做,叫做；T函数 y A cos x 的周期为；函数 y A tan x 的周期为；7. 正弦曲线 y sin x 的对称轴为,对称中心为；正弦曲线 y cos x的对称轴为,对称中心为；函数 y tan x 的图像的对称中心为；易错点1. 用五点法画函数yAcosxA0一个周期的图像时,取点列表“” 所示；xxA0 232ysinx0 0 2- A0 A2. 由ysinx 变换为ysinx时,0 ,就向左平

14、移个单位；0 ,就向右平移个单位；3所得到的解析式为y2sin 2x 为什么不对,你知道吗？如y2sin2x3右移第五讲三角函数的性质学问点三角函数图像与性质三角函数ysinxycosxytanx图像名师归纳总结 定义域R R 第 6 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 值域和最值-1,1,优秀学习资料欢迎下载时R,无最大值和最小值当时-1,1,当 x= 周期（kZ）,（ kZ）,ymax1奇）,ymin1当 x= 时当 x= 时（ kZ ）,（ kZ）,ymax1ymin122奇偶性奇偶对称性对称中心（）对称中心（）对称中心（单调区间k

15、ZZkZkZ 无对称轴Z ）对称轴,k对称轴,kZ在（ k增区间 减区间 减区间 增区间 上是增函数（ kZ ）（ kZ ）易错点一、概念不清产生的混淆1. 下面的四个命题中正确命题的序号是；（1）正切函数在整个定义域内是增函数；（2）周期函数肯定有最小正周期；（3）函数y3tanx2的图像关于 y 轴对称；（4）如 x 是第一象限角,就 二、忽视定义域产生的混淆sin x 是增函数, cos x 是减函数；2.y12tan x 2tan 2 x 2的最小正周期是；3.y1 cosxsinx是函数（奇偶性）1 cosxsinx4.ylog cosx 的递增区间是；三、忽视 x 的系数符号易出错

16、5. 函数ysin32 x 的增区间为；三角函数的最值和应用问题第六讲学问点 一、可转化为利用正、余弦函数的有界性求解的最值问题；主要有以下两种类型：名师归纳总结 可 将 函 数 式 化 为yAsinx的 形 式 求 解 的 问 题 , 形 如yasinxb或 者第 7 页,共 10 页csinxdya si nxbcosx、yasin2xbsinxcosxc2 cosx 的函数适用；b d,或者形如 y 的形式求解的问题,形如yacosx可将函数化为sinxfcsinx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yasinxb的函数适用；优秀学习资料欢迎下载c

17、cosxd2. 可转化为求二次函数yat2btc 在闭区间 -1,1上的最值问题,典型的是：形如yasin2xbsinxc a0的最值；形如yAsinxcos Bsinxcosx 的最值；3. 转化为可利用均值不等式求解的最值问题,例如函数ysinxaxaR *的最值；sin某些带约束（隐含）条件的最值；4. 利用其它方法求解的最值问题（如利用单调性、判别式、图像法等）5. 含参数的逆向摸索的问题；二、求解三角函数最值问题的基本思想和方法（1）仔细观看函数式,分析其结构特点,确定类型；（2）依据类型,适用地进行三角恒等变形或转化,这是关键的步骤,详细可考虑：1）将函数化成yAsinx或 sin

18、xf y 形式,再利用正余弦函数的有界性求出最值；2）通过换元,将函数解析式化成二次函数、二次方程进行求解,需要留意的是,在换元后,要留意新变元的取值范畴；3）转化为可利用不等式性质,均值不等式来求解的问题；4）转化为可利用函数的单调性求解的问题；5）转变主元,视函数 y为辅元,从而通过判别式法来分析的最值问题；6）转化为可利用几何说明来解决的问题；三、三角函数应用问题的特点和处理方法（1）三角函数的实际应用是指用三角函数理论解答生产、科研和日常生活中的实际问题；（2）三角函数应用题的特点是：1）实际问题的意义反应在三角形中的边、角关系上,这样的三角形有直角三角形、斜三角 形,有时一个问题中既

19、有直角三角形又有斜三角形；2）函数的模型多种多样,有三角函数、代数函数、 ,有时同一问题中三角函数与代数函数并 存；（3）解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再争论变量的性质,最 后作出结论并回答疑题；易错点 1. 三角函数的最值都是在给定区间上取得的,因而特殊要留意题设中所给出的区间；2. 求三角函数的最值时,一般要进行一些三角变换以及代数换元,需留意函数有意义的条件和正余弦函数的有界性；3. 含参数函数的最值,解题时要留意参数的作用和影响；二检测题名师归纳总结 1. sin 1560 的值为（）第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -

20、 - - - - - A1B1C优秀学习资料欢迎下载3 2D3222名师归纳总结 2. 假如cosA1,那么 sin2A =（）|）,3第 9 页,共 10 页2A1B1C3D322223. 函数ycos32x 的最小正周期是（）5A5B5C2D524. 轴截面是等边三角形的圆锥的侧面绽开图的中心角是（）A3B2CD4335. 已知 tan100k ,就 sin80 的值等于（）A1kk2B1kk2C1kk2D1kk26. 如 sincos2 ,就 tancot的值为（）A1B2C1D27. 以下四个函数中,既是0,2上的增函数,又是以为周期的偶函数的是（AysinxBy|sinx|Cycos

21、xDy|cosx8. 已知atan1,btan2,ctan3,就 （）AabcBcbaC bcaDbac9. 已知sin61,就 cos3的值为（）3A1B1C1D12233）10.是其次象限角,且满意cos2sin2sin2cos22,那么2（A是第一象限角B是其次象限角5 2C是第三象限角D可能是第一象限角,也可能是第三象限角11. 已知f x 是以为周期的偶函数, 且x0,2时, 1 sinx ,就当x时,f x 等于 （）数,且A 1sin xB 1sin xC1 sin xD1sin x12.函数fxMsinx0在区间a ,b 上是增函- - - - - - -精选学习资料 - -

22、- - - - - - - faM,fbM,就gx优秀学习资料x欢迎下载,b上（）Mcos在aA 是增函数 B 是减函数 C 可以取得最大值 M D 可以取得最小值 M二、填空题（每题 4 分,计 16 分）13. 函数 y tan x 的定义域为 _ ；314. 函数 y 3 cos 1x 2 x 0,2 的递增区间 _2 315. 关于 y 3sin2 x 有如下命题,4 如 f x 1 f x 2 0, 就 x 1 x 2 是 的 整 数 倍 , 函 数 解 析 式 可 改 为y cos32 x ,函数图象关于 x 对称,函数图象关于点 ,0 对称；其4 8 8中正确的命题是 _16. 如函数 f x 具有性质： f x 为偶函数, 对任意 x R都有 f x f x 就4 4函数 f x 的解析式可以是：_（只需写出满意条件的一个解析式即可）三、解答题17（ 6 分）将函数ycos3x21的图象作怎样的变换可以得到函数ycosx 的图象？219（10 分）设a0,0x,如函数ycos2xasinxb的最大值为 0 ,最小值名师归纳总结 为4 ,试求 a 与 b 的值,并求y 使取最大值和最小值时x 的值；第 10 页,共 10 页- - - - - - -