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1、1 04. 三角函数知识要点1. 与（ 0 360 ） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角与 角的 终 边 重 合 ） ：Zkk,360|终边在x轴上的角的集合：Zkk,180|终边在y轴上的角的集合：Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|终边在y=x 轴上的角的集合：Zkk,45180|终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：k360若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：180360 k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360 k2. 角度与弧度的
2、互换关系：360 =2180 =1 =0.01745 1=57.30 =57 18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式：1rad180 57.30 =57 1811800.01745（rad）3、弧长公式：rl|. 扇形面积公式：211| |22slrr扇形4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y ）P与原点的距离为r，则rysin；rxcos；xytan；yxcot；xrsec；. yrcsc.5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割-+-+正弦、余割oooxyxyxy6、三角
3、函数线正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域：yxSIN COS三角函数值大小关系图sinxcosx1、 2、3、 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosxroxya的终边P（ x,y )TMAOPxy(3) 若 ox2,则sinxx|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16. 几个重要结论:OOxyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页2 三角函数定
4、义域)(xfsinxRxx|)(xfcosxRxx|)(xftanxZkkxRxx,21|且)(xfcotxZkkxRxx,|且)(xfsecxZkkxRxx,21|且)(xfcscxZkkxRxx,|且8、同角三角函数的基本关系式：tancossincotsincos1cottan1sincsc1cossec1cossin221tansec221cotcsc229、诱导公式：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式： （一）基本关系公式组二公式组三xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxx
5、xxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式组四公式组五公式组六xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(（二）角与角之间的互换公式组一公式组二sinsincoscos)cos(cossin22sinsinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos2cossincoscossin)sin(2tan1tan22tansincoscossi
6、n)sin(2cos12sintantan1tantan)tan(2cos12cos公式组一sinxcscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosxsecxx=xxsincos1+tan2x =sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页3 tantan1tantan)tan(公式组三公式组四公式组五2tan12tan2sin22tan12tan1cos222tan12tan2tan242675cos15sin,42615cos75sin,
7、3275cot15tan,3215cot75tan. 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域R R R 值域 1, 1 1, 1R R AA,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当,0 非奇非偶当, 0 奇函数coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sinsinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincos1cos1sincos1cos12tanZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytan
8、xycosxysinsin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页4 单调性22,22kk上 为 增 函数；223,22kk上 为 减 函数（Zk）2,12kk；上 为 增 函数12,2kk上 为 减 函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）1, kk上为减函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上为减函数（Zk）注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos
9、 与xycos的单调性也同样相反 .一般地，若)(xfy在,ba上递增（减） ，则)(xfy在,ba上递减（增）. xysin与xycos的周期是. )sin( xy或)cos( xy（0 ）的周期2T. 2tanxy的周期为2（2TT，如图，翻折无效）. )sin( xy的对称轴方程是2kx（Zk） ，对称中心（0,k） ；)cos( xy的对称轴方程是kx（Zk） ，对称中心（0,21k） ；)tan( xy的对称中心（0,2k）. xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当 tan, 1tan)(2Zkk； tan, 1tan)(2Zkk. xycos 与kxy22sin是同一函数
10、 ,而)( xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy. 函数xytan在R上为增函数 .（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件. （奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）Oyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页5 奇偶性的单调性：奇同偶反 . 例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶 . （定义
11、域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性质）xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T） ；xycos是周期函数（如图） ；xycos为周期函数（T） ；212cos xy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(. abbabaycos)sin(sincos22有yba22. 11、三角函数图象变换法则例题讲解一求值与化简1.基本概念与公式（正用、逆用）例 1已知锐角终边上一点的坐标为2323sin ,cos,求角=（）（A）3（B）3（C）32（D）32例 2sin 50(13 t
12、an10 )例 3化简：80cos40cos20cos. 例 4化简：117sinsinsin242412例 5化简：2 sin812cos82例 7求值：2( 3 tan123)csc124cos 122 yxy= cos |x| 图象1/2yy=| cos2x+1/2|图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页6 例 8化简cos10(tan103)sin50例 9cos40sin50 (13tan10 )sin701cos40；例 10若32 ,2化简1111cos22222例 11求tan12tan33tan1
13、2 tan33的值例 12求tan()tan()3tan() tan()6666的值例 13求(1tan1 )(1tan2 )(1tan3 )(1tan45 )L的值2.齐次式例 1已知,2tan求下列各式的值。（1）4sin2cos5cos3sin（2）2222sin3cos1sinsincos（3）sincos（4）22cos5cossin3sin2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页7 例 2已知tan1tan1，求下列各式的值：（1）cossincos3sin； （2）2cossinsin23.sincos
14、,sincos关系问题例 1已知1sincos,(,)842，求cossin的值例 2已知51cossin,02xxx. （ I）求sinx cosx 的值；（）求xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322的值 . 例 3已知,51cossin,0求下列各式的值。cossincossincottantan例 4已知sincosm，求33sincos的值。例 5已知：.33cossin求：44cossin的值4.整体代换（凑角）问题例 1不查表，求8sin15sin7cos8sin15cos7sin的值：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
15、 - - - - -第 7 页，共 14 页8 例 2. 已知：41)2tan(,52)tan(，求：)4tan(的值 .例 3 已知40 ,434，53)4cos(，135)43sin(， 求)sin(的值例 4已知11tan(),tan27，且,0,，求2的值例 5已知,为锐角，1411)cos(,71cos，求的值。例 6已知71tan，1010sin，,均为锐角，求2的值。例 7已知1tan()2，1tan7，且,0,，求2的值二图像与性质1. 图像问题例 1已知函数sin() (0,)yAxA的一段图象如图所示； （1）求函数的解析式； （ 2）求这个函数的单调递增区间例 2作出co
16、tsinyxx的图像。例 3根据正弦函数的图像求满足1sin2x的x范围。x y O -2 2 838精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页9 例 4若函数2cos(02 )yxx的图像和直线2y围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为例 5求函数sin()(0,0)yAxA的解析式例 7已知( )sin() (0,0)f xAxA图象如图（1）求( )f x的解析式；（2）若( )g x与( )f x图象关于直线2x对称，求( )g x解析式例 8. 分析3sin(2)3yx可由sinyx的图像如何变换得到。例
17、 9把函数sin(2)4yx的图象向右平移8个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到怎样的解析式？例 10要得到sin(2)3yx的图象，只要将sin2yx的图象进行怎样的平移？例 11简述将2cos(2)14yx的图象变换为cosyx的图象的过程例 12 把函数xxysin3cos的图象向左平移m个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A6B3C32D65精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页10 例 13把函数sin(2)4yx的图形向左平移8，所得图形对应的函数是（）A奇函数B偶函数C既
18、是奇函数也是偶函数D既不是奇函数也不是偶函数2. 性质问题例 1已知函数2( )2cossin()3sinsincos3f xxxxxx（1）求函数( )f x的最小正周期；（2）写出函数( )f x的单调区间；（3）函数( )f x图象经过如何移动可得到函数sinyx的图象。例 2已知函数( )2sin(sincos )f xxxx，求函数( )f x的最小正周期和最大值例 3关于函数( )4sin(2)3f xxxR，下列命题正确的是_ （ 1）12()()0fxfx，可知12xx是的整数倍； （ 2）( )f x表达式可改写为4cos(2)6yx； （ 3）( )yf x图象关于点(,0
19、)6对称；（4）( )yf x图象关于6x对称例4设0 x，则函数2cossinxyx的最小值是（）（A）3 （B）2 （C）3（D）23例 5函数5sin(2)2yx的图像的一条对称轴方程为（）5.2484A xB xC xD x例 6求函数22(sincos )2cosyxxx的最小正周期例 9 函数)22cos( xy的图象的一条对称轴方程是（）A2xB4xC8xDx例 10已知函数2( )2cossin()3 sinsincos3f xxxxxx（1）求函数( )f x的最小正周期；（2） 求函数( )f x的最大值和最小值；（3） 求函数( )f x的递增区间精选学习资料 - - -
20、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页11 课后作业高一数学三角函数测试题一、选择题1下列转化结果错误的是（）A0367化成弧度是83rad B. 310化成度是 -600 度C150化成弧度是67rad D. 12化成度是15 度2已知是第二象限角，那么2是（）A第一象限角B. 第二象限角C. 第二或第四象限角D第一或第三象限角3已知0tan, 0sin，则2sin1化简的结果为（）AcosB. cosCcosD. 以上都不对4函数)22cos( xy的图象的一条对称轴方程是（）A2xB. 4xC. 8xD. x5已知)0,2(x，53s
21、in x,则 tan2x= ( )A 247B. 247C. 724D. 7246已知31)4tan(,21)tan(，则)4tan(的值为（）A2B. 1 C. 22D. 2 7函数xxxxxfsincossincos)(的最小正周期为（）A1 B. 2C. 2D. 8函数)32cos(xy的单调递增区间是（）A)(322,342ZkkkB. )(324,344ZkkkC)(382,322ZkkkD. )(384,324Zkkk9函数xxycossin3，2,2x的最大值为（）A1 B. 2 C. 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
22、 11 页，共 14 页12 D. 2310 若、均为锐角，且)sin(sin2， 则与的大小关系为（）AB. C. D. 不确定二、填空题）11把函数)32sin( xy先向右平移2个单位， 然后向下平移2 个单位后所得的函数解析式为 _ 12已知2)4tan(，则2cos2cossin31=_ 13函数)656(3sin2xxy与函数 y=2 的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是 _ 14给出下列命题：存在实数,使1cossin存在实数，使23cossin函数)23sin(xy是偶函数8x是函数)452sin( xy的一条对称轴方程若、是第象限的角，且，则sinsin若),2(、，
23、且cottan，则23其中正确命题的序号是_ 三、解答题15(12 分）已知角终边上一点P （ 4， 3） ， 求)29sin()211cos()sin()2cos(的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页13 16 （ 14 分）已知函数xxy21cos321sin，求：（1）函数 y 的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数 y 的单调递增区间17 （ 14 分）求证：sinsin)cos(2sin)2sin(18 （ 14 分）已知)0(51cossinxxx，求xtan的值19 （12 分） 已知tantan、是方程04332xx的两根， 且)2,2(、，求的值20 （ 14 分）如下图为函数)0,0,0()sin(AcxAy图像的一部分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页14 （1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线2x对称的函数解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页