2022年曲线积分与曲面积分 .pdf

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1、第十章曲线积分与曲面积分参考答案- 1 - 第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题1曲线积分( )sin( )cosxLf xeydxf xydy与路径无关,其中( )f x有一阶连续偏导数,且(0)0f,则( )f xB A.1()2xxeeB. 1()2xxeeC. 1()2xxeeD.0 2闭曲线 C 为1xy的正向,则CydxxdyxyC A.0 B.2 C.4 D.6 3闭曲线 C 为2241xy的正向,则224CydxxdyxyD A.2B. 2C.0 D. 4为 YOZ 平面上221yz,则222()xyz dsD A.0 B. C. 14D. 125设222:C xya,则2

2、2()CxydsC A.22 aB. 2aC. 32 aD. 34 a6. 设为球面2221xyz,则曲面积分222dS1xyz的值为 B A.4 B.2 C. D.127. 设 L 是从 O(0,0) 到 B(1,1) 的直线段,则曲线积分Lyds C A.21B.21C.22D.228.设 I=Ldsy其中 L 是抛物线2xy上点( 0, 0)与点 (1, 1)之间的一段弧 , 则 I=D A.655B.1255C.6155D.121559. 如果简单闭曲线l所围区域的面积为,那么是( D )A. lydyxdx21; B. lxdxydy21;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

3、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 13 页 - - - - - - - - - 第十章曲线积分与曲面积分参考答案- 2 - C. lxdyydx21; D. lydxxdy21。10设2222:(0)S xyzRz,1S为S在第一卦限中部分,则有C A.14SSxdsxdsB.14SSydsydsC.14SSzdszdsD.14SSxyzdsxyzds二、填空题1. 设 L 是以 (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周,则曲线积分Lydyxeydx)(2

4、-2 2.S 为球面2222azyx的外侧 ,则sdxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(0 3. 12222yxyxxdyydx=24曲线积分22()Cxyds,其中C是圆心在原点,半径为a的圆周,则积分值为32 a5设为上半球面2240zzyx,则曲面积分222dsyxz= 326. 设曲线C为圆周221xy, 则曲线积分223dCxyxs2 . 7. 设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1) 为顶点的三角形边界,则曲线积分Cds)yx(1+28. 设为上半球面224zxy,则曲面积分222d1sxyz的值为83。9.光滑曲面 z=f(x,y)在 xoy平面上的投影区域为D

5、,则曲面 z=f(x,y)的面积是DdyzxzS22)()(110设L是抛物线3yx上从点(2, 8)到点(0, 0)的一段弧,则曲线积分(24 )Lxy dx12 11、cos ,sin ,30 xt yt ztt设 为螺旋线上相应于 从 到的一段弧,222()Ixyzds则曲线积分221。12、设L为222xya的正向,则22Lxdyydxxy2。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 13 页 - - - - - - - - - 第十章曲线积分与曲面积分参考

6、答案- 3 - 122xyLeds,其中L为圆周221xy,直线yx及 x 轴在第一象限所围图形的边界。解: 记线段OA方程2,02yxx,圆弧AB方程cos,0sin4xy线段OB方程0,01yx。则原式22xyOAeds22xyABeds22xyOBeds22202xedx40ed10 xe dx2(1)4ee22222ln()Lxy dxy xyxxydy,其中L为曲线sin,0yxx与直线段0,0yx所围闭区域D的正向边界。解: 利用格林公式,22Pxy,22ln()Qy xyxxy,则22Pyyxy,222Qyyxxy故原式()DQPdxdyxy2Dy dxdysin200 xdxy

7、 dy3014sin39xdx322Ly dxx dy,其中L为圆周222xyR的上半部分,L的方向为逆时针。解:L的参数方程为cossinxRtyRt,t从 0 变化到。故原式22220sin(sin )cos (cos )RtRtRt Rt dt3220(1 cos)( sin )(1 sin)cos Rtttt dt343R4求抛物面22zxy被平面1z所割下的有界部分的面积。解 : 曲面的方 程为22,( , )zxyx yD,这里D为在XOY平面的投影 区域22( , )1 x y xy。故所求面积221xyDzz dxdy2214()Dxydxdy名师资料总结 - - -精品资料欢

8、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - - 第十章曲线积分与曲面积分参考答案- 4 - 212005 51146dr rdr5、计算(sin)(cos)xxLeymy dxeym dy,其中L为圆222()(0)xayaa的上半圆周,方向为从点(2 ,0)Aa沿L到原点 O。解: 添加从原点到点A 的直线段后,闭曲线所围区域记为D,利用格林公式(sin)xPeymy,cosxQeym,cosxPeymy,cosxQeyx于是(sin)(cos)xxLeym

9、y dxeym dy(sin)(cos)xxOAeymy dxeym dy22Dm amdxdy而(sin)(cos)xxOAeymy dxeym dy20000adx,于是便有(si n)(c o s)xxLeymy dxeym dy22m a6222222()()()Lyzdxzxdyxydz,其中L为球面2221xyz在第一卦限部分的边界,当从球面外看时为顺时针。解: 曲线由三段圆弧组成,设在YOZ 平面内的圆弧AB的参数方程0c o ss i nxytzt,t从2变化到 0。于是222222()()()AByz dxzxdyxydz0222sin(sin )cos(cos )tttt

10、dt43由对称性即得222222222222()()()3()()()4LAByzdxzxdyxydzyzdxzxdyxydz7(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy,其中为平面1,0,xyzx0,y0z所围立体的表面的外侧。解: 记1为该表面在XOY 平面内的部分,2为该表面在YOZ 平面内的部分,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 13 页 - - - - - - - - - 第十章曲线积分与曲面积分参考答案- 5 - 3为该表面在XOZ 平面内

11、的部分,4为该表面在平面1xyz内的部分。1的方程为0,01,01zyxx,根据定向,我们有1(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy1(1)zdxdy010112xyxdxdy同理,21(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy31(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy4的方程为1,01,01zxyyxx,故4(1)zdxdy01012(2)3xyxxy dxdy,由对称性可得4(1)xdydz42(1)3ydzdx,故4(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy于是所求积分为1123228计算曲面积分:()2sin()(3)xySxyz dydzyzx

12、dzdxzedxdy,其中S为曲面1xyz的外侧。解: 利用高斯公式,所求积分等于1(123)uvwdxdydz=1 16 83 2=8 9. 计算 I=sxzdxdyyzdzdxxydydz,其中 S为 x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立体的表面外侧解: 设 V 是 x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体由 Gass公式得 : I=Vdxdydzzyx)(=yxxdzzyxdydx101010)(=81名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

13、5 页,共 13 页 - - - - - - - - - 第十章曲线积分与曲面积分参考答案- 6 - 10计算 I=ydzxdyzydxx2233,其中是从点 A(3, 2, 1) 到点 B(0, 0, 0) 的直线段AB 解: 直线段 AB 的方程是123zyx;化为参数方程得:x=3t, y=2t, z=t, t 从 1 变到 0,所以:I=ydzxdyzydxx223303221(3 )33 (2 )2(3 )2 ttttt dt48787013dtt11. 计算曲线积分I=AMOxxdyyedxyye,)2cos()2sin(其中AMO是由点 A(a,0)至点 O(0, 0) 的上半圆

14、周axyx22解: 在 x 轴上连接点O(0, 0), A(a, 0) 将AMO扩充成封闭的半圆形AMOA 在线段 OA上 , OAxxdyyedxyye0)2cos()2sin(从而AMOOAAMOAAMO又由 Green 公式得 : AMOAaxyxxxadxdydyyedxyye2242)2cos()2sin(212. 计算曲线积分dzydyxdxzL333其中 L是 z=2)(22yx与 z=322yx的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向解: 将 L 写成参数方程 : x=cost, y=sint, z=2 t: 02于是 : dzydyxdxzL333=20420cossin8tdtd

15、tt=43另证:由斯托克斯公式得dzydyxdxzL333=dxdyxdxdzzdydzy)03()03()03(22222:2,1zxy上侧,则:2221333232001333cos4Lxyz dxx dyy dzx dxdydrdr13.设曲面 S为平面 x+y+z=1 在第一卦限部分,计算曲面S的面积 I解: S 在 xoy 平面的投影区域为:10,10),(xxyyxDxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 13 页 - - - - - - - -

16、- 第十章曲线积分与曲面积分参考答案- 7 - I=SdS=dxdyxyD310103xdydx23)1(310dxx14. 计算曲线积分Lyxdyyxdxyx22)()(其中L 是沿着圆1) 1() 1(22yx从点A(0,1) 到点 B(2, 1)的上半单位圆弧解: 设22),(yxyxyxP,22),(yxyxyxQ当022yx时,22222)(2yxxyxyxQyP故:所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关则:Lyxdyyxdxyx22)()(=AByxdyyxdxyx22)()(=202)11(dxxx=21ln5-arctan2 15. 确定的值,使曲线积分2124d62dCx

17、xyxxyyy在XoY平面上与路径无关。当起点为0,0,终点为3,1时,求此曲线积分的值。解: 由已知,2124,62PxxyQxyy;由条件得PQyx ,即12461,3xyx, 3,13,1232232230,00,014d62d2263xxyxx yyyxyx y16. 设曲面 S 为球面4222zyx被平面 z=1 截出的顶部,计算I=dSzS1解: S 的方程为:224yxzS在 xoy 平面的投影区域为:3),(22yxyxDxyI=dxdyyxxyD22422030242drrrd2ln417. 计算 I=dxdyzyxxzdzdxyzdydz)(,其中是2222)(aazyx,

18、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 13 页 - - - - - - - - - 第十章曲线积分与曲面积分参考答案- 8 - az0,取下侧解: 作辅助曲面1: z=a,)(222ayx取上侧设为2222()xyzaa,za所围闭区域xyD为平面区域222ayx11()()Iyzdydzxzdxdzxyz dxdy=dxdydzxyDdxdyayx)(=332axyDdxdyaxyDdxdyyx)0)(=331a18.L为上半椭圆圆周cossinxatybt,

19、取顺时针方向,求.Lydxxdy解:0 sin(sin )cos ( cos )Lydxxdybtatatbt dt0.abdtab19计算曲面积分2(2 )xdydzydzdxzz dxdy,其中为锥面22zxy与1z所围的整个曲面的外侧。解:由高斯公式,可得21100(1 122)22.2Izdvzdvddzdz20计算曲线积分()(3)xyLIyedxxedy,其中L是椭圆22221xyab的正向。解: 令xPye, 3yQxe, 则2QPxy。设L所围成的闭区域为D,则其面积ab。A Bxy0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

20、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 13 页 - - - - - - - - - 第十章曲线积分与曲面积分参考答案- 9 - 从而由格林公式可得()(3)222xyLDDIye dxxedydxdydxdyab. 21设为柱面222xza在使得0 x,0y的两个卦限内被平面0y及yh所截下部分的外侧,试计算Ixyzdxdy。解:将分成1与2,其中1:22zax(取上侧),2:22zax(取下侧),1与2在xoy面上的投影为: 0, 0 xyDxayh,故12222222220032()221.3xyxyxyDDahDxyzdxdyxyzdxdyxyzd

21、xdyxyax dxdyxyaxdxdyxyax dxdydxxaxydya h22计算曲面积分2Iz dS,其中是柱面224xy介于06z的部分。解 : 设1为在 第 一 卦 限 的 部 分 曲 面 。212:4,04xyxxyyzy, 得222214xxdydzdSdydzyzy。1在yoz面上的投影域为:02,06yzDyz。故1226222220021448288.44yzDzz dSz dSdydzdyz dzyy23. 计算曲面积分2()Izx dydzzdxdy,其中是旋转抛物面221()2zxy介于0z及2z之间部分的下侧。解: 利用高斯公式,取1:2z且224xy。取上侧,与

22、1构成封闭的外侧曲面,所围的闭域为,1对应的xyD为:224xy。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 13 页 - - - - - - - - - 第十章曲线积分与曲面积分参考答案- 10 - 111212222222200()()()(1 1)222222880.xyDrzx dydzzdxdyzx dydzzdxdyzx dydzzdxdydvdxdydvdxdyddrrdz24计算曲线积分22ddCyxxyxyIxy,其中C是自点2,1A沿曲线cos2y

23、x到点2,1B的曲线段。解:222222222222,0 xyyxPxxyyQPQxyxyxyyxxy, 取小圆周22:,Cxy充分小 ,取逆时针方向 ,则由 Green 公式可得 :222211()d()dd22arctan21CxIyxxyxyxx25用高斯公式计算xy dxdyyz xdydz,其中:柱面221yx及平面0,3zz围成封闭曲面的外侧。解:,0,Pyz x QRxy,0 ,0PQRyzxyz原式 =sinyz dvrz rdrddz=213000sindrdrrz dz=2120093sin2drdrr=209sin4d=92名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

24、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 13 页 - - - - - - - - - 第十章曲线积分与曲面积分参考答案- 11 - 26 计 算 曲 面 积 分281 d d4d d2d dIxzy zyz z xyzx y, 其 中是 曲 面221zxy被平面3z所截下的部分,取下側。解: 补2212:3xyz, 取上侧 ,11I, 而13311( )ddd d(1)d2D zvzx yzz, 其中22( ) :1D zxyz1(18)d dxyDyx y18d d36xyDx y, 38I27计算曲线积分

25、ldyyxdxxyx)()(223,其中 L 是区域 0 x1,0y1 的边界正向。解: 利用 Green 公式ldyyxdxxyx)()(223=Ddxxdyxdxdy10102128、计算曲面积分dxdyzdxdzydydzx222,其中为平面方程x+y+z=1 在第一卦限的上侧。解:dxdyzdxdzydydzx222=Ddxdyyxyx41)1 (222或由对称性:222x dydzy dzdxz dxdy,而2112z dxdy,故14I。或3dSdxdydydzdzdx可知。29. 计算Lxdyyydxxsincos,其中 L是由点 A(0,0)到 B(,2)的直线段。解: AB

26、的方程20,yxx2dydx0cossincos24 sinLxydxyxdyxxxx dx430、设)(xf可微,1)0(f且曲线积分Lxdyxfydxexf)()(22与路径无关。求)(xf。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页,共 13 页 - - - - - - - - - 第十章曲线积分与曲面积分参考答案- 12 - 解:22,xPQfxfxeyx因该项积分与路径无关,所以2,2xPQfxfxeyx有。令( )yf x,得微分方程22xyye,解得2 x

27、yxce, ( 2 分)代入条件1)0(f得 C=1 从而有21xyxe31、计算对面积的曲面积分2222,: ,12dszzyyxz其中。解:2222,xyxyZZyyxx曲面在 XOY 平面上的投影为2214yx22222222112xyyxZZyyxx原式 =2222xydxdyyyxD=2225012sinddrr=22101162sin2624r=21 2232、计算曲面积分2xz dydzzdxdy,其中 是曲面22zyx在1z的部分的下侧。解: 补充曲面1:1z且取上侧,又3PQRxyz,由高斯公式11222xz dydzzdxdyxz dydzzdxdyxz dydzzdxdy

28、 =2213yxdxdydzdxdy=2211003322rdrdrdz四、综合题1、证明在整个XOY 平面上,(sin)(cos)xxeymy dxeymx dy是某个函数的全微分,求这样的一个函数并计算(sin)(cos)xxLeymy dxeymx dy,其中L 为从(0, 0)到(1,1)的任意一条道路。解: 令( , )sinxP x yeymy,( , )cosxQ x yeymx,则有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页,共 13 页 - - - -

29、 - - - - - 第十章曲线积分与曲面积分参考答案- 13 - c o sxPQeymyx,故知(sin)(cos)xxeymy dxeymx dy是某个函数的全微分。取路径(0,0)( ,0)( , )xx y,则一个原函数为( , )U x y( , )(0,0)(sin)(cos)x yxxeymy dxeymx dy(0,)( ,)(0,0)(0,)(sin)(cos)(sin)(cos)xx yxxxxxeymy dxeymx dyeymy dxeymx dy00 xdx0(cos)yxeymx dysinxeymxy最后(sin)(cos)xxLeymy dxeymx dy(1,1)(0,0)UUsin1em2、证明曲线积分1,20, 122)(ydyxdxyx在 XOY 面与路径无关,并求值。解:23,P x yxyx,32,Q x yyyx2PQxyyx可知该曲线积分与路径无关。2, 12123231,010()4xdxydydxydyyyxx2124410116244yyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页,共 13 页 - - - - - - - - -

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