2022年曲线积分与曲面积分习题及答案 .pdf

《2022年曲线积分与曲面积分习题及答案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年曲线积分与曲面积分习题及答案 .pdf（35页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、1 第十章曲线积分与曲面积分(A) 1计算Ldxyx，其中 L 为连接0, 1及1 ,0两点的连直线段。2计算Ldsyx22，其中 L为圆周axyx22。3 计算Ldsyx22， 其中 L 为曲线tttaxsincos，tttaycossin，20t。4计算Lyxdse22，其中 L 为圆周222ayx，直线xy及x轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。5计算Ldsyx3434，其中 L 为内摆线tax3cos，tay3sin20t在第一象限内的一段弧。6 计 算Ldsyxz222， 其 中 L 为 螺 线taxcos，taysin，atz20t。7计算Lxydx，其中 L 为抛物线xy2上从

2、点1, 1A到点1 , 1B的一段弧。8计算Lydzxdyzydxx2233，其中 L 是从点1 ,2, 3A到点0, 0,0B的直线段 AB 。9计算Ldzyxydyxdx1，其中 L 是从点1 , 1 , 1到点4,3 ,2的一段直线。10 计算Ldyyadxya2， 其中 L 为摆线ttaxsin，taycos1的一拱 (对应于由 t 从 0 变到 2的一段弧 )：11计算Ldyxydxyx，其中 L 是：1）抛物线xy2上从点1 , 1到点2 ,4的一段弧；2）曲线122ttx，12ty从点1 , 1到2,4的一段弧。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

3、- - - - - -第 1 页，共 35 页2 12 把对坐标的曲线积分LdyyxQdxyxP,化成对弧和的曲经积分， 其中 L 为：1）在 xoy平面内沿直线从点0, 0到4, 3；2）沿抛物线2xy从点0 ,0到点2 ,4；3）沿上半圆周xyx22从点0,0到点1 ,1。13 计 算Lxxdymxyedxmyyecossin其 中 L 为ttaxsin，taycos1，t0，且 t 从大的方向为积分路径的方向。14 确定的值，使曲线积分dyyyxdxxyx4214564与积分路径无关，并求0,0A，2, 1B时的积分值。15计算积分Ldyyxdxxxy222，其中 L 是由抛物线2xy和

4、xy2所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。16利用曲线积分求星形线tax3cos，tay3sin所围成的图形的面积。17 证明曲线积分4,32,12232366dxxyyxdxyxy在整个 xoy平面内与路径无关，并计算积分值。18利用格林公式计算曲线积分Lxxdyyexxdxeyxxyxxy2sinsin2cos222， 其中 L 为正向星形线323232ayx0a。19利用格林公式，计算曲线积分Ldyxydxyx63542，其中 L为三顶点分别为0 ,0、0 ,3和2,3的三角形正向边界。20验证下列dyyxQdxyxP,在整个 xoy平面内是某函数yxu,的全微分，并求这样

5、的一个yxu,，dyyeyxxdxxyyxy128832322。21计算曲面积分dxyx22，其中为抛物面222yxz在 xoy平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 35 页3 面上方的部分。22计算面面积分dszxxxy222，其中为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面。24求抛物面壳2221yxz10z的质量，壳的度为zt。25求平面xz介于平面1yx，0y和0 x之间部分的重心坐标。26当为 xoy平面内的一个闭区域时，曲面积分dxdyzyxR,与二重积分有什么关系？27计算曲面积分ydzdxxdydzzdxdy其中为柱

6、面122yx被平面0z及3z所截的在第一卦限部分的前侧。28 计 算dxdyzdxdzydydzx222式 中为 球 壳22byax22Rcz的外表面。29 反 对坐 标 的 曲 面积 分 化 成 对 面积 的 曲 面 积dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP,化成对面积的曲面积分，其中是平面63223zyx在第一卦限的部分的上侧。30利用高斯公式计算曲面积：1）dxdyzdzdxydydzx222，其中为平面0 x，0y，0z，ax，ay，az所围成的立体的表面和外侧。2）xdydzzydxdyyx， 其中为柱面122yx与平面0z，3z所围立体的外表面。31计算向理穿过曲面流向指

7、定侧的通量：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 35 页4 1）kxzjyxizx222，为立体ax0，ay0，az0，流向外侧；2）kyxzjxzyizyx，为椭球面1222222czbyax，流向外侧。32求向理场kxzjxyiaxy2coscos的散度。33利用斯托克斯公式计算曲经积分xdzzdyydx其中为圆周，2222azyx，0zyx，若从x轴正向看去，这圆周取逆时针方向。34证明02xzdzxydydxy，其中为圆柱面yyx222与zy的交线。35 求 向 量 场kxyjyzxiyxa233， 其 中为 圆 周

8、222yxz，0z。36求向量场jyxziyzcossin的旋度。37 计 算dzyxdyxzdxzy222222， 其 中为 用 平 面23zyx切立方体ax0，ay0，ax0的表面所得切痕， 若从ox轴的下向看去与逆时针方向。(B) 1计算Lyds，其中 L 为抛物线pxy22由0, 0到00, yx的一段。2 计 算Ldsy2， 其 中 L 为 摆 线ttaxsin，traycos一 拱20t。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 35 页5 3求半径为a，中心角为 24 的均匀圆弧 (线心度1)的重心。4计算Lzds，

9、其中 L 为螺线ttxcos ，ttysin，tz20t。5计算Ldszyx2221，其中 L 为空间曲线txtcos，tytsin，tz上相应于 t 从 0 变到 2 的这段弧。6设螺旋线弹簧一圈的方程为taxcos ，taysin，ktz20t，它的线心度为222,zyxyzyx，求：1）它关于z轴的转动惯量zI；2）它的垂心。7设 L 为曲线tx，2ty，3tz上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧，把对坐标的曲线积分LRdzQdyPdx化成对弧长的曲线积分。8计算Lyxdyyxdxyx22，其中 L 为圆周222ayx(按逆时针方向绕行)。9计算Lxdzzdyydx，其中 L 为曲线

10、taxcos ，taysin，btz，从0t到2t的一段。10计算Ldyyxdxyx2222，其中 L 为|1xy20 x方向为x增大的方向。11 验证曲线积分1,20, 1222dyyxexdxyxeyy与路径无关并计算积分值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 35 页6 12证明当路径不过原点时，曲线积分2,21 ,122yxydyxdx与路径无并，并计算积分值。13利用曲线积分求椭圆12222byax的面积。14利用格林公式计算曲线积分Ldyyxdxyx22sin，其中 L 是圆周22xxy上由点0 ,0到点1 ,

11、1的一段弧。15利用曲线积分，求笛卡尔叶形线axyyx3330a的面积。16计算曲线积分Lyxxdyydx222，其中 L 圆周2122yx， L 的方向为逆时针方向。17计算曲面积分zds3，其中为抛物面222yxz在 xoy平面上的部分。18 计算dszxyzxy， 其中是锥面22yxz被柱面axyx222所截得的有限部分。19求面心度为0的均匀半球壳2222azyx0z对于z轴的转动惯量。20求均匀的曲面22yxz被曲面axyx22所割下部分的重心的坐标。21计算曲面积分2222,azyxdszyxfI，其中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

12、- - -第 6 页，共 35 页7 222222,0,yxzyxzyxzyxf。22计算yzdzdxxydydzxzdxdy，其中是平面0 x，0y，0z，1zyx所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。23计算dxdyzdxdzydydzx111，其中为椭球面1222222czbyax。24 计 算dxdyyxdxdyxzdydzzy， 式 中为 圆 锥 面zyx22hz0的外表面。25设zyxu,，zyxv,是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，nu、nv依次表示zyxu,，zyxv,沿外法线方向的方向导数。证明：dsnuvnvudxdydzuvvu，其中是空间闭区域的整个边

13、界曲面，这个公式叫做格林第二公式。26利用斯托克斯公式计算曲线积分dzxyzdyxzydxyzx222其中 L 是螺旋线taxcos ，taysin，thz2，从0,0,0A到haB,0,的一段。27设zyxuu,是有两阶连续偏导数，求证：0gradurot。(C)1求曲线的弧长axayarcsin，xaxaazln4从0,0O到000,zyxA。2计算Ldsy21，其中 L 为悬链线axachy。3求均匀的弧textcos，teytsin，tez0t的重心坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 35 页8 4 计算Ldy

14、xRxyxdxxRy22222ln24， 其中e是沿222Ryx由点0,RA逆时针方向到0 ,RB的半圆周。5设xf在,内有连续的导函数，求Ldyxyfyyxdxyxyfy11222， 其中 L 是从点32, 3A到点2, 1B的直线段。6计算, 2,122cossincos1dyxyxyxydxxyxy，沿着不与 oy轴相交的路径。7已知曲线积分Ldyxxfdxxxyxsin与路径无关，xf是可微函数，且02f，求xf。8 设在平面上有2322yxjyi xF构成内场，求将单位质点从点1 ,1移到4,2场力所作的功。9已知曲线积分LdyxxdxyI333，其中 L 为222Ryx0R逆时针方

15、向曲线： 1）当 R为何值时，使0I？2）当 R为何值时，使 I 取的最大值？并求最大值。10计算dxdyzxzdzdxzxydydzzxxI222111其中为曲面22yxz10z的下侧。11计算dsxyz|，其中的方程为1|zyx。12计算曲面积分dydzxI12，其中是曲线xy10 x绕x轴旋转一周所得曲面的外侧。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 35 页9 13计算Ldyyxxdxxyx2222，其中 L 为由点0, 4A到点0 ,0O的上半圆周xyx42214证明Lyxdyxydxxy333与路径无关， 其中 L

16、不经过直线0yx，且求3,20, 1333yxdyxydxxy的值。15求圆锥22yxzhz0的侧面关于oz轴的转动惯量。16选择a，b值使222222222yxdybyxyxaxxyy为某个函数yxu,的全微分，并求原函数yxu,。17计算曲面积分dxdyyxex22，其中为曲面22yxz，平面1z，2z所围立体外面的外侧。18证明1）vuuvvuuv2；2）2xx第十章曲线积分与曲面积分(A) 1解：两点间直线段的方程为：xy1，10 x故dxdxdxyds211122所以22110dxxxdxyxL。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

17、-第 9 页，共 35 页10 2解： L 的参数方程为sin2121cos21ayaax，20则cos12|21sin2121cos21222aaaayx2cos|12cos212|212aa|21cos2sin22222aaadyxds所以202222cos21dadsyxL0222cos2cos21dda220222sin22sin221aa3解：atdtdttattatdtyxds222sincos故2022222cossinsincosatdtttttttadsyxL20232204233321242attadttta4解：如图32222212222LyxLyxLyxLyxdseds

18、edsedse1L ：0yxx，ax0，dxdxds2012L ：xyxx，ax220，dxdxds21123L：taytaxsincos，40 x，adtdttatadtyxdx2222cossin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 35 页11 4022020222adtedxedxedseaaxaxLyx2424|22020aeaeeeaaaxax5解：ttayx44343434sincos222222cossin3sincos3ttattadtyxdstdttadtttacossin3cossin922220443

19、73434cossinsincos3tdttttadsyxL37206374sin616cos613atta6解：adtdtatatadtzyxds2cossin22222220202222222222sincosdttaadttatatadsyxzL3203238|312ata。7解：1111511422545122ydyydyyyyxydxL8解：直线段 AB 的方程为123zyx，化成参数方程为tx3 ，ty2，tz， t从 1 变到 0 故ydzxdyxydxxL2233dtttttt01223232233348787013dtt9解：直线的参数方程为tx1，ty21，tz31(10t

20、) Ldzyxydyxdx1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 35 页12 10121132121dttttt1013146dtt10解：Ldyydxya9220sincos1cos1cos12dttataatataa20220222sin212cos121sincoscos1dtttadtttta220221adta11解： 1)原式21222dyyyyyy3342213121221342123yhyydyyyy2)原式10222212114112dttttttttt102329510dtttt121312293541

21、0229354101022424ttttdtttt12解： 1） L 的方向余弦53cos，54cosLLdsyxQyxPdyyxQdxyxP,54,53,2）dxxds221，2411cosxdxdx224124111sincosxxx故dsxyxxQyxPdyyxQdxyxPL241,2,3）dxxxxds22211，22cosxxdsdxxxx121sincos2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 35 页13 故LLdsyxQxyxPxxdyyxQdxyxP,1,2,213解：因为myexQyPxcos故原积分与路

22、径无关，于是原式BAOBaaadyamyedx00cos0222sinmaaea。14解：xyxP44，42156yyxQ，由xQyP，得221164yxxy，解得3故当3时，所给积分与路径无关dyyyxdxxyx4222, 10,034564579516042042104dyyydxxx取CBAC计算，其中0, 0A，0 ,1C，2, 1B15解：原式21LL1042322dxxxxxx01224322dyyyyyy1023522dxxxx30124210245dyyyy又yyDDdxxdydxxdxdyyPxQ2301212110LDQdyPdxdxdyyPxQ16解取yP，xQ，1yP，

23、1xQ可得面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 35 页14 LDydxxdydxdyA211设1A为在第 I 象限部分的面积，由图形的对称性所求面积ydxxdyAA21441202223sincos3sincossin3cos2dtttatattata22022283cossinatdttba注：还可利用LLDydxxdydxdy17解：326yxyP，2236xyyxQ2312yxyyP，2312yxyxQ因为yPxQ，所以积分与路径无关取路径4, 32,32, 1原式23695482442231dyyydxx18解

24、：xyeyxxxxQ2cossin22，xyexxxxyP2sin2cos2原式0dxdyyPxQD。19解：3xQ，1yP原式DDDdxdydxdydxdyyPxQ413303203012384xdxdydxx20解： 1）yPxxQ2，故dyxxydx22是某个yxu,的全微分。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 35 页15 yxxyxdyxdxdyxxydxyxu0204,0,0202,2）yPxxxQ1632，yxydyyeyxxdxxyyxyxu,0, 0232212883,dyyeyxxdxyyx023012

25、8012124223yyeyeyxyx21解：xyD：222yx，dxdyyxdxdyzzdxyx22224411故原式xyDdxdyyxyx222244120222220sin4cos41sin9cosdrrrrrrd241212412022022220rhdrrdrrrrd3014941202duuuur22解：原式xyDyxdxdyzzyxyx1|22xyIDdxdyyxyxxy2222414这里xyID为xyD在第一象限部分10242041cossin4rdrrrd1024204172sin214rdrrd420151251232141105122441242dttttrdrrtr23

26、解：yxz226，dxdydxdyds3212精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 35 页16 原式xyDdxdyyxxxxy3226222dyyxyxxdxx3023022236342724解：dxdyyxyxzdsMxyD22221212022201361527121drrrd25解：平面xz这部分的面积DDyxdxdydxdyzzS21222221010 xdydx因而xdyxdxxdsSx1010312221xdyydxydsSy101031222131221xdszdsSz故重心坐标为31,31,3126 解：因

27、为曲面积分有向曲面，所以dxdyyxRdxdyzyxRxyD0 ,当积分曲面取在的上侧时为正号，取在下侧时为负号27，解：ABDxy，面积为 0，0zdxdy30, 10, 0|,0zyxzyDyz，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 35 页17 30,0,10|,0 ,zyxzxDzx原式yzzxDDdzdxxdydzy2211101023023011dxxdzdyydz23arcsin21212210yyhy。28解：根据轮换对称，只要计算dxdyz2xyD：222Rbyax注意到：222byaxRez，再利用极坐标

28、可得xyDdxdybyaxRcdxdyz2222xyDdxdybyaxRc222xyDdxdybyaxRe2224RrdrrRde022204eRrReR30232238318于是原式cbaR3329解：原式dsRQPcoscoscos，这里cos，cos，cos是的法向理 n 的方向余弦而是平面63223zyx在第一卦限部分的上侧0cos，取32,2, 3n。5332233cos222，52cos，532cos故原式dxRQR5325253。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 35 页18 30解： 1）zyxzRyQx

29、P222原式dxdydzzyxdxdydzzRyQxP2aaaaadyaayaxdxdzzyxdydx020000222403323222adxaaxaa20 xzyP，0Q，yxRzyzRyQxP故原式29sin,301020dzzxrdrddxdydzzy。31解：RdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxPdzxzxdydxdxdydzxzxaaa020022222aaadxxaaxaa023226222）dxdyyxzdzdxxzydydzzyxsdSabcbcdxdydz4343111。32解：xyeP，xyQcos，2cos xzRxyyexP，xyxyQsin，2sin

30、2xzxzzR故2sin2sinxzxzxyxyezRyQxPdivxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 35 页19 33 解： 取为平面0zyx， 被所围成的部分的上侧，的面积为2a，的单位法向量为31,31,31cos,cos,cosn原式dsdszyxzyx3131313131312333ads。34证：平面zy的单位法向理21,21, 0cos,cos,cosn由斯托克斯公式得左边dszydsxzxyyzyx21coscoscos2xyDdxdyzy02135解：闭曲线是 xoy平面上的圆周422yx(逆时针方

31、向 )，它的参数方程为cos2x，sin2y，0z20，故环流量为dzxydyyzxdxzxRdzQdyRdx233203cos2cos8sin2cos2d202012120cos16cossin4dd. 36解：jiyxzyzzyxkjirot0cossin。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 35 页20 37解：证平面azyx23合科立方体内的部分为，它在 oxy平面上的射影为xyD，面积为243a，取平面的上侧，单位法向量31,31,31，于是由斯托克斯公式得原式dxzyxdsyxxzzyzyx3143131312

32、2222232294366316aaadxdyadsaxyD。(B) 1解： L 的参数方程tytpx221，则dtptpdttpdtyxds222222111所以3232200232202231311100ppypptpdtptptydsyyL2解：dttatadtyxds222222sincos12sin22sin21121cos122tatta所以202222sin2cos1dttatadsyL202320432sin2cos182sin2sin8dtttadttta320533152562cos512cos322cos16attta3 解：取坐标系如图， 设重心坐标为yxG,， 由扇形

33、的对称性可知0y，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 35 页21 又44cos241adaadsxdsxLLsin|sin2444aa4解：dtttttttzyxds1cossinsincos2222dtt22所以222312312232002320200ttdtttzdsttL5解tttteetetezyx22222222sincosdtzyxds222dtetetetetettttt222cossinsincosttedte332所以2022223211ttLeedszyx220201232323eedtett6解：

34、LdszyxM,dtktatatktata2222220222222cossinsincos1）LzdszyxyxdszyxyxI202222222,222222202222224332kakaadtkatkaa2）2022222cos1,1dtkatkataMdszyxxMxL2222436kaak精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 35 页22 2022222sin1,1dtkatkataMdszyxyMyL2222436kaak20222221,1dtkatkaktMdszyxzMzL2222243223kakhak

35、7解：由tx，2ty，3tz得dtdx，xdttdtdy22，ydtdttdz332dtyxds22941故229411cosyxdsdx229412cosyxxdsdy229413cosyxydsdz故dsyxyRxQPRdzQdyPdxLL22941328解：圆周的参数方程为taxcos ，taysin20t故Lyxdyyxdxyx22202cossincossinsincos1dttatatatatataa212022dtaa9解：dtbtatabttataxdzzdyydxL20coscossinsin20222coscossinadttabtabtta10解：如图OBOAC，OA：x

36、y， AB ：xzy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 35 页23 故原式212210222dxxxdxxx21223422xdxx11解：由于yxePy2，yxyxQ22又12yxexQyP，故曲线积分与路径无关，取折线1 ,20,20 ,1，则原式102142242edyyexdxy。12解：由于2322yxxP，2322yxyQ，又25223yhxxyxQyP故当路径不过原点时，该曲线积分与路径无关，取折线2,21 ,21 ,1，得原式21232212324241yydyxxdx13解：取参数方程taxcos ，t

37、ysin20t面积LabdtttabydxxdyA2022sincos212114解： L 不是闭曲线，要用格林公式，先得补添路径，使其封闭，如图DLABBOdxdyyPxP，因为0110yPxP故0LABBO，所以原式2sin4167sin1101022dxxdyyLABBO15解：作代换txy，得曲线的参数方程313tatx，3213taty，由于dtttadx2331213，dtttatdy233123精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 35 页24 从而dtttaydxxdy232219，故面积2032023222

38、3112312921atadtttaydxxdySL16解：由于0yx时，被积函数无意义，故 L 所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点0 ,0，作逆时针方向的圆周l ：cosrx，sinry，20使 l 全部补 L 所包围，在 L 和 l 为边界的区域 D 内，根据格要公式，有lLDyxxdyydxyxxdyydxdxdyyPxQ2222221xQyxyxyP22222，故上式为零lLdrrryhxxdyydxyxxdyydx20222222222cossin2222021d。17解：xyD：222yx，dxdyyxdxdyzzdsyx22224411原式dxdyyhxyxxyD

39、244123222161114123202220rdrrrd18解：xyD：axyx222，22yxzdxdydxdyyxyyxxdxdyzzdsyx21122222222原式xyDdxdyyxyxxy222cos202222cossincossin2ardrrd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 35 页25 422421564cos241cossincossin2ada。19解：半球壳的方程为222yxazxyD：222ahyxdxdyyxaadszzdsyx222221xyDzdxdyyxayxadsyxI22222

40、002240022220034ardrrardaa。20解：质量为4222202200022aadxdydsMaxyx从而垂心的坐标为2222020421xaxxaxaaxyxdyxdxaxdxdyMxaaadtxataadxxaxxa0222222222882282022adttaa0212200 xaxxaxaydydxMy916cos38421203cos02222022adadrrdazdxdyMzaaxyx即重心坐标为916,0,2aa。21 解： 由于曲面22yxz得2222azyx分成上下两部分，记成上S，下S，又由222222yhxzazyx精选学习资料 - - - - - -

41、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 35 页26 解得：2az，222ayx，所以下上SSdsdsyxI022xyDdxdyyxaayx222222586sin2420402422320adadrraarda22 解： 证z在 xoy，yoz，zox平面上的部分分别为1，2，3， 在1zyx面上的部分为4。xyDdxdyxxzdxdyyzdzdxxydydzxzdxdy0011yzDydydzxydydzyzdzdxxydydzxzdxdy0022zxDzdzdxyzdzdxyzdzdxxydydzxzdxdy0023故原式yzdzdxxydydzxzdxd

42、y4xDdyyxdxdxdyyxxxzdxdyxy101081131334(另解：可求得241xzdxdy，由对称性可得原式81也可用高斯公式 ) 23解：xyD：12222byax，22221byaxcz由轮换对称，只要计算积分dxdyz1再利用广义极坐标可得xyxyDDdxdybyaxcdxdybyaxcdxdy22222222111121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 35 页27 10220222212112drrrdcabdxdybyaxcxyDcabrcab414102于是原式22222244bacacba

43、bccabbacabc。24解：证1，2分别为锥面的底面和侧面而cos，cos， cos为锥面外法线的方向余弦xyD：222hyx，则dxdyyxdxdyxzdydzzy1xyDhdrrddxdyyx20020sincos又对2上的任一点zyx,有ryxcoscoscos故ds在各坐标平面上射影分别为dxdydscos，dxdyxdszxdx2coscos，dxdyzydszydscoscos于是dxdyyxxdxdyzdydzzy2dsyxxzzyS2coscoscosdxdyyxxzzyzyxxyD2xyDdxdyyx02故原式00025证：由格林第一公式得dxdydzzvzuyvyuxv

44、xudxnvuvdxdydzu同理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 35 页28 dxdydzzvzuyvyuxvxudxnuuudxdydzv两式相减得：dsnvvnvudzdxdyuvvu。26解：设BAc，其中BA为从 B到 A的直线段，则c为封闭曲线，由斯托克斯公式得xyzxzyyzxzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxc222，其中是以c为边界且与c构成右手系的任曲面。ABABcBACLhhdzakz0323027证：kzujyuixugradujzxuxzuizyuyzuzuyuxuzyxkjig

45、radurot2222022kyxuxyu(C) 1解：dxxaxadxxaaxhaads2222222422223421，0|0 x于是当00 x时，有00000002222|ln423xxzxxaxaadxxaxaS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 35 页29 当00 x时，有00000022220|ln4223xxzxxaxaadxxaxaS故当ax |0时，有|00 xZS2解：dxaxchdxaxds2sin1，于是axshaxshdadxaxchaaxchdsyL2222111aaxshaarctan13解

46、：dtedtettettedstttt3cossinsincos22222质量为033 dteMt于是垂心坐标为525sincos2cos3cos102020ttttetttdtedtetemx515cossin2sin3cos1020200ttttetttdtedtetemy21310200dtedteeemztttt4解：BACBAC， ABBACC但00RRABdx，又BACDdxdyyPxQQdyPdxDdxdyxRyxRy2222224222244RRdxdyD原式22 R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 35

47、 页30 5解：yxyfyP21，122xyfyyxQ232222112yxyfxyxyfyyxyfyxxyfyxyyfyyP232222111yxyfxyxyfyyxyfxyxyfyyxQ故当0y时，xQyP，因此只要路径不过x轴，点 A到点 B 的曲线积分与路径无关，取路径2, 132, 132, 3BCA，有原式dyyfyydxxf2322213113232941132322232131323223dyydyyfdxxfdx413123232232322ydyyfdyyf6解：0 x时，有xyxyPcos122，xyxyxyQcossinxyxyxyxyyPsincos2222xyxyx

48、yxyxyxyxyxyxyxyxQsincos2sincoscos3223222改 右 半 平 面0,xyx， 由 于是 单 连 通 区 域 ， 且 在 其 上yPxQ，故在上的是某函数yxu,的全微分，且可取yxdyyyydxxyxyyxucossincos1,122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 35 页31 xyyxyyxyyxyxsin1|sinsin1于是原式1sin1,2,1xyyx7解：xxyxPsin，2xfQxxyPsin，2xhxfxfxxQ即xxxfxxfsin12解此一阶线性微分方程得Cxdxe

49、xexfdxxdxx121sinxexxxcossin由02f得1e，故所求函数为1cossinxxxxxf8解：所求的功4,21 ,12322yxydyxdxW，2322yxxP，2322yxyQ2322223yxxyyP，232223yxxyyQ当022yx时，此积分与路径无关故214132223224dyyydxyxxW521214111412212yx9解：由格林公式各RDxdxxddxdyyxI02202233333精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 35 页32 2134262242RRRR1）当0R（舍去）

50、，2R时，0I2）由0663RRIR，得0R（舍去） ，1r2186RIR，012|1RI故当1R时， I 取最大值，231I10解：补上1：122yx，1z，上侧由高斯公式12221113dxdyzxzdzdxzxydydzzxxdxdydzI12222111313yxdxdyx4cos102220dxxd11解：由对称性可知原式18xyzds，1：1zyx而dxdyzzxyxyxyzdsDyx221111010321010321313dxyxyxxdyyxxydxxx103313123dxxxxx1203163103dxxx故原式1531203812解：取1：1x，122zy方向与x轴同上