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1、23 / 9(2 解：由*(3 ，其中 回为以及MJ为顶点的三角形负向边界; Green公式，得，其中回为的上半圆周从点二I到点曰及的上半圆周解：连直线段AB,使L与回围成的区域为D,由Green公式，得日与-围成第十一章曲线积分与曲面积分第三节Green公式及其应用1 . 利用Green公式，计算下列曲线积分：(1 X ，其中 H为正向圆周解：由Green公式，得从点二I至，点Lzd连成的弧 凶；*(4 2目，其中 目为正向圆周解：因为 X： , 13 。作足够小的圆周3： 在日，取逆时针方向 , 的闭区域为由Green公式，得, 故名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
2、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 24 / 9名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 25 / 9从而回，有解: 故积分与路径无关，取经x轴到点 二I的一条路径 , 原式= *3 . 设函数日 具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线第四节对面积的曲面积分1.填空题：(1设为球面 , X ，则回
3、凶；(2面密度的光滑曲面 的质量曰回.2.计算下列对面积的曲面积分：(1 ，其中为平面 心! 在第一卦限的部分 ; 解： _ = _ I , I X I , X I (2 g ，其中目为L _x I 的部分；解：_ =_ ,2. 计算下列对坐标的曲线积分: , 其中可为曲线上由点 M到点二I的一段弧 ; L 围成域为D,由Green 公式，得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 26 / 9*(3 x ，其中为 -
4、=一围成四面体的整个边界解：, 其中名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 27 / 9(1 卫为回面内圆第七节Stokes公式*环流量与旋度1.利用斯托克斯公式计算下列曲线积分: 解：取 习为平面曰 的下侧被 M围成的部分，D为习在回 面上的投影区域。由Stokes公式，得L I名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
5、- - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 28 / 9(2 日为平面11 在第一卦限部分三角形的边界，从向看去是逆时针方向 ; 解：取 习为平面LxJ的上侧被 日围成的部分， 的单位法向量I 。由Stokes公式，得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 29 / 9(4曲线积分与路径无关，则可微函数m应满足条件*(5设日为平面在第一卦限的部分，取上侧，则LEJ 第十一章综合练习题1
6、.填空题：(1已知为椭圆I x I ，其周长为 国，贝U I 12a;(2已知目为直线凶上从点回到点曰的直线段，则(3设日是以点 区，巨,因 为顶点的三角形正向边界，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 30 / 90. 2.求下列曲线积分：(1 3 ，其中为球面匚三被平面所截得的圆周 ; 解：在习的方程中，由于x, y, z循环对称，故名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
7、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 31 / 9*(2 x ，其中目是以S 为圆心， 为半径的正向圆周 ; 解: 。作足够小的椭圆, 取顺时针方向，由格林公式, 所以*3 . 在过点二I和曰的曲线族求一条 曲线回，使该曲 线从回到白 积分所以*4.设曲线积分与路径无关，其中H具有连续的导数，且m ，计算解：, 由于积分与路径无关 , 所以 回，即 M , 从而I由Ml ，知Ml , 所以匚三I(1 凶，其中-为圆柱面介于之间的部分 ; 的值最小 . 解：令所以得驻点在凶取得最小值，从而 回为
8、 一5 .计算下列曲面积分 : 解：在 习的方程中，由于x与y循环对称，故名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 32 / 92018 年）2.设2018 年）3.设L是柱面方程与平面的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则2018 年）4.已知L是第一象限中从点0 , 0 ）沿圆周到点2, 0 ）,再沿圆周至嫌0, 解：设平面 _| 和区围成的下半球体为 目。由格林公式得 : 近三年考研真题曲线积分* （2
9、，其中 目为下半球面的上侧; （C 回D ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 33 / 92）的曲线段，计算曲线积分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 34 / 9近三年考研真题解读2018年）1. 解读：由格林公式 : ，因此曰
10、。利用极坐标分别计算出日和回）2018年）2. 解读：由曲面积分的计算公式可知: 其中而在在0外，因此 叵。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 35 / 92018年）3. 解读: 由斯托克斯公式得 : 故原式=LEJ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 36 / 92018年）4. 解读: 设圆为回，所补的直线0为式得: 原式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -