2022年曲线曲面积分.pdf

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1、第十章曲线曲面积分101 对弧长的曲线积分一、选择题1. 设曲线弧段?AB为，则曲线积分有关系( ).(A)?( , )d( , )dABBAf x ysf x ys；(B)?( , )d( ,)dABBAf x ysf x ys；(C)?( , )d( , )d0ABBAf x ysf x ys；(D)?( , )d(,)dABBAf x ysfxys答(B).2. 设有物质曲线23:,(01),23ttCxt yzt其线密度为2y, 它的质量M( ).(A)12401dtttt; (B)122401dtttt;(C)12401dttt; (D)12401dtttt. 答(A).3. 设OM

2、是从(0,0)O到(1,1)M的直线段 , 则与曲线积分22dxyOMIes不相等的积分是( ).(A)1202dxex; (B)1202dyey; (C)20drer; (D)102drer答(D).4 . 设L是从(0,0)A到(4, 3)B的直线段 , 则曲线积分()dLxys( ).(A)403d4xxx; (B)303d4yyy;(C)30391+d416yyy; (D)40391+d416xxx. 答(D).5. 设L为抛物线2yx上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧, 则曲线积分dLy s( ).(A)12014dxx; (B)101dyy y;(C)12014dxxx; (D

3、)1011dyyy. 答(C).6. 设L是 从(1,0)A到( 1, 2)B的 直 线 段 ,则 曲 线 积 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - - ()dLxys( ).(A)2; (B)2; (C)2; (D) 22. 答(D).二、填空题1. 设L是圆周221xy, 则31dLIxs?与52dLIxs?的大小关系是.答:12.II2. 设L是连接(1,0)A与(0,1)B两点的直线段 , 则()dLxys.答：2.3. 设:c

4、os ,sin (02 ),L xat yatt则22() dnLxys.答：212aa.4. 设:cos ,sin (02 ),L xat yatt则22()dLxys.答：0.5. 设L是圆周221xy, 则2dLIxs?.答：.6. 设:cos ,sin ,tttxet yet ze, 上相应于 t 从0变到2的这段弧 , 则曲线积分22()dLxys.答: 23(1)2e.7. 设L为曲线24yx上从点(0,0)A到点(1, 2)B的弧段 , 则1dLyx s.答：3.三、解答题1. 计算下列对弧长的曲线积分：(1) dLx s?其中为由直线yx与抛物线2yx所围区域的整个边界. 答：

5、1(55621)12.(2) 22dxyLes?其中L为圆周222xya，直线yx及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.答：22.4aae精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - - (3) 2dx yz s，其中为折线ABCD，这里, ,A B C D依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).答：9.(4) 2dLys其中L为摆线一拱(sin ),(1cos ) (02 )xa ttyatt.答：34 23

6、2.5 3a(5) 22()dLxys其中L为曲线(cossin )(sincos )xatttyattt(02)t.答：2322(12).a102 对坐标的曲线积分一、选择题1. 设AB为由(0,)A到( ,0)B的直线段,则sin dsin dABy xx y( ).(A)2; (B)1; (C) 0; (D)1. 答(C).2. 设C表 示 椭 圆22221xyab, 其 方 向 为 逆 时 针 , 则2()dCxyx( ).(A)ab; (B) 0; (C)2ab; (D)1. 答(B).3. 设C为由(1,1)A到(2,3)B的直线段 , 则(3 )d(2 )dCxyxyxy( ).

7、 (A)21(2 )(23 )dxxxxx；(B)21(21)(213 )dxxxxx(C)21(73)2(51)dxxx; (D)21(73)(51)dxxx. 答(C).4. 设曲线C的方程为cos ,sinxt yt(0)2t,则22ddCx y yy x x( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - - (A)20cossinsincos )dttttt；(B)2220(cossin)dttt(C)2200ddcossinsin

8、cos2 sin2costttttttt; (D)201d2t. 答(D).5. 设( )f u连续可导 ,L为以原点为心的单位圆, 则必有 ( ). (A)22()( dd )0Lf xyx xy y?；(B)22()( dd )0Lf xyx yy x?(C)22()(dd )0Lf xyxy y?; (D)22()( dd )0Lf xyx xy?. 答(A).6. 设C是 从(0,0)O沿 折 线11yx到(2,0)A到 的 折 线 段 , 则ddCx yy x( )(A)0; (B)1; (C)2; (D)2. 答(C).二、填空题1. L为xoy平面内直线xa上的一段 , 则( ,

9、 )dLP x yx.答：0. 2. 设L为2yx上从(0,0)O到(2,4)A的一段弧,则22()dLxyx.答：5615.3. 设L为2yx上从(0,0)O到(2,4)A的一段弧,则22()dLxyy.答：403.4L为 圆 弧24yxx上 从 原 点 到(2,2)A的 一 段 弧 , 则dLxy y.答：43.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 5设L为圆周222()(0)xayaa及x轴所围成的在第一象限的区域的整个边界 (

10、 按逆时针方向绕行), 则dLxy y.答：32a.6设(2 )d(23 )d9Lxyxxyy?, 其中L为xoy平面上简单闭曲线, 方向为逆时针 . 则L所围成的平面区域D的面积等于.答：32.三、解答题1计算()d()dLxyxyxy, 其中L为: (1) 抛物线2yx上从(1,1)到(4,2)的一段弧 ;(2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段 ; (3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2), 然后再沿直线到点(4,2)的折线 ; (4) 曲线2221,1xttyt上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧 . 答案：3432(1);(2) 11;(3)14;(4).332 计算dd

11、Ly xx y其中L为圆周cos ,sinxRt yRt上对应 t 从 0 到2的一段弧 . 答： 0. 3计算22()d()dLxyxxyyxy?, 其中L为圆周222xya( 方向按逆时针). 答：2.4计算dd(1)dx xy yxyz其中为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段 . 答： 13. 5. 计算22(2)d(2)dLxxyxyxyy, 其中L是2yx上从点( 1,1)到点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - -

12、(1,1)的一段弧 .答：1415.103 格林公式一、选择题1. 设C是圆周222xyR, 方向为逆时针方向, 则22ddCx y xxyy?用格林公式计算可化为( ).(A)2300ddRrr；(B)2200ddRrr;(C)2300d4sin cos dRrr; (D)2200ddRR r r. 答(A).2. 设L是圆周222xya, 方向为负向 ,则3223()d()dLxx yxxyyy?= ( ). (A)323a; (B)4a; (C); (D)42a. 答(D).3. 设L是 从(0,0)O沿 折 线22yx到(4,0)A到 的 折 线 段 , 则ddCx yy x( )(A

13、) 8; (B)8; (C)4; (D)4. 答(B).4. 设( , ),( , )P x yQ x y在 单 连 通 区 域D内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 则ddLP xQ y在D内与路径无关的充分必要条件是在D内恒有 ( ).(A)0QPxy; (B)0QPxy; (C)0PQxy; (D)0PQxy. 答(B).5. 设L为一条不过原点, 不含原点在内的简单闭曲线,则22dd4Lx yy xxy?( ). (A) 4; (B); (C) 2; (D) 0. 答(D).精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

14、 - - - - - - -第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 6. 设L为一条包含原点在内的简单闭曲线,则22dd4Lx yy xIxy?( ). (A)因为QPxy, 所以0I; (B)因为,QPxy不连续 , 所以I不存在;(C) 2; (D)因为QPxy, 所以沿不同的L,I的值不同 . 答(C).7. 表达式( , )d( , )dP x yxQ x yy为某函数( , )U x y的全微分的充分心要条件是 ( ).(A)PQxy; (B)PQyx; (C)PQxy; (D)PQyx. 答(D).8. 已知2()dd()xayxy yxy为某函数( ,

15、)U x y的全微分 , 则a( ). (A) 0; (B)2; (C)1; (D)1. 答(B).9. 设L是从点(1,1)A到点(2,3)B的直线段 ,则(3 )d(3 )dLxyxyxy( ). (A)2311(3)d(6)dxxyy; (B)21(6 )(23 )dxxxxx;(C)23111(31)d(3)d2yxxyy; (D)21(31)(51)dxxx.答(A).10*. 设( )f x连续可导 , 且(0)1f, 曲线积分(,)4 3(0,0)( ) tan d( )dIyf xx xf xy与路径无关 , 则( )f x( ). (A) 1cosx; (B) 1cosx;

16、(C)cosx; (D) sin x. 答(C).二、填空题1. 设区域D的边界为L, 方向为正向 , D的面积为.则ddLx yy x?. 答: 2.2. 设( , )f x y在22:14xDy上具有二阶连续偏导数, L是D的边界正精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 向, 则( , )d3( , )dyxLfx yyyfx yx?.答: 6.3. 设L是圆周229xy, 方向为逆时针 ,则2(2)d(4 )dLxyyxxxy?.

17、答: 27.4. 设L为闭曲线2xy方向为逆时针 ,a b为常数 ,则ddLax yby xxy?=.答: 4()ab.5. 设ABCDA为以点(1 ,0),(0,1), ( 1,0),(0, 1)ABCD为顶点的正方形逆时针方向一周 , 则ddLxyxy?=.答: 0.6. 设L为圆周221xy上从(1,0)A到(0,1)B再到( 1,0)C的曲线段 , 则2dyLey.答: 0.7. (2,2)2(0,0)2d(3)dxy xxy.答: 2.8. 设L为直线yx从(0,0)O到(2,2)A的一段 ,则22d2dyyLexxyey.答: 42e.9*. 设L为抛物线上一段弧, 试将积分( ,

18、 )d( , )dLP x yxQ x yy化为对弧长的曲线积分 , 其中( , ),( , )P x yQ x y在L上连续 . 答: 22d14LPxQsx.10*. 设( )f x连续可导 , 且(0)0f, 曲线积分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - - ( )sind( )cos dxLf xey xf xy y与路径无关 , 则( )f x= .答: 2xxee.三、解答题1. 计算22dd2()Ly xx yxy?，其中L

19、为圆周22(1)2xy的正向 . 答:.2. 计算(24)d(536)dLxyxyxy?，其中L是顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界. 答:12.3. 计 算3222(2cos )d(12 sin3)dLxyyxxyxx yy, 其 中L为 抛 物 线22xy上由点(0,0)到,12的一段弧 . 答:24.4. 计算22()d(sin)dLxyxxyy， 其中L是 圆周22yxx上 由(0,0)到(1,1)的一段弧 .答:7sin 264.5. 证明下列曲线积分与路径无关, 并计算积分值 :(1) (2,3)(1,1)()d()dxyxxyy.答:52.(2) (2,

20、1)423(1,0)(23)d(4)dxyyxxxyy.答: 5.6. 验证下列( , )d( , )dP x yxQ x yy在整个xoy平面内是某函数( , )u x y的全微分 , 并求函数( , )u x y.(1) (2 )d(2)dxyxxyy.(2) 22ddxy xxy.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - - (3) 22(2 coscos )d(2 sinsin )dxyyxxyxxyy. 答: (1) 22222xy

21、xy; (2) 2x y ; (3)22cossinxyyx.7. 用格林公式计算223()d(2)dLxx yxxyyy，其中L是圆周22yxx上由(2,0)A到(0,0)O的一段弧 . 答:324.8. 用格林公式计算423(23)d(4)dLxyyxxxxyy，其中L是圆周21yx上由(1,0)A到( 1,0)B的一段弧 . 答:62.104 对面积的曲面积分一、选择题1. 设是xoy平面上的一个有界闭区域xyD, 则曲面积分( , , )df x y zS与二重积分( , )d dxyDf x yx y的关系是 ( ).(A)( , ,0)df x yS=( , )d dxyDf x

22、yx y;(B)( , ,0)df x yS=( , )d dxyDf x yx y;(C)( , ,0)df x yS( , )d dxyDf x yx y;(D)( , ,0)df x yS( , )d dxyDf x yx y. 答(A).2. 设是抛物面22(04)zxyz, 则下列各式正确的是( ).(A)( , , )df x y zS=22224( , ,)d dxyf x y xyx y;(B)( , , )df x y zS=222224( , ,) 14d dxyf x y xyxx y;精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

23、名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - - (C)( , , )df x y zS222224( , ,) 14d dxyf x y xyyx y;(D)( , , )df x y zS2222224( , ,) 144d dxyfx y xyxyx y. 答(D).3. 设2222:(0)xyzaz,1是在 第 一 卦 限 中 的 部 分 , 则 有( ).(A)1d4dx Sx S; (B)1d4dy Sx S;(C)1d4dz Sz S; (D)1d4dxyz Sxyz S. 答(C).4. 设是锥面22(01)zx

24、yz, 则22()dxyS( ).(A)22()dxyS21200ddrr r;(B)22()dxyS1200ddrr r;(C)22()dxyS212002ddrr; (D)22()dxyS212002ddrr r;. 答(D).5. 设为平面1234xyz在第一卦限内的部分,则42d3zxyS( ).(A)4d dxyDx y; (B)614d d3xyDx y;(C)2300614dd3xy; (D)3200614dd3xy;. 答(B).6. 设为 曲 面222()zxy在xoy平 面 上 方 的 部 分 , 则dz S( ).精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

25、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - - (A)222200d(2)drrr r; (B)222200d(2) 14drrr r;(C)22200d(2)drr r; (D)222200d(2) 14drrr r. 答(D).7. 设为球面2222xyzz, 则下列等式错误的是( ).(A)22()d0 x yzS; (B)22()d0y yzS;(C)22()d0z xyS; (D)2()d0 xy zS. 答(C).二、填空题1. 设2222: xyza, 则222()dxyzS. 答:

26、44 a.2. 设为球面2222xyza, 则222dx y zS. 答: 0.3. 设为上半球面222zaxy, 则dz S. 答: 3a.4. 设为下半球面222zaxy, 则dz S. 答: 3a.5 设为球面2222xyza, 则dz S.答: 23a.6. 设为上半球面222zaxy, 则dx S. 答: 0.7. 设为平面1232xyz在第一卦限部分,则2d3zyxS. 答: 222.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - -

27、 8. 设为平面1xyz在第一卦限部分, 则dz S. 答: 36.9. 设为平面226xyz在第一卦限部分,则(522)dxyzS. 答: 272.三、解答题1. 计算曲面积分( , , )df x y zS, 其中为抛物面222()zxy在xoy面上方部分 ,( , , )f x y z分别如下 :(1) ( , , )1f x y z; (2) 22( , , )f x y zxy; (3) ( , , )2f x y zz.答: (1) 136; (2) 14930; (3) 11110.2. 计算22()dxyS, 其中是锥面22zxy及平面1z所围成的区域的整个边界曲面.答: 12

28、2.3. 计算22()dxyS, 其中是锥面222zxy被平面0z和3z所截得的部分 .答: 9.4. 计算42d3zxyS, 其中为平面1234xyz在第一卦限中的部分 .答: 461.5. 计算()dxyzS, 其中为球面2222xyza上(0)zhha的部分 .答: 22()aah.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 105 对坐标的曲面积分一、选择题1. 设是球面2222xyza外侧 ,222:xyDxya, 则下列结论正

29、确的是 ( ).(A)2d dzx y222()d dxyDaxyx y;(B)2d dzx y2222()d dxyDaxyx y;(C)2d dzx y0; (D)(A) (B) (C)都不对 . 答(C).2. 设为柱面222xya被平面0z及3z所截得的部分外侧, 则d dd dd dz x yx y zy x z( ).(A) 3d dz x y; (B) 3d dx y z;(C) 3d dy x z0; (D)d dd dx y zy x z. 答(D).3. 设为柱面222xya被平面0z及3z所截得的部分外侧在第一卦限内的部分, 则d dd dd dz x yx y zy x

30、 z( ).(A)312003d1dyxx; (B)312002d1dzyy;(C)31200d1dzxx; (D)31200d1dzyx. 答(B).4. 设2222: xyza,2221: zaxy,取外侧 , 1取上侧 .下列结论正确的是( ).(A)12222()d dd dxyzx yax y; (B)12222()d d2d dxyzx yax y;(C)2222222()d d2d dxyaxyzx yax y; (D)0. 答(D).精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页

31、，共 22 页 - - - - - - - - - - 5. 已知为平面1xyz在第一卦限内的下侧, 则d dz x y( ).(A)1100d(1)dxxxyy; (B)1100d(1)dxxxyy;(C)1100d(1)dxyxyx; (D)1100d(1)dxyxyx. 答(A).6. 曲面积分2d dzx y在数值上等于 ( ). (A)向量2z iv穿过曲面的流量 ;(B)密度为2z的曲面的质量 ;(C)向量2z kv穿过曲面的流量 ;(D)向量2z jv穿过曲面的流量 . 答(C).二、填空题1. 设是xoy平面上的闭区域0101xy的上侧 ,则()d dxyzy z.答: 0.2

32、. 设是xoy平面上的闭区域0101xy的上侧 ,则()d dxyzx y.答: 1. 3. 设为球面2222xyza取外侧, 则222()d dxyzx y.答: 0.4. 设为球面2222xyza取外侧 , 则d dz x y.答: 343a.5. 设为 球 面2222()()()xaybzcR取 外 侧 , 则 曲 面 积 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - - d dz x y.答: 343R.6. 设为球面2222xyza

33、取外侧 , 则222()d dxyzx y.答: 0.三、解答题1. 计算22d dx y z x y, 其中是球面2222xyzR的下半部分的下侧.答: 774 26 4 224537 5 3105RR.2. 计算d dd dd dz x yx y zy z x, 其中是柱面221xy被平面0z及3z所截得的在第一卦限内的部分的前侧. 答: 32.3. 计算d dd dd dxz x yxy y zyz z x, 其中是平面0 x,0y,0z,及1xyz所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 答: 18.4*. 把对坐标的曲面积分( , , )d d( , , )d d( , , )d dP

34、 x y zy zQ x y zz xR x y zx y化成对面积的曲面积分, 其中 :(1) 是平面322 36xyz在第一卦限部分的上侧.(2) 是抛物面228()zxy在xoy面上方部分的上侧.答: (1) 322 3d555PQRS; (2) 2222d144xPyQRSxy.106 高斯公式一、选择题1. 设空间闭区域的边界是分片光滑的闭曲面围成, 取外侧，则的体积V( ).精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - - (A)1

35、d dd dd d3y y zz z xx x y; (B)1d dd dd d3x y zy z xz x y;(C)1d dd dd d3z y zz z xy x y; (D)1d dd dd d3x y zz z xy x y. 答(B).2. 设是长方体: ( , , ) 0,0,0,x y zxaybzc的整个表面的外侧, 则222d dd dd dxy zyz xzx y( ).(A)2a bc; (B)2ab c; (C)2abc; (D)()abc abc. 答(D).3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A)d d dPQRx y zxyz(coscosco

36、s )dPQRS; (B)d dd dd dP y zQ z xR x yd d dPQRx y zxyz;(C)d dd dd dP y zQ z xR x yd d dRQPx y zxyz;(D)d dd dd dP y zQ z xR x y(coscoscos )dPQRS.答(C).4. 若是空间区域的外表面 , 下述计算用高斯公式正确的是( ).(A)2d d(2 )d dxy zzyx y(22)d d dxx y z; (B)3()d d2d dd dxyzy zxy z xz x y2(321)d d dxxx y z; (C)2d d(2 )d dxy zzyz x(21

37、)d d dxx y z; (D)2d d(2 )d dxx yzyy z(22)d d dxx y z. 答(B).二、填空题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 1. 设是球面2222xyza外侧 , 则d dz x y.答: 343a.2. 设是球面2222xyza外侧, 则333d dd dd dxy zyz xzx y.答: 525a.3. 设是长方体: ( , , ) 0,0,0,x y zxaybzc的整个表面的外侧

38、, 则d dd dd dx y zy z xz x y. 答: 3abc.4. 设是长方体: ( , , ) 0,0,0,x y zxaybzc的整个表面的外侧 , 则222d dd dd dxy zyz xzx y.答: ()abc abc.5. 向量Ayzizxjxykvvvv穿过圆柱222(0)xyazh全表面流向外侧的通量. 答: 0.6. 向量2(23 )()(2 )Axz ixzy jyz kvvvv穿过球面222(3)(1)(2)9xyz流向外侧的通量. 答: 108.三、解答题1. 计算222d dd dd dxy zyz xzx y, 其中为平面0 x,0y,0z及xa,ya

39、,za所围成的立体的表面外侧. 答: 43a.2. 计算333d dd dd dxy zyz xzx y,其中为球面2222xyza外侧 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 答: 525a.3. 计算2232d d()d d(2)d dxzy zx yzz xxyy zx y,其中为上半球体222xya,2220zaxy的表面外侧 .答: 525a.4. 计算d dd dd dx y zy z xz x y,其中是界于0z和3z

40、之间的圆柱体223xy的整个表面外侧.答: 81.5. 计算24d dd dd dxz y zyz xyz x y,其中是平面0 x,0y,0z与平面1x,1y,1z所围成的立方体的全表面外侧.答: 32.6. 计算22d d(2)d dd d2zxy zzxyz xx y,其中为曲面22zxy与平面1z所围成的立体的表面外侧.答: 4.7. 计算曲面积分3333d d(2)d d()d dxy zyz xzxx y,其中为曲面22zxy与球面224zxy所围成的立体的表面外侧.答: 326(1cos2)5.8. 计算曲面积分222d dd d(1)d dxyy zzz xz xx y,其中为

41、由曲面224zxy与平面0z所围成的空间区域的整个边界表面外侧.答: 32 2161625335.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 9*. 用 Gauss 公式计算曲面积分2()d dd dzxy zz x y,其中是旋转抛物面221()2zxy介于平面0z及2z之间部分的下侧.答: 8.107 斯托克斯公式一、选择题1. 在斯托克斯定理的条件下, 下列等式不成立的是( ).(A)dddP xQ yR z?d dd dd dy

42、zz xx yxyzPQR; (B)dddP xQ yR z?coscoscosdSxyzPQR;(C)dddP xQ yR z?cos ,cos ,cosdijkSxyzPQRvvv;(D)dddP xQ yR z?d ,d ,dijkxyzxyzPQRvvv. 答(D).2. 设是从点( ,0,0)a到点(0, ,0)a再到(0,0,)a最后回到( ,0,0)a的三角形边界 (0a), 则()d()d()dzyxxzyyxz?( ).(A)23a; (B)26a; (C)22a; (D)2a. 答(A).3. 设为圆周2229,0 xyzz, 若从z轴正向看去 , 为逆时针方向 .则22

43、d3 ddy xx yzz?( ).精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - - (A); (B) 6; 9; (D) 0. 答(C).二、填空题1. 设为圆周2222,0 xyzaz, 若从z轴正向看去, 为逆时针方向.22 d2 ddy xx yzz?. 答: 0. 2. 设uxyyzzxxyz, 则(1)gradu.答: ,yzyz zxxz xyxy(2) div(grad )u.答: 0.(3) rot(grad )u.答: 0v

44、.3. 设向量场(23 )(3)(2 )Azy ixz jyx kvvvv, 则rotAv.答: 246ijkvvv.4. 设向量场22sinsin()sin(cos )Axyiyxz jxyz kvvvv,则rotAv. 答: 222 sin(cos )cos()sin(cos )cos()cos xzxyxz iyz jy zxzxy kvvv.三、解答题1. 计算dddy xz yx z?, 其中为圆周2222,0 xyzaxyz,若从z轴正向看去 , 为逆时针方向 . 答: 23 a.2*. 计算()d()d()dyzxzxyxyz?, 其中为椭圆222xya,精品资料 - - - 欢

45、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 1 (0,0)xyabab, 若从x轴正向看去 , 为逆时针方向 . 答: 22aab.3. 计算23 dddy xxz yyzz?, 其中为圆周222 ,2xyz z, 若从z轴正向看去 , 为逆时针方向 . 答: 20.4. 计算22 d3 ddy xx yzz?, 其中为圆周2229,0 xyzz, 若从z轴正向看去 , 为逆时针方向 . 答: 9.5*. 利用斯托克斯公式把曲面积分rotdA n Svv化为曲线积分, 并计算积分值 , 其中Av、及nv分别如下 :(1) 2Ay ixyjxzkvvvv,为上半球面221zxy的上侧 , nv是的单位法向量.(2) ()Ayz iyzjxzkvvvv,为( , , ) 02,02,02x y zxyz的表面外侧去掉xoy平面上的那个底面, nv是的单位法向量 .答: (1) 0. (2) 4.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - - -