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1、名师总结优秀知识点第十章曲线积分与曲面积分一、一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。三、三、内容提要1 1 曲线（面）积分的定义：（1）（1）第一类曲线积分niiiiLSfdsyxf00),(lim),(（存在时）iS表示第 i 个小弧段的长度， （ii,）是iS上的任一点小弧段的最大长度。实际意义：当 f(x,y) 表示 L 的线密度时，Ldsyxf),(表示 L 的质量；当 f(x,y) 1 时，Lds表示 L 的弧
2、长，当f(x,y) 表示位于L 上的柱面在点（x,y）处的高时，Ldsyxf),(表示此柱面的面积。（2）（2）第二类曲线积分),(),(lim10iiiniiiiLyQxPQdyPdx(存在时 ) 实际意义：设变力F=P(x,y) i+Q(x,y) j将质点从点A 沿曲线 L 移动到 B 点， 则F作的功为：LLQdyPdxSdFW，其中Sd=（dx,dy）事实上，LPdx，LQdy分别是F在沿 X 轴方向及Y 轴方向所作的功。（3）（3）第一类曲面积分niiiiiSfdszyxf10),(lim),(存在时 ) iS表示第i 个小块曲面的面积， （iii,）为iS上的任一点，是 n 块小曲
3、面的最大直径。实际意义：当 f(x,y ，z)表示曲面上点（ x,y,z）处的面密度时，dszyxf),(表示曲面的质量，当f(x,y,z) 1 时，ds表示曲面的面积。（4）（4）第二类曲面积分nixyiiiizxiiiiyziiiiSRSQSPRdxdyQdzdxPdydz10)(,()(,()(,(lim（存在时）其中yziS )(，zxiS )(，xyiS )(分别表示将任意分为 n 块小曲面后第I 块iS在 yoz 面， zox 面， xoy 面上的投影， dydz，dzdx，dxdy 分别表示这三种投影元素; （iii,）为iS上的任一点，是 n 块小曲面的最大直径。实际意义：设变
4、力),(zyxV=P(x,y，z) i+Q(x,y,z) j+ R(x,y,z) k为通过曲面的流体（稳定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页名师总结优秀知识点流动且不可压缩）在上的点（ x,y,z）处的速度。则RdxdyQdzdxPdydzSdV表示在单位时间内从的一侧流向指定的另一侧的流量。2、曲线（面）积分的性质两类积分均有与重积分类似的性质（1）（1）被积函数中的常数因子可提到积分号的外面（2）（2）对积分弧段（积分曲面）都具有可加性（3）（3）代数和的积分等与积分的代数和第二类曲线（面）积分有下面的特性，即第
5、二类曲线（面）积分与曲线（面）方向（侧）有关LLQdyPdxQdyPdxRdxdyQdzdxPdydz=RdxdyQdzdxPdydz3、曲线（面）积分的计算（1）（1）曲线积分的计算a、 a、 依据积分曲线L 的参数方程，将被积表达式中的变量用参数表示b、 b、 第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数值）作为积分下限（2）（2）曲面积分的计算方法1、 1、 第一类曲面积分的计算a 将积分曲面投向使投影面积非零的坐标面b 将的方程先化成为投影面上两变量的显函数，再将此显函数代替被积表达式中的另一变量。C 将 ds 换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素2、
6、2、 第二类曲面积分的计算a 将积分曲面投向指定的坐标面b 同 1 c 依的指定的侧决定二重积分前的“+”或“ -”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式（1）（1）格林公式DLdxdyyPxQQdyPdx)(其中 P、Q 在闭区域D 上有一阶连续偏导数，L 是 D 的正向边界曲线。若闭区域D 为复连通闭区域，P、Q 在 D 上有一阶连续偏导数，则DdxdyyPxQ)(=niLiQdyPdx1其中iL（=1，2 n）均是 D 的正向边界曲线。（2）（2）高斯公式RdxdyQdzdxPdydz=zRyPxQ(）dxdydz 其中 P、Q、R 在闭区域上有一阶连续偏导数，是 Q 的边界曲面的外侧（3
7、）（3）斯托克斯公式RQPzyxdxdydzdxdydz=RdzQdyPdx其中 P、 Q、 R 在包含曲面在内的空间区域内具有一阶连续偏导数，是以为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页名师总结优秀知识点边界的分片光滑曲面，的正向与的侧向符合右手规则。5、平面上曲线积分与路径无关的条件设 P、Q 在开单连同区域G 内有一阶连续偏导数，A、B 为 G 内任意两点，则以下命题等价：（1）ABLQdyPdx与路径 L 无关（2）对于 G 内任意闭曲线L, 0LQdyPdx(3) yPxQ在 G 内处处成立（ 4）在 G 内，
8、 Pdx+Qdy 为某函数U(x,y) 的全微分6、通量与散度、环流量与旋度设向量),(zyxA=P(x,y，z) i+Q(x,y,z) j+ R(x,y,z) k则通量（或流量）= dsnA其中n=（cos, cos, cos）为上点（ x,y,z）处的单位法向量。散度div A= yPxQ+ zR对坐标的曲面积分与的形状无关的充要条件是散度为零。旋度RQPzyxkjiArot环流量向量场A沿有向闭曲线的环流量为RdzQdyPdx=dstA四、四、难点解析本章中对S在 xoy 面上的投影（xyS)为（xyS)=0cos,00cos,)(0cos,)(xyxy其中cos为有向曲面S上各点处的法
9、向量与Z 轴的夹角余弦。xy)(为S在 xoy上投影区域的面积。此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分时正负号的选择，此规定貌似复杂，但其最基本的思想却非常简单：即基于用正负数来表示具有相反意义的量。 比如，当温度高于零度时用正数表示，当温度低于零度使用负数表示。从引进第二类曲线积分的例子看是为了求稳定流动的不可压缩的流体流向指定侧的流量。如果我们用正数来表示流体流向指定侧的流量，很自然， 当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情合理了。因此上面的规定就显得非常自然合理了。五、五、典型例题例 1、计算dsxI2：圆周02222zyxRzyx解：由轮换对成性，得精选学习资料 - -
10、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页名师总结优秀知识点dsxI2=dsy2dszI2=dszyx22231=dsR231=332R例 2、设 L：222ayx为成平面区域D,计算Ldyxdxy3333解：Ldyxdxy3333（格林公式）Ddxdyyx)(22=ardrrd02204=42a例 3、求dxdyz2，其中为曲面2222azyx的外侧。解法一、 将分为上半球面1：222yxaz和下半球面2：222yxaz120222222222222dxdyyxadxdyyxaayxayx解法二、利用高斯公式dxdyz2=)200(2222a
11、zyxz）dxdydz=0 （对称性）例 4、求曲线y=xyx2,22及xy2所围成的图形的面积。解：求曲线的交点B(1， 1)，C(32,34) 法一、定积分法则所求面积为A=1022)2(dyyy+3402)2(dyyy=6161=31法二、二重积分法设所给曲线围成的闭区域为D.则A=Dd=10222yydx+32402yydxdy=1022)2(dyyy+3402)2(dyyy=31法三、曲线积分法设所给曲线围成的图形的边界曲线为L，则A=Lxdy=OCCBBOxdyxdyxdy=102dyy+341dyy+04232dyy=3132+（32）=31例 5、计算Lxdyydx，L：从点
12、A(-R,0) 到点 B(R,0)的上半圆周222Ryx。解：法一用曲线积分与路径无关因为yPxQ1在 xoy 面上恒成立，且xQ及yP在 xoy 面上连续，所以曲线积分Lxdyydx与路径无关。于是Lxdyydx=ABxdyydx=RRdx0=0 法二、用曲线积分与路径无关，则AACBxdyydx=0 （其中 C(0,R)）法三、用曲线积分与路径无关，则Lxdyydx=)0,()0,(RRxdyydx=)0,()0,()(RRxyd=)0,()0,(RRxy=0 法四、用格林公式因为yPxQ且xQ及yP在闭曲线ACBA 上围成的闭区域D 上连续。故由格林公式得精选学习资料 - - - - -
13、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页名师总结优秀知识点AACBxdyydx=DdxdyyPxQ)(=0 于是Lxdyydx=0BAxdyydx=0法五、用定积分计算，则L 的参数方程为sincosRyRx，L 的起点 A 对应与，综点对应于0，于是Lxdyydx=0coscos)sin(sindRRRR=022cosdR=022sin21R=0 例六、计算对坐标的曲面积分dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(其中是)0222hzyxz（的下侧解：设1为平面 Z=h 被锥面222yxz所围成部分的上侧。则1)()()(dxdyyxdzdxxz
14、dydzzy=)(zRyPxQdxdydz =)000(）dxdydz=0 又1)()()(dxdyyxdzdxxzdydzzy=1)(dxdyyx=Dxydxdyyx)(=0所以原式 =11=0-0=0六曲线积分与曲面积分自测题一、一、填空： （45 分）1、Lxxdyyexxdxeyxxyxyx)2sin()sin2cos(222其中 L 为正向星形线)0(323232aayx2、L 为 xoy 面内直线x=a 上的一段，则LdxyxP)(3、设A= iyzx)(2+ jxzy)(2+ kxyz)(2，则 divA=4、dxdyzdzdxzydydzzyx)3()3()2(=其中：平面 x
15、=0,y=0,z=0,x=1,y=2,z=3所围成的立体的表面外侧。二、二、选择题（45 分）1、 1、 设A=P(x,y) i+Q(x,y) j， （x,y）D,且 P、Q 在区域 D 内具有一阶连续偏导数，又 L：BA是 D 内任一曲线，则以下4 个命题中，错误的是A 若QdydxPL与路径无关，则在D 内必有yPxQB 若LsdA与 路 径 无 关 ， 则 在D内 必 有 单 值 函 数u(x,y) ， 使 得du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy C 若在 D 内yPxQ，则必有LsdA与路径无关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
16、 - - -第 5 页，共 6 页名师总结优秀知识点D 若对 D 内有一必曲线C，恒有0QdyPdx，则QdydxPL与路径无关2、 2、 已知2)()(yxydydxayx为某函数的全微分，则a 等于A - 1 ; B 0; C 1; D 2; 3、 3、 设曲线积分dyxydxxyL)(2与路径无关，其中)(x具有连续得到数，且)(x=0，则dyxydxxy)()1 , 1()0,0(2等于A 83; B 21; C 43; D 1; 4、设空间区域由曲面222yxaz平面 z=0 围成，其中a 为正常数，记的表面外侧为 S, 的体积为V，则dxdyxyzzdzdxzxydydzyzx)1
17、(2222A 0 ; B V; C 2V; D 3V; 三、三、计算（610）1、 1、 计算 I=dsx2,其中为圆周：02222zyxRzyx2、 2、 计算曲线积分,)(222yxxdyydx其中 L 为圆周2)1(22yx，L 的方向为逆时针方向。3、 3、 计算,)sin()(22dyyxdxyxL其中 L 是在圆周22xx上点（ 0，0）到点（ 1，1）的一段弧。4、 4、 算曲面积分I=yzdxdydzdxyzdydzy4)1() 18(2其中为圆周：01xyz（)31y绕 y 轴旋转一周所生成的曲面，它的法向量与y轴正向的夹角恒大于2。5、 5、 正面（dyxyxdxxyxy)cos()sin22在整个 xoy 面上是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数u(x,y) 。6、 6、 在由点（ -2，0）到点（2，0）的曲线族y=acosx(a.0)中，求一条曲线L, 使xdydxyL23的值最小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页