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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点第十章 曲线积分与曲面积分一、一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的运算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点利用格林公式求非闭曲线上的第对曲面侧的懂得, 把对坐标的曲面积分化成二重积分,二类曲线积分,及利用高斯公式运算非闭曲面上的其次类曲面积分；三、三、内容提要1 1 曲线（面）积分的定义：（1）（1）第一类曲线积分nLfx ,y dslim 0i0fi,iS i（存在时）iS 上的任一点小弧段的最大长度；iS 表示第 i 个小弧段的长度, （i,i）是实际意义：当 fx,y 表示 L 的线密度时,Lfx ,y ds表示 L
2、 的质量；当 fx,y L1 时,Lds表示 L 的弧长,当fx,y 表示位于L 上的柱面在点（x,y）处的高时,fx,yds表示此柱面的面积；（2）（2）其次类曲线积分nLPdxQdylim 0i1Pi,ix iQi,iyi存在时 实际意义：设变力 F =Px,y i +Qx,y j 将质点从点A 沿曲线 L 移动到 B 点,就 F 作的功为：WF Ld SLPdxQdy,其中d S=（dx,dy）事实上,LPdx,LQdy 分别是 F 在沿 X 轴方向及 Y 轴方向所作的功；（3）（3）第一类曲面积分nfx,y ,z dslim 0i1fi,i,i,S i,i存在时 是 n 块小曲iS 表
3、示第 i 个小块曲面的面积, （ii）为iS 上的任一点,面的最大直径；实际意义：当 fx,y ,z表示曲面上点（ x,y,z）处的面密度时,fx ,y ,z ds表示曲面的质量,当fx,y,z 1 时,ds表示曲面的面积；（4）（4）其次类曲面积分nPdydzQdzdxRdxdylim 0i1Pi,i,iS iyzQi,i,iS izxRi,i,iS ix（存在时）其中iS yz,iS zx,iS xy分别表示将任意分为 n 块小曲面后第I 块Si在 yoz 面, zox 面, xoy 面上的投影, dydz,dzdx,dxdy 分别表示这三种投影元素; （i,i,i）为S 上的任一点,是
4、n 块小曲面的最大直径；实际意义：名师归纳总结 设变力Vx ,y,z =Px,y,z i +Qx,y,z j + Rx,y,z k 为通过曲面的流体（稳固第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点流淌且不行压缩）在上的点（ x,y,z）处的速度；就V d S Pdydz Qdzdx Rdxdy表示在单位时间内从 的一侧流向指定的另一侧的流量；2、曲线（面）积分的性质两类积分均有与重积分类似的性质（1）（1）被积函数中的常数因子可提到积分号的外面（2）（2）对积分弧段（积分曲面）都具有可加性（3）（3）代数和的积分等与积
5、分的代数和其次类曲线（面）积分有下面的特性,即其次类曲线（面）积分与曲线（面）方向（侧）有关LPdxQdyLPdxQdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy =3、曲线（面）积分的运算（1）（1）曲线积分的运算a、 a、 依据积分曲线L 的参数方程,将被积表达式中的变量用参数表示b、 b、 第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数 值）作为积分下限（2）（2）曲面积分的运算方法1、 1、 第一类曲面积分的运算 a 将积分曲面 投向使投影面积非零的坐标面 b 将 的方程先化成为投影面上两变量的显函数,再将此显函数代替 被积表达式中的另一变量；C 将 d
6、s 换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素 2、 2、 其次类曲面积分的运算a 将积分曲面投向指定的坐标面+” 或“-”b 同 1 c 依的指定的侧打算二重积分前的“4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式（1）（1）格林公式LPdxQdyDQPdxdyxy其中 P、Q 在闭区域 D 上有一阶连续偏导数,L 是 D 的正向边界曲线；如闭区域名师归纳总结 D 为复连通闭区域,P、Q 在 D 上有一阶连续偏导数,就为第 2 页,共 6 页DQPdxdy=inLiPdxQdyxy1其中iL （=1,2 n）均是 D 的正向边界曲线；（2）（2）高斯公式PdydzQdzdxRdxdy=QPR
7、）dxdydz xyz其中 P、Q、R 在闭区域上有一阶连续偏导数,是 Q 的边界曲面的外侧（3）（3）斯托克斯公式dydzdzdxdxdyxyz=PdxQdyRdzPQR其中 P、Q、R 在包含曲面在内的空间区域内具有一阶连续偏导数,是以- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 边界的分片光滑曲面,名师总结优秀学问点的正向与的侧向符合右手规章；5、平面上曲线积分与路径无关的条件 设 P、Q 在开单连同区域 G 内有一阶连续偏导数,下命题等价：（1）LABPdxQdy与路径 L 无关A 、B 为 G 内任意两点,就以3 Q（2）对于 G 内任意闭曲线L, LP
8、dxQdy0P y在 G 内到处成立x（ 4）在 G 内, Pdx+Qdy 为某函数 Ux,y 的全微分6、通量与散度、环流量与旋度设向量A x , y , z =Px,y,z i +Qx,y,z j + Rx,y,z k就通量（或流量）= A n ds其中 n =（cos , cos , cos）为 上点（ x,y,z）处的单位法向量；散度div A= QP+ R 对坐标的曲面积分与 z的外形无关的充要条件是散xy度为零；四、ijkxy为S在 xoy旋度rotAxyzPQR环流量向量场 A 沿有向闭曲线的环流量为PdxQdyRdz=Atds四、难点解析本章中对S在 xoy 面上的投影（Sxy
9、为xy,cos0（Sxy=xy,cos00 ,cos0其中 cos为有向曲面S上各点处的法向量与Z 轴的夹角余弦；上投影区域的面积；此规定直接打算了将一个其次类曲面积分化为二重积分时正负号的选择,此规定貌似复杂, 但其最基本的思想却特别简洁：即基于用正负数来表示具有相反意义的量； 比如,当温度高于零度时用正数表示,当温度低于零度使用负数表示；从引进其次类曲线积分的例子看是为了求稳固流淌的不行压缩的流体流向指定侧的流量；假如我们用正数来表示流体流向指定侧的流量,很自然, 当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情合理了；因此上面的规定就显得特别自然合理了；五、五、I典型例题：圆周x 2xy 2
10、z 2R 2x2ds例 1、运算yz0解：由轮换对成性,得名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - Ix2ds=y2dsI名师总结优秀学问点z2ds=1R2ds=2 R 332 zds =1x2y233例 2、设 L ：x2y2a2为成平面区域D,运算Ly3dxx3dyar22rdr=2 a433解：Ly3dxx3dy（格林公式）Dx2y2dxdy=402d033例 3、求z2dxdy,其中为曲面x2y2z2a2的外侧；ax2y2解法一、 将分为上半球面1：za2x2y2和下半球面2：za2x2y2dxdya2x2y2dxd
11、y012x2y2a2x2y2a2解法二、利用高斯公式2z dxdy = 0 0 2 z ）dxdydz=0 （对称性）x 2 y 2 z 2 a 22 2 2例 4、求曲线 y= x , y 2 x 及 y x 所围成的图形的面积；解：求曲线的交点 B1, 1,C 3 2 , 3 4 法一、定积分法 就所求面积为12 y 2 3 4 y 21 1 1A= 0 y2 dy + 0 y2 dy =6 6 =3法二、二重积分法 设所给曲线围成的闭区域为 D.就A=D d = 0 1y dx + y2 20 3 4dy y2 2 ydx = 0 1 y 2 y2 2 dy + 0 3 4 y y2 2
12、 dy = 13法三、曲线积分法 设所给曲线围成的图形的边界曲线为 L ,就A= Lxdy= O B xdyB C xdyC O xdy = 0 1y 2dy + 1 3 4y dy + 3 04 y2 2dy1 2 2 1= +（）=3 3 3 32 2 2例 5、运算L ydx xdy,L：从点 A-R,0 到点 BR,0 的上半圆周 x y R；解：法一 用曲线积分与路径无关由于 Q1 P在 xoy 面上恒成立,且 Q 及 P 在 xoy 面上连续,所以曲线积分x y x yL ydx xdy 与路径无关；R于是L ydx xdy =AB ydx xdy = Rdx =0 法二、用曲线积
13、分与路径无关,就ACBAydxxdy=0 （其中 C0,R）法三、用曲线积分与路径无关,就Lydxxdy=R,0ydxxdy=R,0dxy = xy R ,0=0 R,0R,0R ,0法四、用格林公式由于QP且Q 及 xP 在闭曲线 ACBA 上围成的闭区域 yD 上连续；故由格林公式xy得名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - ACBAydxxdy=DQ名师总结优秀学问点Pdxdy=0 xy于是Lydxxdy=0BAydxxdy=00cos2d=法五、用定积分运算,就L 的参数方程为xR cos,L 的起点 A 对应与,
14、综点对应于0 ,于是yR sinLydxxdy=0 RsinRsinRcosRcosd=R22 1 0R sin 2 =0 2例六、运算对坐标的曲面积分h的下侧yz dydzzx dzdxxy dxdy其中是z2x22y（0z解：设1为平面 Z=h 被锥面z2x2y2所围成部分的上侧；就1yz dydzzx dzdxxydxdy=QPRdxdydz xyzdxdy=0= 000 ）dxdydz=0 又yzdydzzx dzdxxydxdy=xydxdy=xy11Dxy所以原式 =0-0=011六曲线积分与曲面积分自测题一、一、填空： （4 5 分）2 2 x 2 x1、L x y cos x
15、2 xy sin x y e dx x sin x 2 ye dy2 2 2其中 L 为正向星形线 x 3 y 3 a 3 a 0 2、L 为 xoy 面内直线 x=a 上的一段,就 L P x y dx2 2 23、设 A= x yz i + y xz j + z xy k,就 div A =4、 x y 2 z dydz 3 y z dzdx z 3 dxdy =其中：平面 x=0,y=0,z=0,x=1,y=2,z=3 所围成的立体的表面外侧；二、二、挑选题（4 5 分）1、 1、 设 A=Px,y i +Qx,y j ,（x,y）D,且 P、Q 在区域 D 内具有一阶连续偏导数,又 L
16、 ：A B 是 D 内任一曲线,就以下 4 个命题中,错误选项A 如L P dx Qdy 与路径无关,就在 D 内必有 Qx PyB 如L A d s 与 路 径 无 关 , 就 在 D 内 必 有 单 值 函 数 ux,y , 使 得dux,y=Px,ydx+Qx,ydy 名师归纳总结 C 如在 D 内QP,就必有L Ad s与路径无关第 5 页,共 6 页xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - D 如对 D 内有一必曲线名师总结优秀学问点0,就LP dxQdy与路径无关C,恒有PdxQdy2、 2、 已知 x ay dx ydy 为某函数的全微分,就
17、 a 等于 x y 2A - 1 ; B 0; C 1; D 2; 3、 3、 设曲线积分 L xy 2dx y x dy 与路径无关,其中 x 具有连续得到数,且 1,1 2x =0,就 0 , 0 xy dx y x dy等于A 3; B 1 ; C 3 ; D 1; 8 2 42 2 24、设空间区域 由曲面 z a x y 平面 z=0 围成,其中 a 为正常数,记 的表面外侧为 S, 的体积为 V,就 x 2 yz 2 dydz xy 2 z 2 dzdx z 1 xyz dxdyA 0 ; B V; C 2V; D 3V; 三、三、运算（6 10）2 2 2 2x y z R21、
18、 1、 运算 I= x ds ,其中 为圆周：x y z 02、 2、 运算曲线积分 ydx2 xdy2 , 其中 L 为圆周 x 1 2y 2 2,L 的方向为逆2 x y 时针方向；3、 3、 运算Lx2y dxxsin2y dy ,其中 L 是在圆周2xx2上点（ 0,0）到点（ 1,1）的一段弧；4、 4、 算曲面积分名师归纳总结 I= 8y1dydzz 1y2 dzdx4yzdxdy第 6 页,共 6 页zy1其中为圆周：x0（1y3 绕 y 轴旋转一周所生成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角恒大于2；5、 5、 正面（xy2ysinxdxx2ycosx dy在整个 xoy 面上是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数ux,y ；6、 6、 在由点（ -2,0）到点（2,0）的曲线族y=acosxa.0中,求一条曲线L, 使Ly3dx2 xdy的值最小；- - - - - - -