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1、可分离变量的微分方程及其应用可分离变量的微分方程及其应用主讲人主讲人 李海燕李海燕数学计算机科学系授课内容知识点回顾提出问题引例建模定义解法 解决问题练习一、知识点回顾 常微分方程的形式 通解与特解 常微分方程的定义二、提出问题 怎样求解一阶微分方程呢？（难难！） 什么是可分离变量的微分方程呢？初等积分法分离变量法分离变量法常数变易法恰当因子法参数法降阶法三、引例建模 故事梗概 直到20年后，1967年卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了真假名画问题。 范. 梅格伦（Van Meegren）“伪造”17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer（维米尔）的名画卖给纳粹分子。 思路2 原理：
2、著名物理学家卢瑟夫（Rutherford） 指出，物质的放射性（衰变率）正比 于现存物质的原子数 。1 分析：油画中不可缺少的颜料之一白铅，具有放 射性，其应用已有2000余年，白铅的成分 中包含了少量的镭（Ra226）和少量的放 射性铅（Pb210） 。 我们看下元素衰变示意图 。3 建立微分方程： 设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t), y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r 。则：00)(ytyrydtdy四、可分离变量微分方程的定义定义： 若一阶显式或微分形式方程可分别写成)()(21yfxfdxdy （1） 0)()()()(2121dyyNxNdx
3、yMxM（2） 均连续其中)(),();(),();(),(212121yNxNyMxMyfxf则称：(1)和(2)为变量可分离方程。 五、可分离变量微分方程的解法 积分法 隐式通解（通积分） 变量分离)()(21yfxfdxdy以方程（1）为例：例例 解初值问题0d)1(d2yxxyx 1)0(y六、解决问题经验：矿石中铀的最大含量可能 2-3%，若白铅 中铅210每分钟衰变超过3万个原子，则矿 石中含铀量超过4% 。 处理：分析铅210的衰变率，与当时矿物质中放 射性物质含量比较，来判别画的真伪 。建模： 设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t)，y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数
4、量,镭元素的衰变率为常数r 。)(0)(001)(tttteyerty则:衰变率： 1)()()(000tttteretyy其中 , y(t), r均容易测出。00)(ytyrydtdy画名画名钋钋210210衰变原子数衰变原子数（每克每分钟（每克每分钟）镭镭226226衰变原子数衰变原子数（每克每分钟）（每克每分钟）EmmausEmmaus的信徒们的信徒们8.50.82洗足洗足12.60.26读乐谱的妇人读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人做花边的人1.51.4欢笑的女孩欢笑的女孩5.26.03000 tt222ln111503002e 1)()()
5、(000tttteretyy 1)(300300erety 128 . 025 . 81115011150假设：第一幅画是真品，则假设：第一幅画是真品，则 铅210每分钟每克衰变数值不合理，因此为赝品。 min/30000min/98050个个同理可判别其他画的真伪。结论：小结：小结：1.可分离变量的微分方程及其解法2.可分离变量的微分方程的建模应用1cos02xyxydxdy1.解方程:七、练习2.古尸年代鉴定问题:在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作C14年代测定，分析表明，与C12的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年
6、前?Thank you for your attention Thank you for your attention ！微分方程:含自变量及其导数的方程常微分方程:自变量的个数只有一个偏微分方程:自变量的个数大于等于两个back显式： 0),()(nyyyxF 或 隐式：),()1()(nnyyyxfyback 通解：解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相等，通常形式为：),(21ncccxy),(21ncccxy),(21ncccxy 特解：满足初始条件的解，其中初始条件为：)1(00)1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxyback矿石中元素衰变示意图： 铀238镭226铅
7、210钋210铅206T=45亿年T=1600年T=22年T=138天白铅backback2C14年代测定：年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素C14，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度,这意味着在活体中，C14的数量与稳定的C12的数量成定比，生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少。back设t时刻的原子数为 y(t)，则有ydtdy为物质的衰变常数。back设t时刻的原子数为 y(t)，则有ydtdy00yytt为物质的衰变常数。初始条件)(00)(tteytyyytt00ln1半衰期21lnTback解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y(*)rydtdy将变量分离，化成：(*)(dtrydyback