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1、9.2一阶微分方程一阶微分方程n n最基本的微分方程是一阶微分方程。最基本的微分方程是一阶微分方程。n n一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0或或y=f(x,y),其中其中F(x,y,y)是是x,y,y的已知函数；的已知函数；f(x,y)是是x,y的已知函数。的已知函数。1一、可分离变量方程一、可分离变量方程n n分离变量方程：分离变量方程：可分离变量的微分方程：通过适当变可分离变量的微分方程：通过适当变形，能够转化为分离变量方程形，能够转化为分离变量方程解法解法分离变量法分离变量法为微分方程的解为微分方程的解.2例题讲解例题讲解例例例例1 1 1 1 求解微分
2、方程求解微分方程求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分3例题讲解例题讲解n n例例例例2 2 2 2 求解微分方程求解微分方程求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分4例题讲解例题讲解n n例例例例3 3 3 3 求解微分方程求解微分方程求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分5二、齐次微分方程二、齐次微分方程的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.解齐次方程的基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程解齐次方程的基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程解齐次方程的基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程解齐次方程的基本思路：将齐次方
3、程转化为分离变量方程解齐次方程的基本方法：变量变换法解齐次方程的基本方法：变量变换法解齐次方程的基本方法：变量变换法解齐次方程的基本方法：变量变换法具体解法：具体解法：作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程6齐次微分方程的解齐次微分方程的解7例题讲解例题讲解n n例：求齐次微分方程例：求齐次微分方程例：求齐次微分方程例：求齐次微分方程8例题讲解（续）例题讲解（续）n n分离变量方程：分离变量方程：9例题讲解例题讲解n n例：例：10例题讲解例题讲解例：例：例：例：求解微分方程求解微分方程求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解为微分方程的解为11三、一阶线性微分方
4、程三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式的标准形式的标准形式上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.12一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法(1)(1)线性齐次方程线性齐次方程线性齐次方程线性齐次方程(使用分离变量法使用分离变量法)齐次方程的通解为齐次方程的通解为13解法解法(2)(2)线性非齐次方程线性非齐次方程线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比14例题讲解例题讲解n n例：例：解解15