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1、可分离变量微分方程ppt课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设设 y (x)是方程是方程的解的解,两边积分两边积分,得得 则有恒等式则有恒等式 当当G(y)与与F(x)可微可微 G(y)g(y)0,时时,由由确定的隐函数确定的隐函数 y(x)是是的解的解.则有则有称称为方程为方程的的隐式通解隐式通解,或或通积分通积分.同样同样,当当F(x)=f(x)0 时时,上述过程可逆上述过程可逆,由由确定的隐函数确定的隐函
2、数 x(y)也也是是的解的解.例例1.求微分方程求微分方程的通解的通解.解解:分离变量得分离变量得两边积分两边积分得得即即(C 为任意常数为任意常数)或或说明说明:在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形,因此可能增、因此可能增、减解减解.(此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y=0)例例2.解初值问题解初值问题解解:分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C=1,(C 为任意常数为任意常数)故所求特解为故所求特解为例例3.求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:解解:令令 则则故有故有即即解得解得(C 为任意常数为任意
3、常数)所求通解所求通解:练习练习:解法解法 1 分离变量分离变量即即(C 0 )解法解法 2故有故有积分积分(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:例例4.子的含量子的含量 M 成正比成正比,求在求在衰变过程中铀含量衰变过程中铀含量 M(t)随时间随时间 t 的变化规律的变化规律.建模建模:相关变量相关变量,有有:(初始条件初始条件)已知已知 t=0 时铀的含量为时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原时间时间铀含量铀含量问题问题,求求:条件条件:解解:根据题意根据题意,有有(初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量,即即利用初始
4、条件利用初始条件,得得故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为然后积分然后积分:M 成正比成正比,求在求在衰变过程中铀含衰变过程中铀含量量M(t)随时间随时间 t 的变化规律的变化规律.已知已知 t=0 时铀的含量为时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子的含量子的含量 例例4.例例5.成正比成正比,求求并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系.建模建模:相关变量相关变量
5、,有有:(初始条件初始条件)时间时间,下落速度下落速度问题问题,求求:条件条件:根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律力力解解:根据牛顿第二定律列方程根据牛顿第二定律列方程初始条件为初始条件为对方程分离变量对方程分离变量,然后积分然后积分:得得利用初始条件利用初始条件,得得代入上式后化简代入上式后化简,得特解得特解t 足够大时足够大时成正比成正比,求求并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系.例例5.例例6.有高有高 1m 的半球
6、形容器的半球形容器,水从它的底部小孔流出水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中从小孔流出过程中,水面的高度水面的高度 h 随时间随时间 t 的变的变化规律化规律.求水求水小孔横截面积小孔横截面积建模建模,相关变量相关变量,有有:时间时间,体积体积问题问题,求求:条件分析条件分析:高度高度由水力学知由水力学知,水从孔口流出的流量为水从孔口流出的流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积即即(1)重力加速度重力加速度解解:设在设在内水面高度由内水面高度由 h 降到降到 对应下降体积对应下降体积(1)(2)综合综合(1)与与(2)式式,得得:微量分析微量
7、分析 列方程列方程因此得微分方程定解问题因此得微分方程定解问题:将方程分离变量将方程分离变量:两端积分两端积分,得得利用初始条件利用初始条件,得得因此容器内水面高度因此容器内水面高度 h 与时间与时间 t通解通解有下列关系有下列关系:内容小结内容小结1.可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分分离变量后积分;根据定解条件定常数根据定解条件定常数.(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1)根据几何关系列方程根据几何关系列方程(如如:P263,5(2)2)根据物理规律列方程根据物理规律列方程(如如:
8、例例4,例例 5)3)根据微量分析列方程根据微量分析列方程(如如:例例6)2.解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解求通解,并根据定解条件确定特解并根据定解条件确定特解.作业作业 P 269 1(1)(5)(7)(10);2(3)(4);4;5课堂练习课堂练习课堂练习参考答案课堂练习参考答案课堂练习参考答案课堂练习参考答案备用题备用题1 已知曲线积分已知曲线积分与路径无关与路径无关,其其中中求由求由确定的隐函数确定的隐函数解解:因积分与路径无关因积分与路径无关,故有故有即即因此有因此有备用题备用题2 求下列方程的通解求下列方程的通解:提示提示:(1)分离变量分离变量(2)方程变形为方程变形为