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1、第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程及其解法一、可分离变量的微分方程及其解法 二、典型例题二、典型例题 一、可分离变量的微分方程及其解法一、可分离变量的微分方程及其解法 1、 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程转化转化 xxfyygd)(d)()()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22（一阶）（一阶） 2、分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设函数 g(y) 和函数 f (x) 是连续的 dxxfdyyg)()()(yG)(xFCxFyG)()(则(1) 分离变量分离变量 将方程整理为 (2) 两
2、边积分两边积分 说明：在微分方程这说明：在微分方程这一章，不定积分表示一章，不定积分表示被积函数的一个原函被积函数的一个原函数，而把积分所带来数，而把积分所带来的任意常数用一个的任意常数用一个C表示表示. .（隐式通解（隐式通解, 或通积分）或通积分） 二、典型例题二、典型例题 例1. 求微分方程求微分方程xyxy2dd的通解的通解.解解:xxyyd2d当y0时，分离变量得两边积分xxyyd2d得12lnCxy即12Cxey21xCee2xeC)(1CeC( C 为任意常数 )另外， y = 0也是方程的解，0所以，原方程的通解为2xeCy 例2. 解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx
3、解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y 例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:通过适当变量代换可化为可分离可分离变量变量的微分方程 练习练习 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy分离变量方程变形为yxysi
4、ncos2Cxysin22tanln提示提示: 例4. 子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意, 有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量, MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始条件, 得0MC 故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:td)(已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原衰变系数衰变系数 例例5.5.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)(ln1gmkC代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)1 (tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. kmgv t 足够大时 作作 业业P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6 ; 7