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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第03讲_正方形的性质与判定知识图谱错题回顾顾题回顾正方形知识精讲一正方形的定义有一组邻边相等、一个内角是的平行四边形叫做正方形二正方形的性质1正方形的四条边都相等，四个角都是直角；2正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质3正方形是轴对称图形，对称轴有4条三正方形的判定1有一组邻边相等的矩形是正方形；2有一个角是直角的菱形是正方形；3对角线互相垂直的矩形是正方形；4对角线相等的菱形是正方形；5对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；6四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形四
2、弦图模型如图1，RtDCERtCAF；如图2，RtBAERtCBF三点剖析一考点：1正方形的性质；2正方形的判定；3弦图模型二重难点：正方形性质的应用和判定；弦图模型三易错点：正方形、矩形、菱形性质与判定的区别题模精讲题模一：性质例1.1.1如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E若CBF=20，则AED等于度【答案】65【解析】正方形ABCD，AB=AD，BAE=DAE，在ABE与ADE中，ABEADE（SAS），AEB=AED，ABE=ADE，CBF=20，ABE=70，AED=AEB=1804570=65，例1.1.2如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O
3、，ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（）A4B3C2+D【答案】C【解析】过点M作MFAC于点F，如图所示MC平分ACB，四边形ABCD为正方形，CAB=45，FM=BM在RtAFM中，AFM=90，FAM=45，AM=2，FM=AMsinFAM=AB=AM+MB=2+例1.1.3如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）Aa2Ba2Ca2Da2【答案】D【解析】过E作EPBC于点P，EQCD于点Q，四边形ABCD
4、是正方形，BCD=90，又EPM=EQN=90，PEQ=90，PEM+MEQ=90，三角形FEG是直角三角形，NEF=NEQ+MEQ=90，PEM=NEQ，AC是BCD的角平分线，EPC=EQC=90，EP=EQ，四边形PCQE是正方形，在EPM和EQN中，EPMEQN（ASA）SEQN=SEPM，四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，正方形ABCD的边长为a，AC=a，EC=2AE，EC=a，EP=PC=a，正方形PCQE的面积=aa=a2，四边形EMCN的面积=a2，故选：D例1.1.4如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边B
5、C于点G，连接AG（1）求证：ABGAFG；（2）求BG的长【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，D=B=BCD=90，将ADE沿AE对折至AFE，AD=AF，DE=EF，D=AFE=90，AB=AF，B=AFG=90，又AG=AG，在RtABG和RtAFG中，ABGAFG（HL）；（2）ABGAFG，BG=FG，设BG=FG=x，则GC=6x，E为CD的中点，CE=EF=DE=3，EG=3+x，在RtCEG中，32+（6x）2=（3+x）2，解得x=2，BG=2题模二：判定例1.2.1已知四边形ABCD是平行四边形，再从AB=BC，ABC
6、=90，AC=BD，ACBD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A选B选C选D选【答案】B【解析】本题考查了正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形A、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能
7、得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意故选：B例1.2.2如图，是的垂直平分线，交于点，过点作，垂足分别为、（1）求证：；（2）若，求证：四边形是正方形【答案】见解析【解析】（1）是的垂直平分线，又（2），即，四边形AEMF是矩形，又CAB=DAB，MEAC，MFAD，矩形是正方形例1.2.3如图，ABC中，已
8、知BAC=45，ADBC于D，BD=2，DC=3，求AD的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）证明：由题意可得：ABDABE，ACDACF（1分）DAB=EAB，DAC=FAC，又BAC=45EAF=90（3分）又ADBC，E=ADB=90，F=ADC=90（4分）又AE=AD，AF=
9、AD，AE=AF（5分）四边形AEGF是正方形（6分）（2）设AD=x，则AE=EG=GF=x，（7分）BD=2，DC=3，BE=2，CF=3BG=x-2，CG=x-3（9分）在RtBGC中，BG2+CG2=BC2（x-2）2+（x-3）2=52（11分），（x-2）2+（x-3）2=52，化简得，x2-5x-6=0解得x1=6，x2=-1（舍），所以AD=x=6（12分）题模三：弦图例1.3.1如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BFa于点F，DEa于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为_【答案】13【解析】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质实际上
10、，此题就是将EF的长度转化为与已知长度的线段DE和BF数量关系根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得AFBAED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF=DE、BF=AE，所以EF=AF+AE=13ABCD是正方形（已知），AB=AD，ABC=BAD=90；又FAB+FBA=FAB+EAD=90，FBA=EAD（等量代换）；BFa于点F，DEa于点E，在RtAFB和RtAED中，AFBAED（AAS），AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等），EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13故答案为：13例1.3.2如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两
11、点作，作BM于M，DN于N，直线MB、ND分别交于Q、P求证：四边形PQMN是正方形【答案】见解析【解析】，BM，DN，四边形PQMN为矩形， ，又，RtABMRtDAN（HL），同理，即四边形PQMN是正方形随堂练习随练1.1如图，在正方形ABCD的外侧，作等边ADE，则BED的度数是_.【答案】45【解析】四边形ABCD是正方形，AB=AD，BAD=90等边三角形ADE，AD=AE，DAE=AED=60BAE=BAD+DAE=90+60=150，AB=AE，AEB=ABE=（180BAE）2=15，BED=DAEAEB=6015=45.随练1.2如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F
12、分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为_ABCD3【答案】B【解析】此题考查了折叠的性质、正方形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用正方形纸片ABCD的边长为3，C=90，BC=CD=3，根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF，设DF=x，则EF=EG+GF=1+x，FC=DC-DF=3-x，EC=BC-BE=3-1=2，在RtEFC中，EF2=EC2+FC2，即（x+1）2=22+（3-x）2，解得：x=，DF=，EF=1+=故选B随练1.3如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D
13、在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A2.5BCD2【答案】B【解析】如图，连接AC、CF，正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，AC=，CF=3，ACD=GCF=45，ACF=90，由勾股定理得，AF=2，H是AF的中点，CH=AF=2=故选：B随练1.4如图，矩形中，点从向以每秒个单位的速度运动，以为一边在的右下方作正方形，同时垂直于的直线也从向D以每秒个单位的速度运动，当经过_秒时，直线和正方形开始有公共点？【答案】【解析】过点作于点，在正方形中，在和中，当直线和正方形开始有公共点时：，解得：故当经过秒时直线和正方形开始有公共点随练1.5如图，
14、四边形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF与BC交于点G（1）求证：AE=CF；（2）若ABE=55，求EGC的大小【答案】（1）见解析（2）80【解析】本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得AEBCFB，找出相等的线段（1）利用AEBCFB来求证AE=CF（2）利用角的关系求出BEF和EBG，EGC=EBG+BEF求得结果（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC=90，AB=BC，BEBF，FBE=90，ABE+EBC=90，CBF+EBC=90，ABE=CBF，在AEB和CFB中，AEBCFB（SAS），AE=CF（2）解：BEBF，FBE=90
15、，又BE=BF，BEF=EFB=45，四边形ABCD是正方形，ABC=90，又ABE=55，EBG=90-55=35，EGC=EBG+BEF=45+35=80随练1.6如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分ACD交BD于点E，则DE=_【答案】-1 【解析】过E作EFDC于F，四边形ABCD是正方形，ACBD，CE平分ACD交BD于点E，EO=EF，在RtCOE和RtCFE中，RtCOERtCFE（HL），CO=FC，正方形ABCD的边长为1，AC=，CO=AC=，CF=CO=，EF=DF=DC-CF=1-，DE=-1，另法：因为四边形ABCD是正方形，ACB=45=DB
16、C=DAC，CE平分ACD交BD于点E，ACE=DCE=22.5，BCE=45+22.5=67.5，CBE=45，BEC=67.5，BE=BC，正方形ABCD的边长为1，BC=1，BE=1，正方形ABCD的边长为1，AC=，DE=-1，故答案为：-1随练1.7如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是_ABC=ACBCFBFCBD=DFDAC=BF【答案】D【解析】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键根据中垂线的性
17、质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可EF垂直平分BC，BE=EC，BF=CF，BF=BE，BE=EC=CF=BF，四边形BECF是菱形；当BC=AC时，ACB=90，则A=45时，菱形BECF是正方形A=45，ACB=90，EBC=45EBF=2EBC=245=90菱形BECF是正方形故选项A正确，但不符合题意；当CFBF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符
18、合题意；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意故选：D随练1.8如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE（1）求证：BE=CE（2）求BEC的度数【答案】（1）证明见解析；（2）30【解析】（1）证明：四边形ABCD为正方形AB=AD=CD，BAD=ADC=90三角形ADE为正三角形AE=AD=DE，EAD=EDA=60BAE=CDE=150在BAE和CDE中，BAECDEBE=CE；（2）AB=AD，AD=AE，AB=AE，ABE=AEB，又BAE=150，ABE=AEB=15，同理：CED=15BEC=60152=30随练1.9如图，在
19、正方形ABCD中，边长AB=3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90到EF，连接CF（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；（2）当BAE=30时，求CF的长【答案】（1）见解析（2）【解析】主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运用，题目的综合性较强，难度中等（1）过点F作FGBC于点G，易证ABEEGF，所以可得到AB=EG，BE=FG，由此可得到FCG=45，即CF平分DCG，所以CF是正方形ABCD外角的平分线；（2）首先可求出BE的长，即FG的长，再在RtCFG中，利用cos45即可求出CF的长（1）证明：过
20、点F作FGBC于点GAEF=B=90，1=2在ABE和EGF中，ABEEGF（AAS）AB=EG，BE=FG又AB=BC，BE=CG，FG=CG，FCG=45，即CF平分DCG，CF是正方形ABCD外角的平分线（2）AB=3，BAE=30，tan30=，BE=ABtan30=3，即CG=在RtCFG中，cos45=，CF=自我总结 课后作业作业1如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且BAE=22.5，EFAB，垂足为F，则EF的长为（）A1BC42D34【答案】C【解析】在正方形ABCD中，ABD=ADB=45，BAE=22.5，DAE=90BAE=9022.5=67.5，在A
21、DE中，AED=1804567.5=67.5，DAE=AED，AD=DE=4，正方形的边长为4，BD=4，BE=BDDE=44，EFAB，ABD=45，BEF是等腰直角三角形，EF=BE=（44）=42作业2如图，已知正方形ABCD，沿直线BE将折起，使点A落在对角线BD上的处，连结，则（ ）A45B60C67.5D75【答案】C【解析】该题考查的是正方形的性质和图形的对称四边形ABCD为正方形，正方形ABCD，沿直线BE将折起，使点A落在对角线BD上的处，作业3如图，将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点，分别是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积之和是（ ）ABCD【答案】B【解析】由
22、题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即；个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为；个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：故答案为B选项作业4以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值_【答案】【解析】四边形CDEF是正方形，OCD=ODB=45，COD=90，OC=OD，AOOB，AOB=90，COA+AOD=90，AOD+DOB=90，COA=DOB，在COA和DOB中，COADOB（ASA），OA=OB，AOB=90，AOB是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB=OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂
23、线段最短，OACD时，OA最小，正方形CDEF，FCCD，OD=OF，CA=DA，OA=CF=1，即AB=，故答案为：作业5如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点若CEF的周长为18，则OF的长为【答案】【解析】CE=5，CEF的周长为18，CF+EF=185=13F为DE的中点，DF=EFBCD=90，CF=DE，EF=CF=DE=6.5，DE=2EF=13，CD=12四边形ABCD是正方形，BC=CD=12，O为BD的中点，OF是BDE的中位线，OF=（BCCE）=（125）=作业6如图：已知在ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，
24、过点D作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F（1）求证：BEDCFD；（2）若A=90，求证：四边形DFAE是正方形【答案】见解析【解析】证明：（1）DEAB，DFAC，BED=CFD=90AB=AC，B=CD是BC的中点，BD=CDBEDCFD（2）DEAB，DFAC，AED=AFD=90A=90，四边形DFAE为矩形BEDCFD，DE=DF四边形DFAE为正方形作业7如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：BE=DF，DAF=15，AC垂直平分EF，BE+DF=EF，S CEF=2S ABE其中正确结论有_个【答案】4【解析】A
25、B=BC=CD=AD，B=BCD=D=BAD=90AE=EF=AF，EAF=60BAE+DAF=30在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BE=DF（故正确）BAE=DAF，DAF+DAF=30，即DAF=15（故正确），BC=CD，BC-BE=CD-DF，即CE=CF，AE=AF，AC垂直平分EF（故正确）设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60=EFsin60=2CGsin60=x，AC=，AB=，BE=-x=，BE+DF=x-xx，（故错误），S CEF=，S ABE=，2S ABE=S CEF，（正确）综上所述，正确的有4个作业8在ABC中
26、，BAC=90，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：AFC=ACB+DAC；（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出AFC、ACB、DAC的关系，并结合图2给出证明；（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出AFC、ACB、DAC的关系式【答案】(1) AFC=ACB-DAC,证明见解析（2）AFC+DAC+ACB=180【解析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，熟练掌握判定及性质是解本题的关键（1）关系：AFC=ACB-DAC，（2分）证明：四边形ADEF为正方形，AD=AF，FAD
27、=90，BAC=90，FAD=90，BAC+CAD=FAD+CAD，即BAD=CAF，（3分）在ABD和ACF中，ABDACF（SAS），（4分）AFC=ADB，ACB是ACD的一个外角，ACB=ADB+DAC，（5分）ADB=ACB-DAC，ADB=AFC，AFC=ACB-DAC；（6分）（2）AFC、ACB、DAC满足的关系式为：AFC+DAC+ACB=180，（8分）证明：四边形ADEF为正方形，DAF=90，AD=AF，又BAC=90，DAF=BAC，DAF-BAF=BAC-BAF，即DAB=FAC，在ABD和ACF中，ABDACF（SAS），ADB=AFC，在ADC中，ADB+ACB
28、+DAC=180，则AFC+ACB+DAC=180作业9在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F（1）依题意补全图1；若PAB=20，求ADF的度数；（2）若设PAB=a，且0a90，求ADF的度数（直接写出结果，结果可用含a的代数式表示）（3）如图2，若45PAB90，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明【答案】（1）如图1所示：ADF=25；（2）ADF=45（3）EF2+FD2=2AB2证明如图3，连接AE、BF、BD，由对称可知，EF=BF，AE=AB=AD，ABF=AEF=ADF，BFD=BAD=90，在R
29、tBDF中，BF2+FD2=BD2，在RtABC中，BD=AB，EF2+FD2=2AB2【解析】（1）如图1所示：如图2，连接AE，由对称得，PAB=PAE=20，AE=AB=AD，四边形ABCD是正方形，BAD=90，EAP=BAP=20，EAD=130，ADF=25；（2）如图2，连接AE，由对称得PAB=PAE=，AE=AB=AD，四边形ABCD是正方形，BAD=90，EAP=BAP=，EAD=90+2，ADF=45（3）如图3，连接AE、BF、BD，由对称可知，EF=BF，AE=AB=AD，ABF=AEF=ADF，BFD=BAD=90，在RtBDF中，BF2+FD2=BD2，在RtABC中，BD=AB，EF2+FD2=2AB226