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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲_切线的性质和判定知识图谱错题回顾顾题回顾切线的性质和判定知识精讲一切线的性质1.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心二切线的判定1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；2.距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线4.切线的证明方法思路一：证明直线与圆有且只有一个公共点思路二：若已知条件中不知直线与圆是否有公共点，则过圆心向直线作垂线段，证明
2、垂线段长（）等于半径（）思路三：若已知直线与圆的公共点，则连接这点与圆心的半径，证明此半径垂直于直线三切线长1切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫这点到圆的切线长2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角如图，由可得：，即：是的平分线四三角形的内切圆1三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形2直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、分别为中、的对边，面积为，则内切圆半径为，其中若，则三点剖析一考点：切线的性质与判定二重难点：切线的证明与求解相
3、关线段长度三易错点：1.切线性质：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心过圆心，过切点垂直于切线过圆心，过切点，则；过圆心，垂直于切线过切点过圆心，则过切点；过切点，垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心2.切线的判定定理的题设是：“经过半径外端”；“垂直于半径”，两个条件缺一不可题模精讲题模一：切线的性质例1.1.1如图，AB是O的弦，AC是O切线，A为切点，BC经过圆心若B=20，则C的大小等于（）A20B25C40D50【答案】D【解析】如图，连接OA，AC是O的切线，OAC=90，OA=OB，B=OAB=20，AOC=40，C=50例1.1.2如图，两同心圆的大圆半径
4、长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是_【答案】8cm【解析】AB是O切线，OCAB，AC=BC，在RtBOC中，BCO=90，OB=5，OC=3，BC=4（cm），AB=2BC=8cm例1.1.3如图，AB是O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分ACD（1）求证：CD是O的切线；（2）若AC=2，BD=3，求AB的长【答案】（1）见解析；（2）2【解析】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质，难度一般（1）证明：过O点作OECD，垂足为E，AC是O的切线，OAAC
5、，CO平分ACD，OECD，OA=OE，CD是O的切线（2）过C点作CFBD，垂足为F，AC，CD，BD都是O的切线，AC=CE=2，BD=DE=3，CD=CE+DE=5，CAB=ABD=CFB=90，四边形ABFC是矩形，BF=AC=2，DF=BD-BF=1，在RtCDF中，CF2=CD2-DF2=52-12=24，AB=CF=2题模二：切线的判定例1.2.1如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）A相离B相交C相切D不能确定【答案】C【解析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定欲
6、求圆与AB的位置关系，关键是求出点C到AB的距离d，再与半径r2.5cm进行比较若dr，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离圆的半径是8cm，圆心到直线的距离也是8cm，直线与圆相切故选C例1.2.2已知AB是O的直径，CD是O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，过B作BFCD，交AC的延长线于点F，求证：BF是O的切线【答案】见解析【解析】证明：AB是O的直径，CD是O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，ABCD，BFCD，BFAB，BF是O的切线例1.2.3已知如图，以RtABC的AC边为直径作O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的
7、中点，连接EF（1）求证：EF是O的切线；（2）若O的半径为3，EAC=60，求AD的长【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）如图1，连接FO，F为BC的中点，AO=CO，OFAB，AC是O的直径，CEAE，OFAB，OFCE，OF所在直线垂直平分CE，FC=FE，OE=OC，FEC=FCE，0EC=0CE，ACB=90，即：0CE+FCE=90，0EC+FEC=90，即：FEO=90，FE为O的切线；（2）如图2，O的半径为3，AO=CO=EO=3，EAC=60，OA=OE，EOA=60，COD=EOA=60，在RtOCD中，COD=60，OC=3，CD= ，在RtACD中，ACD=90，
8、CD=，AC=6，AD=例1.2.423（10分）（2015福州）如图，RtABC中，C=90，AC=，tanB=，半径为2的C，分别交AC，BC于点D，E，得到（1）求证：AB为C的切线；（2）求图中阴影部分的面积【答案】（1）证明：过点C作CHAB于H，如图，在RtABC中，tanB=，BC=2AC=2，AB=5，CHAB=ACBC，CH=2，C的半径为2，CH为C的半径，而CHAB，AB为C的切线；（2）解：S阴影部分=SACBS扇形CDE=25=5题模三：切线长定理例1.3.1如图，AB、AC切O于B、C，AO交O于D，过D作O切线分别交AB、AC于E、F，若，则AEF的周长是（ ）C
9、OFAEDBA10B12C14D16【答案】D【解析】该题考查的是切线的性质，勾股定理，切线长定理利用切线长定理得到，利用勾股定理求得AB的长后即可求得AEF的周长，,AB、AC切O于B、C，AO交O于D，过D作O切线分别交AB、AC于E、F，故选D例1.3.2如图，O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，点P是优弧上异于E、H的点若A=50，则EPH=_【答案】65 【解析】如图，连接OE，OH，O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，OEA=OHA=90，又A=50，EOH=360-OEA-OHA-A=360-90-90-50=130，又EPH和EOH分别是所对的圆周角
10、和圆心角，EPH=EOH=130=65故答案为：65例1.3.3如图，四边形ABCD是O的内接正方形，AB=4，PC、PD是O的两条切线，C、D为切点（1）如图1，求O的半径；（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作AMN=90，交直线CP于点N，求证：AM=MN【解析】（1）如图1，连接OD，OC，PC、PD是O的两条切线，C、D为切点，ODP=OCP=90，四边形ABCD是O的内接正方形，DOC=90，OD=OC，四边形DOCP是正方形，AB=4，ODC=OCD=45，DO=CO=DCs
11、in45=4=2；（2）如图1，连接EO，OP，点E是BC的中点，OEBC，OCE=45，则E0P=90，EO=EC=2，OP=CO=4，PE=2；（3）证明：如图2，在AB上截取BF=BM，AB=BC，BF=BM，AF=MC，BFM=BMF=45，AMN=90，AMF+NMC=45，FAM+AMF=45，FAM=NMC，由（1）得：PD=PC，DPC=90，DCP=45，MCN=135，AFM=180BFM=135，在AFM和CMN中，AFMCMN（ASA），AM=MN题模四：三角形的内切圆例1.4.1若等腰直角三角形的外接圆半径的长为，则其内切圆半径的长为（ ）ABCD【答案】C【解析】等
12、腰直角三角形外接圆半径为，此直角三角形的斜边长为2，两条直角边分别为2，它的内切圆半径为：R=（2+22）=2例1.4.2如图，O是ABC的内心，过点O作EFAB，与AC、BC分别交E、F，则_AEFAE+BFBEFAE+BFCEF=AE+BFDEFAE+BF【答案】C【解析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键连接OA，OB，O是ABC的内心，OA、OB分别是CAB及ABC的平分线，EAO=OAB，ABO=FBO，EFAB，AOE=OAB，BOF=ABO，EAO=AOE，FBO=BOF，AE=OE，OF=BF，EF=AE+BF故选C例1.4.
13、3已知：如图，等边内接于圆，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使，连接CD（1）若AP过圆心O，如图（1），请你判断是什么三角形？并说明理由;（2）若AP不过圆心O，如图（2），又是什么三角形？为什么？【答案】（1）为等边三角形；见解析（2）仍为等边三角形；见解析【解析】（1）如图（1），为等边三角形.理由如下：为等边三角形在圆中，又过圆心O，为等边三角形；（2）如图（2），仍为等边三角形.理由如下：为等边三角形在圆中，又，为等边三角形例1.4.4如图，已知，线段，若点A在y轴上滑动，点B随着线段AB在射线x轴上滑动，（A、B与O不重合），RtAOB的内切K分别与OA、OB、AB切
14、于E、F、P（1）在上述变化过程中：RtAOB的周长，K的半径，AOB外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么？并简要说明理由；（2）当时，求K的半径r；【答案】（1）AOB的外接圆半径（2）【解析】该题考查的是圆综合（1）不会发生变化的是AOB的外接圆半径，AB是AOB的外接圆的直径AB的长不变，即AOB的外接圆半径不变（2）设K的半径为r，K与y轴、x轴相切于E、F、P，连EK、KF，四边形EOFK是矩形，又四边形EOFK是正方形，（不符合题意），随堂练习随练1.1如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则PCA=（）A30B45C60D67.5【答案】D
15、【解析】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OCPD，然后进行计算求出PCA的度数根据图形利用切线的性质，得到COD=45，连接AC，ACO=22.5，所以PCA=90-22.5=67.5如图，PD切O于点C，OCPD，又OC=CD，COD=45，AO=CO，ACO=22.5，PCA=90-22.5=67.5故选D随练1.2如图，在O中，M是弦AB定的中点，过点B作O的切线，与OM延长线交于点C（1）求证：A=C；（2）若OA=5，AB=8，求线段OC的长【答案】（1）见解析（2）【解析】本题考查了切线的性质、等腰三角形三线合一定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理解题的关键是连接OB，
16、构造直角三角形（1）由于OA=OB，可知A=OBM，又M是AB中点，利用等腰三角形三线合一定理可知OCAB，即可得C+CBM=90，而BC是切线可得OBM+CBM=90，即A+CBM=90，利用等角的余角相等可得A=C；（2）由（1）得C=OBM，OBC=OMB=90，易证OMBOBC，即可得OB：OC=OM：OB，而BM=AB=4，根据勾股定理可求OM，进而可求OC如图所示，（1）证明：连接OB，BC是切线，OBC=90，OBM+CBM=90，OA=OB，A=OBM，M是AB的中点，OMABC+CBM=90，C=OBM，A=C；（2）C=OBM，OBC=OMB=90，OMBOBC，=，又BM
17、=AB=4，OM=52-42=3，OC=随练1.3如图，点A、B、C在同一条直线上，点P在以BC为直径的O上，连结PA、PB、PC，AB=BP=（1）求证：AP是O的切线；（2）如果O的直径是4cm，求PC的长度【答案】（1）证明见解析；（2）2cm【解析】（1）如图所示：连接OP，AB=BP=BC，BC为直径，AB=BP=BO，BAP=BPA，BPO=BOP，BAP+BPA+BPO+BOP=180，BPA+BPO=90，点P在O上，AP是O的切线；（2）BC为直径，BC=4cm，BPC=90，BP=BC，BP=2，在RtBPC中，由勾股定理得：PC=2，PC的长度为2cm随练1.4如图，以A
18、BC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC（1）求证：AC是O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：连结OA、OD，如图，D为BE的下半圆弧的中点，ODBE，D+DFO=90，AC=FC，CAF=CFA，CFA=DFO，CAF=DFO，而OA=OD，OAD=ODF，OAD+CAF=90，即OAC=90，OAAC，AC是O的切线；（2）解：圆的半径R=5，EF=3，OF=2，在RtODF中，OD=5，OF=2，DF=随练1.5如图，已知直线PA交O于A、
19、B两点，AE是O的直径,点C为O上一点，且AC平分，过C作，垂足为D。(1)求证：CD为O的切线；(2)若，O的直径为10，求线段AC的长。【答案】（1）见解析（2）【解析】该题考查的是圆综合（1）连接OC 1分 点C在O上， ， ，有 AC平分PAE， 1分 点C在O上，OC为O的半径， CD为O的切线 2分（2）连结CE AE是O的直径， 又 , 3分 又 , 4分设在RtACE中，由勾股定理知, 解得 5分随练1.6如图，是的直径，（1）求证：是的切线；（2）若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）易证即是的切线；（2）过作于，通过解三角形和勾股
20、定理可求得，则随练1.7如图，AB是O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切O于E，交AM于D，交BN于C若ADBC=9，则直径AB的长为（）A3B6C9D【答案】B【解析】如图，连接OCAM和BN是它的两条切线，AMAB，BNAB，AMBN，ADE+BCE=180DC切O于E，ODE=ADE，OCE=BCE，ODE+OCE=90，DOC=90，AOD+COB=90，AOD+ADO=90，AOD=OCB，OAD=OBC=90，AODBCO，OA2=ADBC=9，OA=3，AB=2OA=6随练1.8如图，RtABC中，C=90，AC=6，BC=8则ABC的内切圆半径r=_【答案】2【解析】如图
21、；在RtABC，C=90，AC=6，BC=8；根据勾股定理AB=10；四边形OECF中，OE=OF，OEC=OFC=C=90；四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；CE=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（6+8-10）=2随练1.9阅读下列材料并回答问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名他在度量一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称海伦公式我国南宋数学家秦九韶（约1202约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：下面
22、我们对公式进行变形：=这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称为海伦秦九韶公式问题：如图，在ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，O内切于ABC，切点分别是D、E、F（1）求ABC的面积；（2）求O的半径【答案】（1）16；（2）【解析】（1）AB=13，BC=12，AC=7，p=16，=24；（2）ABC的周长l=AB+BC+AC=32，S=lr=24，r=自我总结 课后作业作业1如图，AB是O的切线，切点为B，AO交O于点C，D是优弧BC上一点，则D为（）A25B30C35D45【答案】B【解析】AB是O的切线，ABOB，ABO=90，A=30，AOB=90A=60，
23、D=AOB=30故选B作业2如图，点A、B在O上，直线AC是O的切线，OCOB，连接AB交OC于点D（1）AC与CD相等吗？为什么？（2）若AC=2，AO=，求OD的长度【答案】（1）AC=CD（2）1【解析】（1）AC=CD，理由为：OA=OB，OAB=B，直线AC为圆O的切线，OAC=OAB+DAC=90，OBOC，BOC=90，ODB+B=90，ODB=CDA，CDA+B=90，DAC=CDA，则AC=CD；（2）在RtOAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，解得：OD=1作业3如图，O是ABC
24、的内切圆，切点分别是D、E、F，已知A=100，C=30，则DFE的度数是（）A55B60C65D70【答案】C【解析】A=100，C=30，B=50，BDO=BEO，DOE=130，DFE=65作业4如图8，O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作O的切线，切点为C，连结AC（1）若，求PC的长；（2）若点P在AB的延长线上运动，的平分线交AC于点M你认为的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的大小【答案】（1）（2）【解析】该题考查的是圆的切线的计算（1）连结OC，1分PC为O的切线，所以 2分（2）的大小没有变化3分 4分 5分作业5如图，在平面直角坐标系中，
25、以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交点A，点P（4，2）是O外一点，连接AP，直线PB与O相切于点B，交x轴于点C（1）证明PA是O的切线；（2）求点B的坐标；（3）求直线AB的解析式【答案】（1）见解析；（2）（，-）；（3）y=-2x+2【解析】（1）证明：以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交点A，OA=2，P（4，2），APx轴，y轴x轴，APOA，OA为半径，PA是O的切线；（2）解：设B（x，y），OB=2，x2+y2=22，P（4，2），PA和PB都是O切线，PA=PB=4，42=（x-4）2+（y-2）2，解由组成的方程组得：x=0，y=2（舍去）或x=，y=-，B的坐标是（，-）；
26、（3）解：OA=2，A（0，2），设直线AB的解析式是y=kx+2，把B的坐标代入得：-=k+2，k=-2，即直线AB的解析式是y=-2x+2作业6如图，PA、PB分别切O于A、B，连接PO、AB相交于D，C是O上一点，C=60（1）求APB的大小；（2）若PO=20cm，求AOB的面积【答案】（1）60（2）25【解析】1）PA、PB分别切O于A、B，OAPA，OBPB，PAO=PBO=90，C=60，AOB=2C=260=120，APB=360-PAO-PBO-AOB=60；（2）PA、PB分别切O于A、B，PAO=PBO=90，APO=APB=60=30，PA=PB，P在AB的垂直平分线
27、上，OA=OB，O在AB的垂直平分线上，即OP是AB的垂直平分线，即ODAB，AD=BD=AB，PAO=90，AOP=60，在RtPAO中，AO=PO=20=10（cm），在RtAOD中，AD=AOsin60=10=5（cm），OD=OAcos60=10=5（cm），AB=2AD=10cm，AOB的面积为：ABOD=105=25（cm2）作业7如图，RtABC的内切圆O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若O的半径为r，则RtMBN的周长为（）ArBrC2rDr【答案】C【解析】连接OD、OE，O是RtABC的内切圆，ODAB，OEBC，ABC=90，ODB=DBE=OEB=90，四边形ODBE是矩形，OD=OE，矩形ODBE是正方形，BD=BE=OD=OE=r，O切AB于D，切BC于E，切MN于P，MP=DM，NP=NE，RtMBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r，故选C