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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲_矩形的性质与判定知识图谱错题回顾顾题回顾矩形知识精讲一矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形二矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有此外，它还具有以下性质：1矩形的四个角都是直角；2对角线相等3是轴对称图形，对称轴是边的垂直平分线三矩形的判定1有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；2对角线相等的平行四边形是矩形；3有三个角是直角的四边形是矩形四直角三角形的性质直角三角形斜边中线等于斜边的一半三点剖析一考点：1性质；2判定；3直角三角形的性质
2、二重难点：矩形的性质；矩形的判定；直角三角形斜边中线等于斜边的一半三易错点：1矩形的对角线大小相等，不一定互相垂直2四边形两个角是直角，不一定是矩形题模精讲题模一：性质例1.1.1如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB=60，AB=2，则矩形的对角线AC的长是（）A2B4C2D4【答案】B【解析】因为在矩形ABCD中，所以AO=AC=BD=BO，又因为AOB=60，所以AOB是等边三角形，所以AO=AB=2，所以AC=2AO=4故选B例1.1.2如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C处，折痕为EF，若EFC=125，那么ABE的度数为_A15B20C25D3
3、0【答案】B【解析】由折叠的性质知，BEF=DEF，EBC、BCF都是直角，BECF，EFC+BEF=180，又EFC=125，BEF=DEF=55，在RtABE中，可求得ABE=90-AEB=20故选B例1.1.3如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A、D处，则整个阴影部分图形的周长为_【答案】36cm【解析】延长A1E交CD于点G，由题意知，GE=EH，FH=GF，四边形EHD1A1四边形EGDA，AD=A1D1，AE=A1E，DG=D1H，FH=FG，阴影部分的周长=矩形的周长=
4、（12+6）2=36cm例1.1.4如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E（1）求证：DCEBFE；（2）若CD=2，ADB=30，求BE的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）ADBC，ADB=DBC，根据折叠的性质ADB=BDF，F=A=C=90，DBC=BDF，BE=DE，在DCE和BFE中，DCEBFE；（2）在RtBCD中，CD=2，ADB=DBC=30，BC=2，在RtBCD中，CD=2，EDC=30，DE=2EC，（2EC）2EC2=CD2，CE=，BE=BCEC=题模二：判定例1.2.1若顺次连接四边形ABCD各边的中点所
5、得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A矩形B菱形C对角线互相垂直的四边形D对角线相等的四边形【答案】C【解析】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据
6、三角形中位线定理得：EHFGBD，EFACHG；四边形EFGH是矩形，即EFFG，ACBD，故选C例1.2.2如图，在ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将ADE绕点E旋转180得CFE，则四边形ADCF一定是（）A矩形B菱形C正方形D梯形【答案】A【解析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角是平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角
7、形三线合一的性质求出ADC=90，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答ADE绕点E旋转180得CFE，AE=CE，DE=EF，四边形ADCF是平行四边形，AC=BC，点D是边AB的中点，ADC=90，四边形ADCF矩形故选A例1.2.3如图所示，ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF（1）求证：D是BC的中点；（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）平行四边形AFBD是矩形【解析】（1）证明：AFBC，AFE=DCE，点E为AD的中点，AE=DE，在AEF和DEC中，
8、AEFDEC（AAS）；（2）解：若AB=AC，则四边形AFBD是矩形理由如下：AEFDEC，AF=CD，AF=BD，CD=BD；AFBD，AF=BD，四边形AFBD是平行四边形，AB=AC，BD=CD，ADB=90，平行四边形AFBD是矩形例1.2.4已知：如图，D是ABC的边AB上一点，CNAB，DN交AC于点M，MA=MC求证：CD=AN；若AMD=2MCD，求证：四边形ADCN是矩形【答案】证明见解析【解析】证明：CNAB，DAC=NCA，在AMD和CMN中，AMDCMN（ASA），AD=CN，又ADCN，四边形ADCN是平行四边形，CD=AN；AMD=2MCD，AMD=MCD+MDC
9、，MCD=MDC，MD=MC，由知四边形ADCN是平行四边形，MD=MN=MA=MC，AC=DN，四边形ADCN是矩形题模三：直角三角形斜边中线等于斜边的一半例1.3.1如图，在ABC中，BF平分ABC，AFBF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A2B3C4D5【答案】B【解析】AFBF，AFB=90，AB=10，D为AB中点，DF=AB=AD=BD=5，ABF=BFD，又BF平分ABC，ABF=CBF，CBF=DFB，DEBC，ADEABC，=，即，解得：DE=8，EF=DEDF=3，例1.3.2如图，中，在上，为之中点，、相交于，
10、且若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】，随堂练习随练1.1如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A3B3.5C2.5D2.8【答案】C【解析】EO是AC的垂直平分线，AE=CE，设CE=x，则ED=AD-AE=4-x，在RtCDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4-x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5故选C随练1.2如图，ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（）A20B12C14D13【答案】C【解析】AB=AC，AD平
11、分BAC，BC=8，ADBC，CD=BD=BC=4，点E为AC的中点，DE=CE=AC=5，CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14故选C随练1.3如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_【答案】28 【解析】由勾股定理，得AB=6，将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2（6+8）=28故答案为：28随练1.4如图，四边形ABCD的对角线ACBD，垂足为O，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形EFGH是矩形【答案】证明见解析【
12、解析】如图，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，EH、FG分别是ABD、BCD的中位线，EF、HG分别是ACD、ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EFAC，GHAC且EF=AC，GH=AC四边形EFGH是平行四边形又ACBD，EFFG四边形EFGH是矩形随练1.5在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分DAB，过C点作CEBD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：AF=FH；BO=BF；CA=CH；BE=3ED正确的是（）ABCD【答案】D【解析】AB=1，AD=，BD=AC=2，OB=OA=OD=OC=1OB=OA=OD=OC=AB=CD=1，OAB，OC
13、D为等边三角形AF平分DAB，FAB=45，即ABF是一个等腰直角三角形BF=AB=1，BF=BO=1FAB=45，CAH=45-30=15ACE=30（正三角形上的高的性质）AHC=15，CA=CH，由正三角形上的高的性质可知：DE=OD2，OD=OB，BE=3ED故选D随练1.6如图，四边形的对角线、相交于点，已知下列个条件：；则不能使四边形成为矩形的是（ ）ABCD【答案】C【解析】考察平行四边形的判定定理，答案为C选项随练1.7如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC，DEAF，垂足是E，连接DF求证：（1）ABFDEA；（2）DF是EDC的平分线【答案】见解析【解析】本
14、题考查了矩形性质，全等三角形的性质和判定，平行线性质等知识点，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，（1）根据矩形性质得出B=90，AD=BC，ADBC，推出DAE=AFB，求出AF=AD，根据AAS证出即可；（2）有全等推出DE=AB=DC，根据HL证DEFDCF，根据全等三角形的性质推出即可证明：（1）四边形ABCD是矩形，B=90，AD=BC，ADBC，DAE=AFB，DEAF，DEA=B=90，AF=BC，AF=AD，在DEA和ABF中，DEAABF（AAS）；（2）证明：由（1）知ABFDEA，DE=AB，四边形ABCD是矩形，C=90，DC=AB，DC=DEC
15、=DEF=90在RtDEF和RtDCF中RtDEFRtDCF（HL）EDF=CDF，DF是EDC的平分线随练1.8如图，在ABCD中，ABD的平分线BE交AD于点E，CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD（1）求证：ABECDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）在ABCD中，AB=CD，A=CABCD，ABD=CDBABE=ABD，CDF=CDBABE=CDFABECDF（ASA）（2）ABECDF，AE=CF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，DEBF，DE=BF，四边形DFBE是平行四边形，AB=DB，
16、BE平分ABD，BEAD，即DEB=90平行四边形DFBE是矩形随练1.9如图所示，在中，为中点，分别延长、到点、，使过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、求证：（1）；（2）【答案】见解析【解析】（1）且，且， ，又已知，从而（2）由（1）可知，则由可得而、均为等腰三角形，所以自我总结 课后作业作业1下列关于矩形的说法中正确的是（）A对角线相等的四边形是矩形B矩形的对角线相等且互相平分C对角线互相平分的四边形是矩形D矩形的对角线互相垂直且平分【答案】B【解析】A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的
17、四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；作业2矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EFFM，则EM的长为_A5B5C6D6【答案】B【解析】过E作EGCD于G，四边形ABCD是矩形，A=D=90，又EGCD，EGD=90，四边形AEGD是矩形，AE=DG，EG=AD，EG=AD=BC=7，MG=DG-DM=3-2=1，EFFM，EFM为直角三角形，在RtEGM中，EM=5故选B作业3如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点
18、A重合，则AF长为（）AcmBcmCcmD8cm【答案】B【解析】设AF=xcm，则DF=（8x）cm，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，DF=DF，在RtADF中，AF2=AD2+DF2，x2=62+（8x） 2，解得：x=（cm）故选：B作业4如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A+1BCD【答案】A【解析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，ODOE+DE，当O、D、
19、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，AB=2，BC=1，OE=AE=AB=1，DE=，OD的最大值为：+1故选：A作业5如图，BCEADF在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点若点F在线段DE上，且，则的度数为_【答案】【解析】该题考查的是三角形中位线和直角三角形斜边上的中线，分别是，的中点，是的中位线，分的中点，的度数，故答案为作业6如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转到BEFG位置，H是EG的中点，若，则线段CH的长_DCABFEHG【答案】【解析】该题考查的是中位线定理过点H作于点M，将ABCD绕点B顺时针旋转到GBEF位置，HM/BE，H是EG
20、的中点，在RtCHM中，所以该题的答案是作业7如图，在ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MNBC，交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F（1）求证：OC=EF；（2）当点O位于AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？并给出证明【答案】（1）见解析（2）当点O位于AC边的中点时，四边形AECF是矩形【解析】本题考查的是平行线，角平分线，平行四边形及矩形的判定与性质，是一道有一定的综合性的好题（1）由于CE平分ACB，MNBC，故BCE=OEC=OCE，OE=OC，同理可得OC=OF，故0C=EF；（2）根据平行四边形的判定定理可知，当OA=OC时，四边形AECF是平行四边
21、形由于CE、CF分别是ECO与OCF的平分线，故ECF是直角，则四边形AECF是矩形证明：（1）CE平分ACB，BCE=OCE，MNBC，BCE=OEC，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OC=OE=OF，故0C=EF；（2）当点O位于AC边的中点时，四边形AECF是矩形由（1）知OE=OF，又O为AC边的中点，OA=OC，四边形AECF是平行四边形，ECO=ACB，OCF=ACD，ECF=ECO+OCF=（ACB+ACD）=90，四边形AECF是矩形作业8已知：如图，在中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF（1）求证：；（2）若，求证：四边形ABFC是矩形ABCDEF【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】该题考查的是全等三角形和矩形（1）如图1， 四边形ABCD是平行四边形，AB/DC，点E是BC的中点，在ABE和FCE中，ABEFCE（AAS），（2）ABEFCE，AB/FC，四边形ABFC是平行四边形四边形ABCD是平行四边形，四边形ABFC是矩形作业9如图，直角三角形ABC中，点D、E分别是AC、BC的中点，则DE和BD的长分别为（ ）ABCDEA2和5B15和5C15和25D2和25【答案】C【解析】该题考察的是勾股定理三角形ABC为直角三角形，且理，又点D、E分别是AC、BC的中点， ，故答案是C21