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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲_菱形的性质与判定知识图谱错题回顾顾题回顾菱形知识精讲一菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形二菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有此外，它还具有以下性质：1菱形的四条边都相等；2菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角3是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线三菱形的判定1有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；2对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3四条边都相等的四边形是菱形四面积问题如下图：三点剖析一考点：1菱形的性质；2菱形的判定；3面
2、积问题二重难点：菱形的性质和应用，菱形的证明与判定三易错点：矩形和菱形性质的区别题模精讲题模一：性质例1.1.1如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且A=EDF=60，有下列结论：AE=BF；DEF是等边三角形；BEF是等腰三角形；ADE=BEF，其中结论正确的个数是_A3B4C1D2【答案】D【解析】连接BD，四边形ABCD是菱形，AD=AB，ADB=ADC，ABCD，A=60，ADC=120，ADB=60，同理：DBF=60，即A=DBF，ABD是等边三角形，AD=BD，ADE+BDE=60，BDE+BDF=EDF=60，ADE=BDF，在ADE和BDF中，ADEBDF（ASA），D
3、E=DF，EDF=60，EDF是等边三角形，正确；DEF=60，AED+BEF=120，AED+ADE=180-A=120，ADE=BEF；故正确ADE=BDF，同理：BDE=CDF，但ADE不一定等于BDE，AE不一定等于BE，故错误；ADEBDF，AE=BF，同理：BE=CF，但BE不一定等于BF故错误故选D例1.1.2如图，在菱形ABCD中，BAD=80，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则CDF等于（）A50B60C70D80【答案】B【解析】如图，连接BF，在菱形ABCD中，BAC=BAD=80=40，BCF=DCF，BC=CD，BAD=80，ABC=180-B
4、AD=180-80=100，EF是线段AB的垂直平分线，AF=BF，ABF=BAC=40，CBF=ABC-ABF=100-40=60，在BCF和DCF中，BCFDCF（SAS），CDF=CBF=60故选B例1.1.3已知四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F（1）求证：AOECOF；（2）若EOD=30，求CE的长【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形，AO=CO，ADBC，OAE=OCF，在AOE和COF中，AOECOF（ASA）；（2）BAD=60，DAO=BAD=60=30，EOD=3
5、0，AOE=90-30=60，AEF=180-DAO-AOE=180-30-60=90，菱形的边长为2，DAO=30，OD=AD=2=1，AO=，AE=CF=，菱形的边长为2，BAD=60，高EF=2=，在RtCEF中，CE=题模二：判定例1.2.1如图，在ABCD中，添加下列条件不能判定ABCD是菱形的是（）AAB=BCBACBDCBD平分ABCDAC=BD【答案】D【解析】四边形ABCD是平行四边形，A、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得ABCD是菱形，故本选项正确；B、当ACBD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得ABCD是菱形，故本选项正确；C、当BD
6、平分ABC时，易证得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得ABCD是菱形，故本选项正确；由排除法可得D选项错误故选D例1.2.2如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足一个条件，是（ ）A四边形是梯形B四边形是菱形C对角线D【答案】D【解析】在四边形中，分别是的中点，；同理，四边形是平行四边形；A、若四边形是梯形时，则，这与平行四边形的对边相矛盾；故本选项错误；B、若四边形是菱形时，点四点共线；故本选项错误；C、若对角线时，四边形可能是等腰梯形，证明同选项；故本选项错误；D、当时，；所以平行四边形是菱形；故本选项正确故答案为D选项例1.2.3如图在A
7、BC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分BAC，分别于BC、CD交于E、F，EHAB于H连接FH，求证：四边形CFHE是菱形【答案】见解析【解析】证明：ACB=90，AE平分BAC，EHAB，CE=EH，在RtACE和RtAHE中，AE=AE，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，AE平分CAB，CAF=HAF，在CAF和HAF中CAFHAF（SAS），ACD=AHF，CDAB，ACB=90，CDA=ACB=90，B+CAB=90，CAB+ACD=90，ACD=B=AHF，FHCE，CDAB，EHAB，CFEH，四边形CFHE是平行四边形，CE=EH，四边形CFHE是菱形例1.2.4已知：
8、如图，在ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点0（1）求证：ABECDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什幺特殊四边形？请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）菱形【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，BAE=DCF，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，AE=CF，DE=BF，四边形BEDF是平行四边形，OB=OD，DG=BG，EFBD，四边形BEDF是菱形题模三
9、：面积问题例1.3.1已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是43，则这个菱形的面积是（ ）A12cm2B24cm2C48cm2D96cm2【答案】B【解析】该题考查的是菱形的性质四边形ABCD是菱形四边形ABCD四边长相等，且对角线互相垂直且平分，该菱形周长为20cm它的每个边长为5cm两条对角线的比是由勾股定理，算出，两平分线长度分别为6cm，8cm；菱形面积故本题答案为B5cm3k4kBOACD例1.3.2如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6若过点A作AEBC，垂足为E，则AE的长为_A4BCD5【答案】C【解析】连接BD，交AC于O点，AB=BC=CD=AD=5，AC
10、BD，AO=AC，BD=2BO，AOB=90，AC=6，AO=3，B0=4，DB=8，菱形ABCD的面积是ACDB=68=24，BCAE=24，AE=随堂练习随练1.1如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OHAB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）A2BCD【答案】D【解析】四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，BO=3，AO=4，AOBO，AB=5OHAB，AOBO=ABOH，OH=，故选D随练1.2如图，菱形ABCD中，于点E，且，连接FC，则的度数为_度.ACBDEOF【答案】15【解析】，CDF是等腰直角三角形，随练1.3如图，在菱形
11、ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO若DAC=28，则OBC的度数为（）A28B52C62D72【答案】C【解析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得AMOCNO，可得AO=CO，然后可得BOAC，继而可求得OBC的度数四边形ABCD为菱形，ABCD，AB=BC，MAO=NCO，AMO=CNO，在AMO和CNO中，AMOCNO（ASA），AO=CO，AB=BC，BOAC，BOC=90，DAC=28，BCA=DAC=28，OBC=90-28=62故选：C随
12、练1.4已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F（1）求证：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长【答案】（1）见解析（2）16【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形，BAC=DAC又EFAC，AC是EM的垂直平分线，AE=AM，AE=AM=AB=AD，AM=DM（2）解：ABCD，AEM=F又FMD=AME，AME=AEM，FMD=F，DFM是等腰三角形，DF=DM=ADAD=4菱形ABCD的周长是16随练1.5如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC，CEBD求证：四边形OCED是菱形【答案】见解析【解析】此题
13、主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论证明：DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形，四边形ABCD是矩形，OC=OD，四边形OCED是菱形随练1.6若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是_A矩形B等腰梯形C对角线相等的四边形D对角线互相垂直的四边形【答案】C【解析】如图，根据题意得：四边形
14、EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，EF=FG=CH=EH，BD=2EF，AC=2FG，BD=AC原四边形一定是对角线相等的四边形故选：C随练1.7如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长【答案】（1）见解析（2）5【解析】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，A=90，MDO=NBO，DMO=BNO，在DMO和BNO中，DMOBNO（AAS），OM=ON，OB=OD，四边形BMDN是平行四边形，MNBD，平行四边形BMDN
15、是菱形（2）四边形BMDN是菱形，MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在RtAMB中，BM2=AM2+AB2即x2=（8-x）2+42，解得：x=5，答：MD长为5随练1.8如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为（）A 48B 96C 80D 192【答案】B【解析】四边形ABCD是菱形，ACBD，OA=AC，在RtAOB中，BO=6，则BD=2BO=12，故S菱形ABCD=ACBD=96故选B随练1.9如图，边长为1的菱形ABCD中，则菱形ABCD的面积是_，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形，使；连接，再以为边作第三个菱形，使；，按此规律所
16、作的第n个菱形的面积为_ABCD【答案】；【解析】该题考查的是找规律边长为1的菱形ABCD中，则菱形ABCD的面积是，经计算得，第一个图形面积是，第二个是，第三个是，则第n个图像的面积是自我总结 课后作业作业1将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB=3，则BC的长为_A1B2CD【答案】D【解析】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用根据题意可知，AC=2BC，B=90，所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，从而可求得BC的长AC=2BC，B=90，AC2=AB2+BC2，（2BC）2=32+BC2，BC=故选D作业2如图
17、所示，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是（）A14B28C6D10【答案】D【解析】如图：作EEBD交BC于E，连接EF，则EF就是HE+HF的最小值，E、F分别是边AB、AD的中点，EFAB，而由已知可得AB=10，HE+HF的最小值为10作业3如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2=_【答案】36 【解析】如右图，连接EF，FG，GH，EH，E、H分别是AB、DA的中点，EH是ABD的中位线，EH=BD=3，同理可得EF，FG，G
18、H分别是ABC，BCD，ACD的中位线，EF=GH=AC=3，FG=BD=3，EH=EF=GH=FG=3，四边形EFGH为菱形，EGHF，且垂足为O，EG=2OE，FH=2OH，在RtOEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9，等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=94=36，（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36故答案为：36作业4如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是【答案】17 2 【解析】如图，菱形的周长最大，设菱形的边长AC=x，则AB=4-x，在
19、RtABC中，AC2=AB2+BC2，即x2=（4-x）2+12，解得x=，所以，菱形的最大周长=4=故答案为：作业5如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是_【答案】-1 【解析】如图所示：MA是定值，AC长度取最小值时，即A在MC上时，过点M作MFDC于点F，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M为AD中点，2MD=AD=CD=2，FDM=60，FMD=30，FD=MD=，FM=DMcos30=，MC=，AC=MC-MA=-1故答案为：-1作业6如图，在ABC中，D是BC边的中
20、点，E、F分别在AD及其延长线上，CEBF，连接BE、CF（1）求证：BDFCDE；（2）若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）CEBF，ECD=FBD，DEC=DFB；又D是BC的中点，即BD=DC，BDFEDC；（AAS）（2）AB=AC，ABC是等腰三角形；又BD=DC，ADBC（三线合一），由（1）知：BDFEDC，则DE=DF，DB=DC；四边形BFCE是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）作业7如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的
21、一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：四边形CFHE是菱形；EC平分DCH；线段BF的取值范围为3BF4；当点H与点A重合时，EF=2以上结论中，你认为正确的有_个A1B2C3D4【答案】C【解析】FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，FHCG，EHCF，四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，四边形CFHE是菱形，（故正确）；BCH=ECH，只有DCE=30时EC平分DCH，（故错误）；点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，在RtABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8-x）2，解得x=3，点G与点D重合时，CF=CD=
22、4，BF=4，线段BF的取值范围为3BF4，（故正确）；过点F作FMAD于M，则ME=（8-3）-3=2，由勾股定理得，EF=2，（故正确）；综上所述，结论正确的有共3个故选：C作业8如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG菱形ABCD，连接EB，GD（1）求证：EB=GD；（2）若DAB=60，AB=2，AG=，求GD的长【答案】（1）见解析（2）【解析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等（1）证明：菱形AEFG菱形ABCD，EAG=BAD，EAG+GAB=BAD+GAB，EAB=G
23、AD，AE=AG，AB=AD，AEBAGD，EB=GD；（2）解：连接BD交AC于点P，则BPAC，DAB=60，PAB=30，BP=AB=1，AP=，AE=AG=，EP=2，EB=，GD=作业9已知，ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）以AD为边作菱形ADEF，使DAF=60，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：ADB=AFC；请直接判断结论AFC=ACB+DAC是否成立；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论AFC=ACB+DAC是否成立？请写出AFC、ACB、DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D在边C
24、B的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出AFC、ACB、DAC之间存在的等量关系【答案】见解析【解析】（1）证明：ABC为等边三角形，AB=AC，BAC=60，DAF=60，BAC=DAF，BAD=CAF，四边形ADEF是菱形，AD=AF，在ABD和ACF中AB=AC，BAD=CAF，AD=AF，ABDACF，ADB=AFC，结论：AFC=ACB+DAC成立（2）结论AFC=ACB+DAC不成立AFC、ACB、DAC之间的等量关系是AFC=ACB-DAC证明：ABC为等边三角形，AB=AC，BAC=60，BAC=DAF，BAD=CAF，四边形ADEF是菱形，AD=AF在ABD和ACF中AB=AC，BAD=CAF，AD=AF，ABDACFADB=AFC又ACB=ADC+DAC，AFC=ACB-DAC（3）补全图形如下图：AFC、ACB、DAC之间的等量关系是：AFC=2ACB-DAC（或AFC+DAC+ACB=180以及这两个等式的正确变式）作业10菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（ ）A3cm2B4cm2Ccm2Dcm2【答案】D【解析】该题考查的是菱形的面积菱形面积为对角线乘积的二分之一，由题可知，较短的对角线与边长围成的三角形是等边三角形，所以另一对角线长为，菱形面积故答案是D24