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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第九节 直线与圆锥曲线备考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1.把握解决直线与椭圆、抛物线的 位置关系的思想方法2.明白圆锥曲线的简洁应用3.懂得数形结合的思想 . 直线与圆锥曲线的位置关系,是历年高考考查的重点,常以解答题形式考查, 以直线与圆锥曲线的方程为基础,结合有关概念及运算,将位置关系转化为相应的方程或 方程组的解的争论如 2022 年广东 T20 等 . 归纳 学问整合 1直线与圆锥曲线的位置关系判定直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 AxByC 0A,B 不同时为 0代入圆锥曲线 C 的方程 Fx,y0
2、,消去 y也可以消去 x得到一个关于变量 x或变量 y的一元方程即Ax ByC0,消去 y,得 ax2bxc 0. ,就 0. 直线与圆锥曲F x,y 0,1当 a 0 时,设一元二次方程ax2bxc0 的判别式为线 C 相交；0. 直线与圆锥曲线 C 相切；0,2D 16k 2 4 1k2 x 1 x24k20,1kx 1x210 20,1k解得15 3 k0.3km . 21m 23k21.xPxMxN3mk,从而 yPkxPm3k 2 12kAPyP1m3k21. xP3mk又|AM |AN|,APMN,就m3k 3mk 2 11 k,即 2m3k 21.M, N,且 |MN|2,把代入
3、,得m22m,解得 0m0,解得 m1 2. 3综上, m 的取值范畴是1 2m2. 保持本例题条件不变,如直线ykx 1 与椭圆相交于不同的两点求直线的斜率k. 解： 由1可知,椭圆方程为2 x 3 y 2 1. ykx1,由2 x 3y21,得3k 21x 26kx0. 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设 Mx1,y1,Nx2,y2,6k就 x1x2, x1x20. 3k 21就|MN |1k 2|x1x2| 1k 2 x1x2 24x1x21k 2|x1x2|1k 26|k| 2,3k 2136k 21k
4、243k 21 249k 46k 21,即 12k 24. 3k3 .与弦长有关问题的解法1求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是：将直线方程代入圆锥曲线方程,消去 y或 x后,得到关于 x或 y的一元二次方程 ax 2bxc0或 ay 2byc0,再由弦长公式 |AB|1k 2|x1x2|1k 12|y1y2|,求其弦长在求 |x1x2|时,可直接利用公式 |x1x2|b 24ac求得|a|2涉及弦的中点及直线的斜率问题,可考虑用“ 点差法” ,构造出 kABy1y2 x1x2 和 x1x2,y1y2,运用整体代入的方法,求中点或斜率,表达“ 设而不求” 的思想22椭圆 ax2 by 21 与直线
5、 xy10 相交于 A,B 两点, C 是 AB 的中点,如AB2,OC 的斜率为2 2,求椭圆的方程解： 设 Ax1,y1,Bx2,y2,代入椭圆方程并作差得ax1 x2x1x2by1y2y1y20. 名师归纳总结 而y1y2 1,y1y2kOC2 2,第 6 页,共 21 页x1x2x1x2代入上式可得b2a. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 再由 |AB|1k 2|x2x 1|2|x2x1|22,其中 x1,x2 是方程 abx 22bx b10 的两根,故ab 2b2 4b1ab4,将 b2a 代入得 a1 3,b3 . 22 2x 2y故所
6、求椭圆的方程是 331. 圆锥曲线中最值 或取值范畴 问题2例 3 已知椭圆 x2y 21 的左焦点为 F,O 为坐标原点1求过点 O, F,并且与直线l：x 2 相切的圆 M 的方程；2设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点,线段AB 的垂直平分线与x轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范畴自主解答 1a22,b 21,c1,F1,0,24k 2x2k 2圆过点 O,F,圆心 M 在直线 x1 2上设 M 1 2,t ,就圆半径r1 2 23 2,由|OM |r,得1 22t23 2,解得 t 2,所求圆的方程为x1 22y229 4. 2设直线 AB 的方程为 ykx1k
7、0,代入2 x 2y 21,整理得 12k 2x20. 直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴,方程有两个不等实根如图,设 Ax1, y1,Bx2,y2, AB 中点 Nx0,y0,就 x1x2名师归纳总结 4k2,x01 2x1x22 2k,y0kx012k 212kk,21第 7 页,共 21 页2k21AB 的垂直平分线NG 的方程为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yy01 kxx0令 y0,得 xGx0ky02k22 k2k 212k2 k211 24k1,222k21k 0,1 2xG0 ,其焦点 F 到准线的距离为1 2. 1试求抛
8、物线C 的方程；2设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为tt0,过 P 的直线交 C 于另一点 Q,交 x 轴于 M,名师归纳总结 过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N,如 MN 是 C 的切线,求t 的最小值第 8 页,共 21 页解： 1焦点F 到准线的距离为2,p 1 2. 故抛物线 C 的方程为 x2y. 2设 Pt,t2,Qx,x2,Nx0, x 20,就直线 MN 的方程为 yx 2 02x0xx0 令 y0,得 M x0 2,0 ,kPM2 tx0t22 2t,2t x0kNQx2 0x2x0x. x0 xNQQP ,且两直线斜率存在,kPMkNQ 1,即2 2tx0 x
9、 1,2tx0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 整理得 x02t 2x2t2.1 2t又 Qx,x 2在直线 PM 上,就 MQ与 MP 共线,得 x02xtxt.由得2t 2x2t2 2xt12t xtt0,tx 213x x 3 1 3x . t2 3或 t2 3舍去 所求t 的最小值为2 3. 2 种思想 函数与方程思想和数形结合思想在解决直线与圆锥曲线问题中的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查,始终是高考考查的重点,特殊是焦点弦和中点弦等问题,涉及中点公式、 根与系数的关系以及
10、设而不求、整体代入的技巧和方法,也是考查数学思想方法的热点题型3 类问题 圆锥曲线中的三类问题1直线与圆锥曲线的位置关系判定将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组,然后判定方程组是否有解,有几个解, 这是直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法中最常用的方法,留意：在没有给出直线方程时,要对是否有斜率不存在的直线的情形进行争论,防止漏解2证明定点和定值问题的方法定点和定值问题的证明方法有两种：一是争论一般情形,通过规律推理与运算得到定点或定值,这种方法难度大,运算量大,且思路不好查找；另外一种方法就是先利用特殊情形确定定点或定值,然后验证,这样在整理式子或求值时就有了明确的方向3圆锥曲线中常见的最值
11、问题及解法圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：涉及距离、 面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题名师归纳总结 求最值常见的解法有几何法和代数法. 第 9 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答题模板 圆锥曲线中的探干脆问题2 2x y典例 2022 福建高考 满分 13 分如图,椭圆 E：a 2b 21ab0的左焦点为 F 1,右焦点为 F 2,离心率 e1 2.过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且ABF 2的周长为 8. 1求椭圆 E 的方程；2设动直线 l：
12、ykxm 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x4 相交于点 Q.摸索究： 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？如存在, 求出点M 的坐标；如不存在,说明理由快速规范审题 第1问：1审条件,挖解题信息观看条件： 椭圆方程及左、右焦点F 1,F 2,离心率 e1 2, ABF 2 的周长为8椭圆定义及离心率公式 ABF2 的周长为 4a,ec a. 2审结论,明确解题方向观看所求结论：求椭圆的方程 需建立关于a,b,c 的方程组求解3.建联系,找解题突破口由条件可得4a8,c a1 2a 2b 2c 2可得 a2, b 23 代入椭圆方程得 E 的方2
13、2程x 4y 31. 第2问：1审条件,挖解题信息观看条件： 直线 l 与椭圆 E 相切于点P,与直线联立方程,消元 x4 相交于点 Q得判别式 0 及 P,Q 的坐标2审结论,明确解题方向观看所求结论：探究是否存在点M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点假设M 存在 M问题转化为MP MQ 0 恒成立名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3建联系,找解题突破口由条件分析的位置并设出M 的坐标 x1,0写出向量MP MQ的坐标得到关于参数m,k,x1代入等式MP MQ0的方程 对任意 m,k恒成立 得关于 x1 的方程组
14、 判别是否有解 结论 ,精确规范答题 1由于 |AB|AF 2|BF 2| 8,即|AF1|F 1B| |AF2|BF 2|8,.1 分 又|AF1|AF 2| |BF1|BF 2|2a, .2 分 易忽视定义 的应用所以 4a8,a2. 又由于 e1 2,即 c a 1 2,所以 c 1,.3 分 所以 ba 2c 23. 2 2故椭圆 E 的方程是x 4y 31.4 分 ykx m,2由 x 4y 231,2 消去 y 得4k 23x 28kmx4m 2120.5 分 由于动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 Px0,y0,所以 m 0 且 0,.6 分 即 64k2m 244k 2
15、34m2120,忽视圆的对称性,判定不出 M 必在 x化简得 4k 2m230.* .7 分 此时 x04km4k m,y0kx0 m 3 m,4k 23所以 P 4k m, 3 m .8 分 轴上x4,由 得 Q4,4km.9 分 ykxm,假设平面内存在定点 M 满意条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上 .10 分 设 Mx1,0,就 MP MQ 0 对满意 * 式的 m,k 恒成立名师归纳总结 由于 MP 4k mx1, 3 m,第 11 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - MQ 4x1,4km,由 MP MQ 0,对于方程
16、 4x14 k mx12得16k m4kx1 m4x1x112k m30,4x130 不会利用对m,k 恒成立,求解x1. 整理,得 4x14 k mx2 14x130.* .11 分 由于 * 式对满意 * 式的 m,k 恒成立,所以4x140,解得 x11.12 分 M.13 分 x2 14x130,故存在定点M1,0,使得以 PQ 为直径的圆恒过点答题模板速成 解决解析几何中的探干脆问题的一般步骤：第一步其次步第三步来证第四步提假设作推理明下结论明确规范结假设结论.以假设.论,如能推出.回忆反思合理结果,经为条件,验证成立刻可成立进行推解题过程确定正确如理求解推出冲突,即否定假设一、挑选
17、题 本大题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分 名师归纳总结 1双曲线 C：2 xa 22 yb 21a0,b0的右焦点为F,直线 l 过焦点 F,且斜率为k,就直第 12 页,共 21 页线 l 与双曲线 C 的左,右两支都相交的充要条件是 Akb aBkb a 或 kba Db akb解析： 选 D 由双曲线渐近线的几何意义知bakb0的半焦距为 c,如直线 y2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为 c,就椭圆的离心率为 3A. 2 B. 3 1 2C. 2 D. 2 1 2 2解析： 选 D 依题意直线 y2x 与椭圆的一个交点坐标为 c,2c,所以c a 24cb 2 1,又 b 2
18、a 2c 2,消去 b 整理得 a 22ac c 20,所以 e 22e10,解得 e 12. 又 e0,1,所以 e21. 42022 温州模拟 设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y 22pxp0的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正方向的夹角为 60,就 |OA|为 A.21p 4 B. 21p213 13C. 6 p D. 36p解析：选 B 如图,过 A 作 ADx 轴于 D,令|FD| m,就|FA|2m,|AD|3m,由抛物线定义知 |FA|AB|,即 pm2m,mp. |OA|p2p 23p 22 p. 2152022 清远模拟 过点 0,1作直线,使它与抛物线
19、线有 y 2 4x 仅有一个公共点,这样的直名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析： 选 C 设过点 0,1斜率为 k 的直线方程为 ykx 1. ykx1,由 得 k 2x 22k4x 10.* y 24x,当 k0 时, * 式只有一个根；当 k 0 时, 2k424k2 16k16,由 0,即 16k160 得 k1. 所以 k0,或 k1 时,直线与抛物线只有一个公共点,又直线 x0 和抛物线只有一个公共点名师归纳总结 62022 绍兴模拟 已知双曲线x a2 2y b
20、2第 14 页,共 21 页21a0,b0, M,N 是双曲线上关于原点对称的两点, P 是双曲线上的动点,且直线PM ,PN 的斜率分别为k1,k2,k1k2 0,如 |k1|k2|的最小值为1,就双曲线的离心率为 A.2 B.52C. 3 2D.3 2解析： 选 B设 Mx0,y0, Nx0, y0,Px,y 就 k1yy0 xx0,k2yy0 xx0. 2 2又 M,N,P 都在双曲线xa 2y b 21 上,b 2x0a2y0a2b 2,b 2x2x0 a 2 2y 2 y 0 2b2x2a2y2a2b2.xx0ayy0 b2yy0 xx0.2 |k1|a 2|k2|,2 即|k1|
21、|k2|b2|k1|k2|2b a,2.又 |k1|k2|2a2b a1,即 4b 2a 2.4c2a2a 2,即 4c 25a2. 2ca 25 4.即 e 25 4, e5 2 . 二、填空题 本大题共 3 小题,每道题5 分,共 15 分 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 7已知 4,2是直线 l 被椭圆x 362y 91 所截得的线段的中点,就l 的方程是 _解析： 设直线 l 与椭圆相交于2 2 2 2就x 36y 91,且 x 36y 91,2Ax1, y1,Bx2,y2. 两式相减得y1y2x1x2x1x24 y1 y2又 x1x28
22、,y1y24,所以y1y21 2,故直线 l 的方程为 y2 1 2x4,即 x2y 80. x1x2答案： x2y80 8一动圆过点A0,1,圆心在抛物线x 24y 上,且恒与定直线l 相切,就直线l 的方程为 _解析： 由于 A0,1为抛物线的焦点,由抛物线定义可知,圆心到 的距离,故 l ：y 1. 答案： y 1 A 点的距离等于到准线92022 重庆高考 过抛物线y 22x 的焦点 F 作直线交抛物线于A,B 两点,如|AB|25 12,|AF |BF|,就 |AF|_. 名师归纳总结 解析： 设过抛物线焦点的直线为yk x1 2,联立得y 22x,1 2,整理得 k2x2k 2第
23、15 页,共 21 页yk x2x1 4k 2 0,x1 x2k 22k 2,x1x21 4. |AB| x1 x21k22125 12,得 k 224,k2代入 k2x2k2 2x1 4k 20 得 12x213x30,解得 x11 3,x23 4.又|AF|BF|,故|AF|x11 2 5 6. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：56三、解答题 本大题共 3 小题,每道题12 分,共 36 分 F 1的直线 l 与 E 相交10设 F 1,F2分别是椭圆2 E：x 2y b 2 10b0,m0 或 m160. 设 Bx1,y1, Cx2,y2
24、,就 y1y2m 2,y1 y2x1x2 54 5410m 8 . m再设 Ax3,y3,由于 ABC 的重心为 F 2,0 ,x1x2x33m 2,x311m 810,就 解得y1y2y330,y3m 2.点A 在抛物线上,m2 2 2m 11m 8 10 . m8,抛物线 C 的方程为 y 216x. 2证明： 当 PQ 的斜率存在时, 设 PQ 的方程为 ykxb,明显 k 0,b 0,PO OQ,kPOkOQ 1,设 PxP,yP,QxQ,yQ,xPxQyPyQ0. 将直线 ykxb 代入抛物线方程,得 ky 216y16b0,2 2 2yPyQ16b k .从而 xPxQy 16 Py2 Q bk 2,2b k 216b k0.k 0,b 0,整理得 b 16k. 直线PQ 的方程为 ykx16k,PQ 过点 16,0；当 PQ 的斜