《2022年高三数学一轮总复习专题圆锥曲线与方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学一轮总复习专题圆锥曲线与方程.docx（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 专题十二、圆锥曲线与方程抓住 3 个高考重点重点 1 椭圆及其性质1椭圆的定义：椭圆的第肯定义：对椭圆上任意一点M 都有|MF1|MF2|2 a|F F 2|2ca b c椭圆的其次定义：对椭圆上任意一点M都有 |MF|e ,0e1d2求椭圆的标准方程的方法（1）定义法：依据椭圆定义,确定a2,2 b 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆的标准方程（2）待定系数法： 依据椭圆焦点是在x 轴仍是在 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后依据条件确定关于的方程组,解出a2,2 b ,从而写出椭圆的标准方程3求椭圆的标准方程需要留意以下几点？（ 1）假
2、如 椭圆的焦点位置不能确定,可设方程为Ax2By21A0,B0,AB或x2y212 mn2（2）与椭圆x2y21 m2n2共焦点的椭圆方程可设为mx2ky21 k2 m,kn2m2n22n2k（3）与椭圆x2y21 ab0有相同离心率的椭圆方程可设为x2y2k1（k 10,焦点在 x 轴上）或a2b2a2b2y2x2k2（k20,焦点在 y 轴上）a22 b4椭圆的几何性质的应用策略（1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形, 摸索时也要联想到图形：如涉及顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量,就要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的联系,求解自然就不难了（2）椭圆的离心率e
3、c1b2是刻画椭圆性质的不变量,当 e越接近于 1 时,椭圆越扁, 当 e 越接近于 0时,aa2椭圆越接近于圆,合a求椭圆的标准方程需要两个条件,而求椭圆的离心率只需要依据一个条件得到关于a b c 的齐次方程,再结2b22 c 即可求出椭圆的离心率 高考常考角度 角度 1 如椭圆x2y21的焦点在 x 轴上,过点 ,11作圆x2y21的切线,切点分别为A,B,直线 AB恰好a2b22经过椭圆的右焦点和上顶点,就椭圆方程是x2y21. 54yk x11,即 2 kx2y12 k0解析 : 方法一：设过点 ,11的直线方程为：当斜率存在时,22名师归纳总结 第 1 页,共 15 页- - -
4、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由题意,|14 k 2 2 k4 |1 k 34,由 yx 2 y 342 x1 1 12 xy 354,切点为 B 3 45 5 , ,5又当斜率不存在时,直线方程为 x 1,切点为 A 1,0,故直线 AB : 2 x y 2 0 , 就与 y 轴的交点即为上顶点坐标 2,0 b 2,与 x 轴的交点即为焦点 c 1,a 2b 2c 25,2 2即椭圆方程 为 x y 15 43 1 3 4（说明：假如设切点 B x 0 , y 0 ,就过切点的切线方程为 x x y y 1,与 y x 1 x y 1 比4 2 5 5较,也
5、可求出切点 B 3 4, ）5 5方法二：（数形结合）设点 P 1, 1,就有直线 OP : y 1x ,作图分析可得 k AB 2,又切点 A 1,02 2故直线 AB y 2 x 1,即 2 x y 2 0,就 AB 与 y 轴的交点即为上顶点坐标 2,0 b 2,与 x 轴的交点即为右焦点 c 1,a 2b 2c 25,2 2故 椭圆方程为 x y 15 4角度 2 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F 1 , F 在 x 轴上,离心率为 2 . 过 1F 的直线 l 交 C2于 A B 两点,且 ABF 的周长为 16,那么 C 的方程为 . 2 2解析：可设
6、椭圆方程为 x2 y2 1 a b 0 , e c 2, a b a 22 2ABF 的周长为 4 a 16 a 4, c 2 2 b 28 , 故椭圆 C 的方程为 x y116 82 2角度 3 已知椭圆 E : x2 y2 1 a b 0 , 直线 l 为圆 O x 2y 2b 的一条切线,记椭圆 2E的离心率为 e 如a b直线 l 的倾斜角为,且恰好经过椭圆的右顶点,就 e 的大小为 _. 3解析：此题考查直线与圆的位置关系,椭圆的离心率等学问如下列图,设直线 l 与圆 O 相切于 C点,椭圆的右顶点为 D,就由题意,知OCD为直角三角形,且 | OC | b OD | a , OD
7、C ,32 2 2 2 c 1| CD | | OD | | OC | a b c e cosa 3 2重点 2 双 曲线及其性质1双曲线的定义：双曲线的第肯定义：对双曲线上任意一点M都有|MF1|MF2|2a|F F2| 2c第 2 页,共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 双曲线的其次定义：对双曲线上任意一点M都有 |MF|e e1d2求双曲线的标准方程的方法（1）定义法（2）待定系数法 3求双曲线方程需要留意以下几点：（1）双曲线与椭圆的标准方程均可记为mx2ny21 mn0,其中,m0且n0,且 mn 时表示椭圆；mn0时
8、表示双曲线,合理使用这种形式可防止争论（2）常见双曲线设法：已知 ab的双曲线设为x2y20；0；0已知过两点的双曲线可设为Ax2By21AB2已知渐近线xy0的双曲线方程可设为x2ymn2 mn24. 双曲线的几何性质的应用策略（1）关于双曲缉的渐近线求法：求双曲线x2y21 a0,b0的渐近线的方法是令x2y20,. a2b2a2b2即得两渐近线方程xy0bxay0x 轴、 y 轴对称 . ab0两条渐近线的倾斜角互补,斜率互为相反数,且关于与x2y21 a0,b0共渐近线的双曲线方程可设为x2y2a2b2a2b2（2）求双曲线的离心率c2双曲线的离心率ec1b2,求双曲线的离心率只需依据
9、一个条件得到关于a b c 的齐次方程,再结合aa2a22 b 即可求出 . 高考常考角度 2 2角度 1 已知双曲线 x2 y2 1 a 0,a b点为圆 C 的圆心,就该双曲线的方程为（b0的两条渐近线均和圆C:x2y26x50相切,且双曲线的右焦的）1A.x2y21 B.x2y21 C.x2y21 D.x2y254453663解析：由已知得,圆C: x32y24,c3,双曲线的渐近线为bxay0,由已知得da3 bb22,a2b233 b2,就b2,a25,应选 A. 2c1,4,就|PQ|PF 1|角度 2 已知双曲线x2y21的左、右焦点分别是1F 、F , P 为右支上一动点,点Q
10、412最小值为 _. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析：由双曲线的定义得|PF 1|PF2|2 a|PF 1|2 a|PF 2|,又F 24,0,|QF2| 5P ,满意|PQ|PF1| |PQ|PF2| 2a|QF2| 2a549,当且仅当F2,P Q 共线时取等号,故|PQ|PF 1|的最小值为 9角度3 设F 、F 分别为双曲线x2y21 a0,b0的左、右焦点. 如双曲线右支上存在点a2b2PF 2F F 1 2,且F 到直线PF 的距离等于双曲线的实轴长,就该双曲线的渐近线方程为（）A. 3x4y0
11、 B. 3x5y0 C. 4x3y0 D. 5x4y0解析：如图,过F 作F APF 于 A ,由题意知|F A|2 ,|F F 2|2 ,就|AF 1| 2 , |PF1| 4 ,而|PF 1|PF2| 2 ,4 b2c2 ac2 bac22ba2a2b24 b2aba2b4a3就 双曲线的渐近线方程为y4x ,即 4x3y0,应选 C 3重点 3 抛物线及其性质1求抛物线的标准方程的方法（1）定义法：依据条件确定动点满意的几何特点,从而确定（2）待定系数法：依据条件设出标准方程,再确定参数p的值,得到抛物线的标准方程p 的值,这里要留意抛物线的标准方程有四种形式从简单化角度动身,焦点在x
12、轴上的,设为y2ax a0,焦点在 y 轴上的,设为x2by b02抛物线定义的应用策略 抛物线是到定点和定直线（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹,利用该定义,可有效地实现抛物线上 的点到焦点和到准线的距离的转化,将有利于问题的解决3抛物线几何性质的应用策略（1）焦半径：抛物线y22px p0一点P x0,y0到焦点Fp,0的距离|PF|x0p. 第 4 页,共 15 页22（2）通径：过焦点FpAB|2p,0且与 x 轴垂直的弦 AB 叫做通径,且 |2（3）设过抛物线y22px p0的焦点 F 的弦为AB A x 1,y 1,B x 2,y 2,就有弦长：|AB|x 1x2p2p为弦
13、AB 的倾斜角）sin2y 1y2p2,x 1x 2p24|1|1|2AFBFp名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 以弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 . 直线 AB 的方程为 y k x p （ k 不存在时弦 AB 为通径）2 高考常考角度 角度 1 已知 F 是抛物线y2x 的焦点,A B 是该抛物线上的两点,|AF|BF| =3,就线段 AB 的中点到 y 轴的距离为（）D7 4A3 4B1 C5 4解析：设A x 1,y 1,B x 2,y 2,由抛物线定义,得|AF|BF|x 11x 213x 1x 25x 12x 25,
14、4424）y24x故线段 AB的中点到 y 轴的距离为5. 应选 C 4角度 2 设抛物线的顶点在原点,准线方程为x2,就抛物线的方程是（A. y28x B. y28x C. y24x D. 点评：由准线确定抛物线的位置和开口方向是判定的关键2 p 2解析：由题意可知,抛物线的方程为 y 2 px p 0,由准线方程 x 2 得 2 , 所以 y 8 x 应选 B 22角度 3 设抛物线 y 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点,PA l , A 为垂足假如直线 AF 的斜率为 3 ,那么 | PF |（ B ）A. 4 3 B.8 C. 8 3D. 16 解析：方法一：
15、抛物 线的焦点 F 2,0,直线 AF的方程为 y 3 x 2,所以得点 A 2, 4 3、P 6, 4 3,从而 | PF | 6 2 8,应选 B 0 0方法二：如图,PA l , PA / x 轴,又 AFO 60 , FAP 60,又由抛物线定义得 | PA | | PF |, PAF 为等边三角形,令 l 与 x 轴的交点为 F ,就 F 2,0在 Rt AFF 中, | FF | 4, | AF | 8, | PF | 8,应选 B 突破 10 个高考难点难点 1 直线与圆锥曲线的位置关系1. 直线与圆锥曲线的位置关系2. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式典例如图,设 P 是圆2 xy
16、225上的动点,点D 是 P 在 x 轴上投影, M 为 PD 上一点,且第 5 页,共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - | MD | 4 | PD 5（）当 P 在圆上运动时,求点 M的轨迹C的方程；（）求过点 3,0 且斜率为4 的直线被 C 所截线段的长度5点评：（）动点 M 通过点 P 与已知圆相联系,所以把点 P 的坐标用点 M 的坐标表示,然后代入已知圆的方程即可；（）直线方程和椭圆方程组成方程组,可以求解,也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式运算解析：（）设点 M 的坐标是 , x y , P 的坐标是 x
17、p , y p ,由于点 D 是 P 在 x 轴上投影,M 为 PD 上一点,且 | MD | 4| PD ,所以 x p x ,且 y p 5y ,5 42 2 P 在圆 x 2y 225 上,x 2 5y 225,整理得 x y1,4 25 162 2即 C 的方程是 x y 125 16（）过点 3,0 且斜率为4 的直线方程是 y 4 x 3,设此直线与 C 的交点为 A x 1 , y 1 ,B x 2 , y 2 ,5 5y 4 x 3由 2 52 得 x 2 x 3 225 x 23 x 8 0,就 x 1 x 2 3, x x 2 8x y125 1616 2 16 2 41
18、41| AB | 1 x 1 x 2 4 x x 2 1 3 4 8,直线被 C 所截线段的长度为25 25 5 5点评：假如直接解方程 x 23 x 8 0,x 1 3 41,x 2 3 41,形式复杂,增加运算难度2 2所以线段 AB的长度是 | AB | x 1 x 2 2 y 1 y 2 21 16 x 1 x 2 2 4141 41）25 25 5难点 2 中点弦问题的处理1. 解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有三种：（1）通过方程组转化为一元一次方程,结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解；（2）点差法,设出弦的两端点,利用中点坐标公式求解；（3）中点转移
19、法,先得出一个端点的坐标,再借助于中点坐标公式得出另一个端点的坐标,而后消二次项2对于中点弦问题,常用的解题方法是点差法,其解题步骤为：（1）设点：设出弦的两端点坐标；（2）代入：代入圆锥曲线方程；（3）作差：两式相减,再用平方差公式把式子绽开；（4）整理：转化为斜率与中点坐标的关系式,最终求解. 2,0 . 斜率为1 的直线 l 与椭圆 G 交于典例已知椭圆G:2 xy21 ab0的离心率为6,右焦点为 2a2b23A B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为P 3,2；4.第 6 页,共 15 页（）求椭圆 G 的方程；（）求 PAB 的面积；解析：（）由已知得c2 2,c6.解得a
20、2 3.又2 ba2c2a3名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 2x y所以椭圆 G的方程为 1.12 4y x m（）设直线 l 的方程为 y x m . 由 x 2 y 2 得 4 x 2 6 mx 3 m 2 12 .0 112 4设 A、 B 的坐标分别为 A x y 1 , B x 2 , y 2 , x 1 x 2 , AB 中点为 E x 0 , y 0 ,就 x 0 x 1 x 2 3 m , y 0 x 0 m m2 4 4由于 AB 是等腰 PAB的底边,所以 PE AB. 2 m所以 PE的斜率 k3 3 4m 1
21、 . 解得 m 2,此时方程为 4 x 212 x .04解得 x 1 3 , x 2 0 . 所以 y 1 ,1 y 2 2 . 所以 | AB | 3 2 . 此时,点 P 3,2 到直线 AB x y 2 0 的距离 d | 3 2 2 | 3 2 ,2 2所以 S PAB 1 | AB | d 9 .2 2难点 3 圆锥曲线中的分点弦2 2典例 已知椭圆 C : x2 y2 1 a 0 的 离心率为 3,过右焦点 F 且斜率为 k k0 的直线与 C 相交于a b 2A、B 两点如 AF 3 FB ,就 k（）A. 1B. 2 C. 3 D. 2 解析：设 l 为椭圆的右准线,e 为离
22、心率,过 A B 分别作 AA BB 垂直于 l ,A B 为垂足,过 B 作 BE AA 于E ,由椭圆的其次定义得 | AF |e | AA 1 | | AF |,| BF |e | BB 1 | | BF | AA 1 | e | BB 1 | e由 AF 3 FB ,令 | FB | t ,就 | AF | 3 ,| AB | 4 t ,| AE | | AA 1 | | BB 1 | 2 te2 tcos BAE | AE | e 1 3 sin BAE 6 , tan BAE 2 即 k 2,应选 B. | AB | 4 t 2 e 3 3难点 4 圆锥曲线上点的对称问题典例 1
23、已知椭圆 C ：x2y21,在椭圆上是否存在两点A、B关于直线y4xm 对称,如存在, 求出实数 m43的取值范畴,如不存在,说明理由. y4xm 对称,由题意,设AB:y1xn解析：方法一： 方程组法 设椭圆上存在两点A、B关于直线4名师归纳总结 第 7 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由y1xn13x28nx16n2480,设A x 1,y 1,B x 2,y 2, AB 的中点为M x0,y0,x0,y 0,4x2y21430n213就x 1x 28 n,x x 216n23,2 64 n4 13 16 n2313134x04n
24、,y 01x0n12n,1341313m 代入解得又点M x0,y 0在直线y4xm 上,12n44 nmn131342 13m2 13,m2 13 2 13 ,13 13为所求1313y4xm 对称, AB 的中点为M方法二： 点差法 设椭圆上存在两点A x y 1,B x 2,y2关于直线就x 12y 121,x 22y 2211x 12x221y 12y 2201x 1x 21y 1y2y 1y2043434343x 1x2又x 0x 12x 2,y 0y 12y2,x 1x22x0,y 1y22y 0,y 1y21 , 43 x0y 00x 1x 2m y 03 ,Mm , 3 又点M
25、 x0,y 0在直线y4xm 上,y 04x 0m解得x 0M 在椭圆 C 内,m 2 3 212 13m2 13,m2 13,2 13为所求4313131313难点 5 求轨迹（曲线）方程典例已知双曲线2 xy22的左、右焦点分别为F 、F ,过点F 的动直线与双曲线相交于A B两点如动2 0, ,第 8 页,共 15 页点 M 满意F M 1F A 1F B 1FO （其中 O 为坐标原点） ,求点 M 的轨迹方程 . 解析：由条件知F 1 2,0,F22,0,设A x 1,y 1,B x 2,y 2方法一：设M x,y,就FMx2,y,F Ax 12,y 1,F Bx 22,y 2,FO
26、由F MF AF BFO 得x2x 1x 26,yy 1y 2即x 1x 2x4,于是 AB 的中点坐标为Ex24,y2y 1y 2y,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yy1当 AB 不与 x 轴垂直时,kABk EF2,即y 1y 2x22 42xy8,即y 1y 2xy8x 1x 2x 1x 2又由于 A,B两点在双曲线上,所以2 x 12 y 12,2 x 2y2 22,两式相减得（点差法）2kx 1x 2x 1x2y 1y 2y 1y2,即x 1x2x4y 1y2y 将y 1y 2xy8x 1x2代入上式,化简得x62y24当
27、AB 与 x 轴垂直时,x 1x 22,求得M8 0, ,也满意上述方程所以点 M 的轨迹方程是x62y24方法二：同解法一,有x 1x 2x4,当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线AB 的方程是yk xy 1y 2y代入x2y22有1k2x22 4 k x4k220就x 1,x 2是上述方程的两个实根,所以x 1x 24k2y 1y 2k x 1x 24k4 k24k4k1k21k126224从而x44k2yk4k1相除得xy4k,将其代入yk4 k1得1k222y4x414 y x24整理得x62y24yx42x42 y2 y当 AB 与 x 轴垂直时,x 1x 22,求得M8 0, ,也
28、满意上述方程故点M 的轨迹方程是x难点 6 圆锥曲线中的定点问题典例已知椭圆C:x22 y1, 如直线l:ykxm 与椭圆 C 相交于 A, B 两点（ A,B不是左右顶点） ,且以43线 l 过定点,并求出该定点的坐标AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证：直ykxm解析：设A x 1,y 1,B x 2,y 2,由2 xy2得 134k2x28 mkx4m230,434k2m20（1）642 m k21634 k2m2303x 1x238mk2,x 1x 242 m3.4k34 k2第 9 页,共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
29、- - y 1y 2kx 1m kx 2m2 k x x 2mk x 1x2m232 m44k2.4m2316mk420,. 3k2以 AB为直径的圆过椭圆的右顶点D2,0,kADkBD1,x 1y 12y221y y 2x x22x 1x 240, 即3 m244k2x 23k234k234k2即7m216mk4 k207m2 m2 0,解得m 12 , k m 22k,且满意34k2m07当m2k 时,有l:yk x2,直线过定点2,0, 与已知冲突；当m2k时,有l:yk x2,直线过定点2,0.777综上可知,直线l 过定点,定点坐标为2,0.7难点 7 圆锥曲线中的定值问题典例已知椭
30、圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1 且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、 B 两点,OAOB 与a3, 1共线 . （）求椭圆的离心率；（）设 M 为椭圆上任意一点,且OMOAOB, ,R ,证明22为定值 . c ,第 10 页,共 15 页解析：（）设椭圆方程为x2y21 ab0,就右焦点为F c ,0,直线 AB 的方程为 yxa2b2yxc由x22 y1整理得a2b2x22 2 a cx2 a c22 a b20,2a2 b设A x y 1,B x2,y2,就x 1x 22 2 a c,x x 22 a c22 2a ba22 b22 b3 2ca由OAOBx 1x 2,y 1y 2,a3, 1共线,得3y 1y2x 1x 20,y 1x 1c y2x 2c,3x 1x 22 x 1x20x 1x22 2 a c23ca23 b2a23a2c2c22,ec6a2b2a23a3（）由（）可知a22 3 b ,故椭圆x2y21可化为x23y22 3 b ,设OM , x y 由22abOMOAOB , x 1,