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1、第九节直线与圆锥曲线备考方向要明了 考 什 么怎 么 考1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2.了解圆锥曲线的简单应用3.理解数形结合的思想. 直线与圆锥曲线的位置关系，是历年高考考查的重点，常以解答题形式考查，以直线与圆锥曲线的方程为基础，结合有关概念及计算，将位置关系转化为相应的方程或方程组的解的讨论如2012 年广东 T20 等 . 归纳 知识整合 1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程 AxByC 0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线C 的方程 F(x，y)0，消去 y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量 y)的一元
2、方程即Ax ByC0，F x，y 0，消去 y，得 ax2bxc 0. (1)当 a0 时，设一元二次方程ax2bxc0 的判别式为 ，则 0? 直线与圆锥曲线 C 相交； 0? 直线与圆锥曲线C 相切； 0，x1 x24k1k20，x1x2101k20，解得153k0?m23k21. xPxMxN23mk3k2 1，从而 yPkxPmm3k21. kAPyP1xPm3k213mk. 又|AM|AN|， AP MN，则m3k2 13mk1k，即 2m3k21.把代入，得m22m，解得 0m0，解得 m12. 综上， m 的取值范围是12m2. 保持本例题条件不变，若直线ykx 1 与椭圆相交于
3、不同的两点M， N，且 |MN|2，求直线的斜率k. 解： 由(1)可知，椭圆方程为x23 y2 1. 由ykx1，x23y21，得(3k21)x26kx0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x26k3k21， x1x20. 则|MN|1k2|x1x2| 1k2x1x224x1x21k2|x1x2|1k26|k|3k21 2， 36k2(1k2)4(3k21)24(9k46k21)，即 12k24. k33.与弦长有关问题的解法(1)求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是
4、：将直线方程代入圆锥曲线方程，消去y(或 x)后，得到关于x(或 y)的一元二次方程ax2bxc0(或 ay2byc0)，再由弦长公式|AB|1k2|x1x2|11k2|y1y2|，求其弦长在求|x1x2|时，可直接利用公式|x1x2|b24ac|a|求得(2)涉及弦的中点及直线的斜率问题，可考虑用“点差法”，构造出kABy1y2x1x2和 x1x2，y1y2，运用整体代入的方法，求中点或斜率，体现“设而不求”的思想2椭圆 ax2 by21 与直线 xy10 相交于 A，B 两点， C 是 AB 的中点，若AB22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程解： 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
5、代入椭圆方程并作差得a(x1 x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0. 而y1y2x1x2 1，y1y2x1x2kOC22，代入上式可得b2a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页再由 |AB|1k2|x2x1|2|x2x1|22，其中 x1，x2是方程 (ab)x22bx b10 的两根，故2bab2 4b1ab4，将 b2a 代入得 a13，b23. 故所求椭圆的方程是x232y231. 圆锥曲线中最值(或取值范围 )问题例 3已知椭圆x22y21 的左焦点为F，O 为坐标原点(1)求过点 O， F，并
6、且与直线l：x 2 相切的圆 M 的方程；(2)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围自主解答 (1) a22，b21， c1，F(1,0)，圆过点 O，F，圆心 M 在直线 x12上设 M 12，t ，则圆半径r12 232，由|OM|r，得122t232，解得 t 2，所求圆的方程为x122(y 2)294. (2)设直线 AB 的方程为yk(x1)(k0)，代入x22y21，整理得 (12k2)x24k2x2k220. 直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴，方程有两个不等实根如图，设 A(x1，
7、y1)，B(x2，y2)， AB 中点 N(x0，y0)，则 x1x24k22k21，x012(x1x2)2k22k21，y0k(x01)k2k21， AB 的垂直平分线NG 的方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页yy01k(xx0)令 y0，得 xGx0ky02k22k21k22k21k22k211214k22， k0，12xG0)，其焦点 F 到准线的距离为12. (1)试求抛物线C 的方程；(2)设抛物线C 上一点 P 的横坐标为t(t0)，过 P 的直线交C 于另一点 Q，交 x 轴于 M，过点 Q 作
8、 PQ 的垂线交C 于另一点N，若 MN 是 C 的切线，求t 的最小值解： (1)焦点F 到准线的距离为12， p12. 故抛物线 C 的方程为 x2y. (2)设 P(t，t2)，Q(x，x2)，N(x0， x20)，则直线 MN 的方程为yx202x0(xx0) 令 y0，得 Mx02，0 ， kPMt2tx022t22t x0，kNQx20 x2x0 xx0 x. NQ QP，且两直线斜率存在，kPM kNQ 1，即2t22tx0 (x0 x) 1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页整理得 x02t2x2t
9、1 2t2.又 Q(x，x2)在直线 PM 上，则 MQ与MP共线，得x02xtxt.由得2t2x2t12t22xtxt(t0)， tx213xx313x. t23或 t23(舍去 )所求t 的最小值为23. 2 种思想 函数与方程思想和数形结合思想在解决直线与圆锥曲线问题中的应用直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、 根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型3 类问题 圆锥曲线中的三类问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系判断将直线
10、与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解， 这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解(2)证明定点和定值问题的方法定点和定值问题的证明方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向(3)圆锥曲线中常见的最值问题及解法圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：涉及距离、 面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最
11、值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题求最值常见的解法有几何法和代数法. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页答题模板 圆锥曲线中的探索性问题典例 (2012 福建高考 满分 13 分)如图，椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F1， 右焦点为F2， 离心率 e12.过 F1的直线交椭圆于A、B 两点，且 ABF2的周长为8. (1)求椭圆 E 的方程；(2)设动直线l：ykxm 与椭圆 E 有且只有一个公共点P，且与直线x4 相交于点Q.试探究： 在坐标平面内是否存在定点M，使得以 PQ 为直径的
12、圆恒过点M？若存在， 求出点M 的坐标；若不存在，说明理由快速规范审题 第(1)问：1审条件，挖解题信息观察条件： 椭圆方程及左、右焦点F1，F2，离心率e12， ABF2的周长为8 椭圆定义及离心率公式 ABF2的周长为4a，eca. 2审结论，明确解题方向观察所求结论：求椭圆的方程 需建立关于a，b，c 的方程组求解3.建联系，找解题突破口由条件可得4a8，ca12 a2b2c2可得 a2， b23 代入椭圆方程得 E 的方程x24y231. 第(2)问：1审条件，挖解题信息观察条件： 直线 l 与椭圆 E 相切于点P，与直线x4 相交于点Q 联立方程，消元得判别式 0 及 P，Q 的坐标
13、2审结论，明确解题方向观察所求结论：探索是否存在点M，使得以PQ 为直径的圆恒过点M 假设M存在问题转化为MPMQ0 恒成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页3建联系，找解题突破口由条件分析的位置并设出M 的坐标 (x1,0)0MP MQMP MQ写出向量，的坐标代入等式得到关于参数m，k，x1的方程 对任意 m，k恒成立得关于 x1的方程组 判别是否有解结论 ,准确规范答题 (1)因为 |AB|AF2|BF2| 8，即|AF1|F1B| |AF2|BF2|8，?(1 分) 又|AF1|AF2| |BF1|BF2
14、|2a， ?(2 分) 所以 4a8，a2. 又因为 e12，即ca12，所以 c 1，?(3 分) 所以 ba2c23. 故椭圆 E 的方程是x24y231.?(4 分) (2)由ykx m，x24y231，消去 y 得(4k23)x28kmx4m2120.?(5 分) 因为动直线l 与椭圆 E 有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以 m0 且 0，?(6 分) 即 64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得 4k2m230.(*) ?(7 分 ) 此时 x04km4k234km，y0kx0 m3m，所以 P 4km，3m.?(8 分) 由x4，ykxm，得 Q(4,4km)?(9
15、 分) 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点 M 必在 x 轴上 ?(10 分 ) 设 M(x1,0)，则MPMQ0 对满足 (*) 式的 m，k 恒成立因为MP 4kmx1，3m，易忽视定义的应用忽视圆的对称性，判断不出 M 必在 x轴上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页MQ(4x1,4km)，由MPMQ0，得16km4kx1m4x1x2112km30，整理，得 (4x14)kmx214x130.(*) ?(11 分) 由于 (*) 式对满足 (*) 式的 m，k 恒成立，所以4x140，x214
16、x130，解得 x11.?(12 分) 故存在定点M(1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M.?(13 分) 答题模板速成 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤：第一步提假设?第二步作推理?第三步来证明?第四步下结论假设结论成立以假设为条件，进行推理求解明确规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确若推出矛盾，即否定假设回顾反思解题过程一、选择题 (本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分) 1双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为F，直线 l 过焦点 F，且斜率为k，则直线 l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是() AkbaBkba或 kbaDbakba
17、解析： 选 D由双曲线渐近线的几何意义知bakb0)的半焦距为c， 若直线 y2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为() A.32B.3 1 C.22D.2 1 解析： 选 D依题意直线y2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c)，所以c2a24c2b21，又 b2a2c2，消去 b 整理得 a22ac c20，所以 e22e10，解得 e 1 2. 又 e (0,1)，所以 e21. 4(2013 温州模拟 )设 O 是坐标原点，F 是抛物线y22px(p0)的焦点， A 是抛物线上的一点，FA与 x 轴正方向的夹角为60 ，则 |OA|为() A.21p4B.21p2C.13
18、6pD.1336p解析：选 B如图，过 A 作 AD x 轴于 D，令|FD| m，则|FA|2m，|AD|3m，由抛物线定义知|FA|AB|，即 pm2m， mp. |OA|p2p23p2212p. 5(2013 清远模拟 )过点 (0,1)作直线，使它与抛物线y2 4x 仅有一个公共点，这样的直线有 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页A1 条B2 条C3 条D4 条解析： 选 C设过点 (0,1)斜率为 k 的直线方程为ykx 1. 由ykx1，y24x，得 k2x2(2k4)x 10.(*) 当 k0
19、 时， (*) 式只有一个根；当 k0 时， (2k4)24k2 16k16，由 0，即 16k160 得 k1. 所以 k0，或 k1 时，直线与抛物线只有一个公共点，又直线 x0 和抛物线只有一个公共点6(2013 绍兴模拟 )已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)， M，N 是双曲线上关于原点对称的两点， P 是双曲线上的动点，且直线PM，PN 的斜率分别为k1，k2，k1k20，若 |k1|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为() A.2 B.52C.32D.32解析： 选 B设 M(x0，y0)， N(x0， y0)，P(x，y) 则 k1yy0 xx0，k2yy0 xx0.
20、又 M，N，P 都在双曲线x2a2y2b21 上，b2x20a2y20a2b2，b2x2a2y2a2b2.b2(x2x20)a2(y2 y20)xx0yy0a2b2yy0 xx0.1|k1|a2b2|k2|，即|k1| |k2|b2a2.又 |k1|k2|2|k1|k2|2ba，2ba1，即 4b2a2.4(c2a2)a2，即 4c25a2. c2a254.即 e254， e52. 二、填空题 (本大题共3 小题，每小题5 分，共 15 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页7已知 (4,2)是直线 l 被椭圆
21、x236y291 所截得的线段的中点，则l 的方程是 _解析： 设直线 l 与椭圆相交于A(x1， y1)，B(x2，y2)则x2136y2191，且x2236y2291，两式相减得y1y2x1x2x1x24 y1 y2. 又 x1x28，y1y24，所以y1y2x1x212，故直线l 的方程为y212(x4)，即 x2y 80. 答案： x2y80 8一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线x24y 上，且恒与定直线l 相切，则直线l 的方程为 _解析： 由于 A(0,1)为抛物线的焦点，由抛物线定义可知，圆心到A 点的距离等于到准线的距离，故l：y 1. 答案： y 1 9 (2012 重庆高
22、考 )过抛物线y22x 的焦点 F 作直线交抛物线于A， B 两点，若|AB|2512，|AF|BF|，则 |AF|_. 解析： 设过抛物线焦点的直线为yk x12，联立得y22x，yk x12，整理得 k2x2(k22)x14k2 0，x1 x2k22k2，x1x214. |AB| x1 x21k22k212512，得 k224，代入 k2x2(k2 2)x14k20 得 12x213x30，解得 x113，x234.又|AF|BF|，故|AF|x11256. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页答案：56三、解
23、答题 (本大题共3 小题，每小题12 分，共 36 分) 10设 F1，F2分别是椭圆E：x2y2b2 1(0b0， m0 或 mb0)的左、 右顶点分别为A，B，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两点， O 为坐标原点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页(1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为12，求椭圆的离心率；(2)若|AP|OA|，证明直线OP 的斜率 k 满足 |k|3. 解： (1)设点 P 的坐标为 (x0，y0)由题意，有x20a2y20b21.由 A(a,0)，B(a,0)得 kAPy0 x0a，
24、kBPy0 x0a. 由 kAP kBP12，可得 x20a22y20，代入并整理得(a22b2)y200. 由于 y00，故 a22b2.于是 e2a2b2a212，所以椭圆的离心率e22. (2)证明： 法一 ：依题意，直线OP 的方程为 ykx，设点 P 的坐标为 (x0，y0)由条件得y0kx0，x20a2y20b21.消去 y0并整理得x20a2b2k2a2b2.由|AP|OA|，A(a,0)及 y0kx0，得(x0a)2k2x20 a2.整理得 (1k2)x20 2ax00. 而 x00，于是 x02a1k2，代入，整理得 (1k2)24k2ab2 4. 由 ab0，故 (1k2)
25、24k24，即 k214，因此 k23，所以 |k|3. 法二： 依题意，直线OP 的方程为y kx，可设点 P 的坐标为 (x0，kx0)由点 P 在椭圆上，有x20a2k2x20b21.因为 ab0， kx00，所以x20a2k2x20a21，即 (1 k2)x20a2.由|AP|OA|， A(a,0)， 得(x0a)2k2x20a2， 整理得 (1k2)x202ax00， 于是 x02a1k2.代入，得 (1k2)4a21 k2 23，所以 |k| 3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页1P 为双曲线y2
26、x215 1 下支上一点， M，N 分别是圆x2(y4)24 和 x2(y4)21 上的点，则 |PM|PN|的最小值为 _解析： 已知两圆圆心(0,4)(0， 4)(记为 F1和 F2) 恰为双曲线y2x2151 的两焦点当|PM|最小， |PN|最大时， |PM|PN|最小|PM|的最小值为P 到圆心 F1的距离 |PF1|与圆 F1半径之差，同样，PNmax|PF2|1，从而(|PM |PN|) |PF1|2 |FP2|1|PF1|PF2| 3 1. 答案： 1 2以直线x 2y0 为渐近线，且截直线xy30 所得弦长为8 33的双曲线方程为_解析： 设双曲线方程为x24y2 ，联立方程
27、组x24y2 ，xy30，消去 y，得 3x224x(36 )0. 设直线被双曲线截得的弦为AB，且 A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么，x1x28，x1x236 3， 2421236 0.所以 |AB|1k2 x1x224x1x2 118243638 1238 33. 解得 4，故所求双曲线方程是x24y21. 答案：x24y21. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页3椭圆x2a2y2b21(ab0)与直线 xy10 相交于 P，Q 两点， 且OPOQ(O 为坐标原点 )(1)求证：1a21b2等于定值；
28、(2)当离心率e33，22时，求长轴长的取值范围解： (1)证明：由x2a2y2b21，xy10，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0. 由 4a4 4(a2 b2)a2(1b2)0 得 a2b21. 设 P(x1，y1)， Q(x2，y2)，则 x1x22a2a2b2，x1 x2a21b2a2b2. OPOQ， x1x2y1y22x1x2 (x1x2)1 2a21b2a2b22a2a2b210，化简得 a2b2 2a2b2. 1a21b22 为定值(2) eca，b2a2c2，a2b22a2b2， a22e22 1e21212 1e2. 又 e33，22，54a232，即52a62. 2a 5，6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页长轴长的取值范围是 5，6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页