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1、 初二人教暑假强化练习题（一） 轴对称与等腰三角形强化练习 说明：题目有难有易，特别几道题目超过上课讲解难度，学员可作为挑战题训练，后附详细答案。如对题目和答案有任何疑问，可联系我一起谈论研究，徐老师邮箱：. 学而思网校 徐德直老师 2017/8/11 第 1页（共 12 页） 对称轴与等腰三角形强化练习对称轴与等腰三角形强化练习 一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题；共小题；共 4040 分）分） 1. 至少有两边相等的三角形是 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 锐角三角形 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是 A. B. C. D. 3. 如图所示的图形
2、中，不是轴对称图形的 A. B. C. D. 4. 下列图形中，是轴对称图形的有 直线 三角形 圆 线段 正方形 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 如果一个三角形是轴对称图形，那么它一定是 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 6. 如图， 中， 的垂直平分线交 ， 于点 ， 交 延长线于点 ，若 ，则四边形 的周长是 第 2页（共 12 页） A. B. C. D. 7. 如图，先将正方形纸片对折，折痕为 ，再把 点折叠在折痕 上，折痕为 ，点 在 上的对应点为 ，沿 和 剪下得到 ，则下列选项正确的个数为 垂直平分 ； ； ； 是一个等边三角形
3、A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图所示，在 的内部有一点 ，点 与 关于 对称，点 与 关于 对称，若 ，则 是 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空题（共二、填空题（共 3 3 小题；共小题；共 1515 分）分） 9. 如图所示剪纸作品有 条对称轴 10. 如图， 的边 与 轴正半轴重合，点 是 上的一动点，点 是 上的一定点，点 是 的中点，要使 最小，则点 的坐标为 第 3页（共 12 页） 11. 如图，等腰三角形 中，点 在线段 上运动（不与 ， 重合），将 与 分别沿直线 ， 翻折得到 与 给出下列结论： ； 的大小
4、不变； 面积的最小值为 ；当点 在 的中点时， 是等边三角形其中所有正确结论的序号是 三、解答题（共三、解答题（共 7 7 小题；共小题；共 9191 分）分） 12. 如图， 中， （1）作边 的垂直平分线 （保留作图痕迹，不写作法） （2）在已知的图中，若 交 于点 ，连接 ，求 的度数 13. 【新知理解】 如图 ，若点 ， 在直线 同侧，在直线 上找一点 ，使 的值最小 第 4页（共 12 页） 作法：作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，则点 即为所求 （1）【解决问题】 如图， 是边长为 的等边三角形 的中线，点 ， 分别在 ， 上，则 的最小值为 ； （2）【拓展研究
5、】 如图 ，在四边形 的对角线 上找一点 ，使 （保留作图痕迹，并对作图方法进行说明） 第 5页（共 12 页） 14. 已知：如图所示， 中， （1）用直尺和圆规作 的垂直平分线，分别交 ， 于点 ，（保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想 与 之间有何数量关系，并证明你的猜想 15. 解答： （1）如图， 是等边三角形 所在平面上有一点 ，使 ， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点 有几个?在图中画出来 （2）如图，正方形 所在的平面上有一点 ，使 ， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点 有几个?在图中画出来 16. 如图，在 中，点 在 上， （1）作 的垂直平分线 ，分别交 ， 于
6、， （不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接 ，求 与 的大小 第 6页（共 12 页） 17. 如图，已知在 中， 的垂直平分线交 于点 ，若 ，求 的长 18. 数学兴趣小组在活动中遇到这样一个问题： 定义：如果一个角的顶点与另一个角的顶点重合或者在另一个角的边上则称这两个角互为“友好角” 已知：如图，请你画出 的一个“友好角”，而且它与 相等（可以利用三角板的直角作垂线，可以利用直尺和三角板作平行线，用圆规作相等的线段） 小明在解决问题的过程中想到了以角相等为结论的定理：全等三角形的对应角相等他的作法是： 在 上取点 ，在 上取点 ，连接 ； 以 为圆心， 为半径画弧，交 与于点 ； 以
7、 为圆心， 为半径画弧，再以 为圆心， 为半径画弧，两弧交于点 ； 连接 ，作射线 第 7页（共 12 页） 这样，他作出了 ，从而得到 由于 的顶点 在 的边 上，所以 是与 相等的“友好角”在解决问题的过程中小明用到的数学知识有：全等三角形的对应角相等；有三边分别相等的两个三角形全等 小慧想到的以角相等为结论的定理是：等腰三角形的性质“三线合一”她的作法是： 在 上取点 ，作 于点 ，延长 ； 以 为圆心， 为半径画弧，交 的延长线于点 ； 作射线 请你帮助小慧补全图形，并完成以下问题： （1）小慧的作图方法中，与 相等的“友好角”是 ；在解决问题的过程中用到的数学知识有 ； （2）请你用
8、两种不同的方法画出符合要求的角，不用写作法，保留作图痕迹，并且指明与 相等的“友好角”是哪个角 第 8页（共 12 页） 答案答案 第一部分第一部分 1. B 2. A 3. A 4. C 5. A 6. C 7. D 8. D 【解析】因为 是 的垂直平分线，所以 ，同理因为 是 的垂直平分线，所以 ，则 ， 第二部分第二部分 9. 10. 11. 【解析】对于，因为 与 翻折得到 与 ，所以 ，所以 ，所以正确； 对于，由得 ，所以 ，为定值，所以正确； 对于，因为 ，所以当 取得最小值时， 的面积取得最小值，即当 最小时， 的面积取得最小值，由题意得当 时， 取得最小值因为 ，所以 ，则
9、在 中，易得 ，则 ，在 中，作 边上的高 ，易得 ，所以 ，所以 的面积为 ，所以错误 对于，由翻折的性质易得 ，所以 与 为等边三角形，所以 ，当点 为 的中点时，所以 为等边三角形，正确 综上所述，正确结论的序号为 第三部分第三部分 12. （1） 如图： （2） 如图 第 9页（共 12 页） 因为 的垂直平分线 交 于 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 13. （1） 【解析】如图 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 ， 当点 ， ， 在一条直线上时，（最短）， 当 时， 最短，此时 ， 中， 的最小值为 （2） 方法 ：如图 ，作 关于 的对称点 ，连接
10、 并延长，交 于 ，点 即为所求，连接 ，则 【解析】方法 ：如图 ，作点 关于 的对称点 ，连接 并延长与 的交于点 ，点 即为所求，连接 ，则 第 10 页（共 12 页） 14. （1） （2） 连接 ，则 因为 ， 所以 ，于是 ， 所以 故 ，即 15. （1） 个 如图，当点 在 内部时， 是边 ， 的垂直平分线的交点；当点 在 外部时， 是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点，每条垂直平分线上得 个交点故具有这样性质的点 共有 个 （2） 个 如图，两条对角线的交点是 个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有 个这些点就是所要求的点 . 第 11 页（共 12 页） 16. （1） 如图 即为所求 （2） ， . ， . . 由（1）知， 垂直平分 ， . . . 17. 连接 的垂直平分线交 于 ， ， ， ， ， 在 中， 第 12 页（共 12 页） ，即 又 ， 18. （1） 补全图形如图 ；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） （2） 为 相等的“友好角”. 为 相等的“友好角”.（ ）.