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1、高中数学圆锥曲线复习总结：椭圆( 2011 高考 ) 圆锥曲线复习资料(一)- 椭圆一、曲线与方程1、求曲线 (图形 )方程的方法及其具体步骤如下（1）建立坐标系；设动点坐。 （ 2）由限制条件，列出几何等式。 （3）代换（ 4）化简（5）证明（常注意方程变量的取值范围)。 2、求曲线方程的常见方法：（ 1）直接法（直译法） （2）转移代入（ 3）几何法（定义法） （ 4）参数法（ 5）交轨法3、已知曲线方程求曲线：如 （1）方程 x2y2x3y20 表示什么曲线？22 （2）方程xy1xy40 表示什么曲线？解： （1）原方程等价于：xy1xy20 为两条直线x2y240（2）原方程等价于：
2、或 x2y24 xy10 所以，曲线C 为圆： x2y24 和直线 xy1 在此圆外面的两条射线（画图）三、椭圆性质的挖掘x2y2 椭圆 221 上任意一点P(x，y)(y 0)与两焦点F1(c,0)，F2 (c,0)，设F1PF2ab 2 （1） 构成的 PF1F2 称为焦点三角形，其周长为2(ac)，其面积SPF1F2btan 2 （2）a-c |PF1| a+c (3)b |PF1|PF2| a （4）F1PF2min0,F1PF2maxF1BF2 (5) 过焦点 F1 的弦 AB ，则 ABF2 的周长为 4a. 2 2 y2x2x2y2 与 221（ab0）共焦点的椭圆为221 ab
3、akbk 四、直线与椭圆的位置关系1直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离2消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础3直线 ykx b(k 0)与圆锥曲线相交于A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)两点，则222 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页当直线的斜率存在时，弦长公式：lkx1x2=(1k)(x1x2)4x1x2 或当 k 存在且不为零时l112 yy1(yy)4y1y2。
4、 121222 kk 五、例题讲解：题型一、求椭圆的标准方程例 1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2)，并且椭圆经过点(（3）焦距为 6，ab1；（4）椭圆经过两点(35 ,)； 22 35 ,)， 。 22 x2y2 解析： （1）椭圆的焦点在x 轴上，故设椭圆的标准方程为221（ab0） ，ab 222 2a10，c4， bac9，x2y2 1。 所以，椭圆的标准方程为259 y2x2 （2）椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为221（ab0） ，ab
5、由椭圆的定义知，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页2a222 a10，又 c2， bac1046，y2x2 1。 所以，椭圆的标准方程为106 （3）焦距为6， c3，222 abc9，又 ab1， a5，b4，x2y2y2x2 1 或1 所以，椭圆的标准方程为25162516 （4）设椭圆方程为xy1（m,n0） ， mn22 5232()()1由m 得 m6,n10， n 351mn y2x2 1 所以，椭圆方程为106 例 2、 （1）与圆 C1：(x 3)y1 外切，且与圆C2：(x3)y81b16，所求椭圆
6、的方程为2516 x2y2 1 （2）用定义得432 题型二、椭圆的几何性质的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页x2y2 例 3、 （1） 椭圆 =1 的焦点为F1 和 F2，点 P 在椭圆上 .如果线段PF1 的中点在y 轴上，123 那么 |PF1|是|PF2|的（）A.7 倍B.5 倍C.4 倍D.3 倍解：不妨设F1（ 3，0） ，F2（3，0）由条件得P（3，因此 |PF1|=7|PF2|，故选 A。 33） ，即 |PF2|=，|PF1|=，222 x2y2 0（2）如图， A、B、C 分别为椭圆22
7、1（a>b>0 ）的顶点和焦点，若ABC=90 ，则该 ab 椭圆的离心率为x2y2 例 4、已知点P 是椭圆 221（ab0）上一点， F1、ab F2 是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P 使1 （1） ,1) F1PF260.1求椭圆离心率e 的取值范围；2求 PF1F2 的面积答案： 2 32（2）b 3 题型三、直线与椭圆的综合应用0)B(01) ，是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB 例 5设椭圆中心在坐标原点，A(2 ， ，相交于点D，与椭圆相交于E、F 两点（）若ED6DF，求 k 的值；（）求四边形AEBF 面积的最大值x2 y21， （）解：依题设得椭圆的方
8、程为4 直线 AB ，EF 的方程分别为x2y2，ykx(k0)如图，设D(x0， kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中 x1x2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页且 x1，x2 满足方程 (14k2)x24，故 x2x115 由 ED6DF 知 x0 x16(x2x0)，得
9、x0(6x2x1)x2； 772 由 D 在AB 上知 x02kx02，得 x0 12k 2 所以，12k232 化简得 24k25k60，解得 k或 k 38 （）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点E，F 到 AB 的距离分别为h1 h2又 ABAEBF 的面积为1AB(h1h2) 2 1 2S 1 当 2k1，即当 k时，上式取等号所以S 的最大值为2 解法二：由题设，BO1，AO2设 y1kx1，y2kx2，由得x20，y2y10，故四边形AEBF 的面积为SSBEFSAEFx22y2 当 x22y2 时，上式取等号所以S 的最大值为yx1(ab0)22ab 5 线 C2:x24y
10、 的焦点 ,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且|MF1|3(1)求椭圆 C1 的方程 ; 例 6、已知 F1、F2 分别为椭圆C1: (2)已知点 P(1,3)和圆 O:x2y2b2,过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两点A,B, 在线段 AB 上取一点22 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页Q,满足 :APPB,AQQB,(0 且1). 求证 :点 Q 总在某定直线上. 故 x024y0, .解 :(1)由 C2:x24y 知 F1(0,1),设 M(x0,y0)(x00),因 M 在抛物
11、线 C2 上, 552,则 y0 1, , 由解得x0,y0. 而点 M 椭圆上 ,33322()248 1 即 221, , 又 c1,则 b2a21, 故有 22 ab9a3b y2x222 1. 由可解得a4,b3,椭圆 C1 的方程为 43 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y), x1x21由 APPB 可得:(1x1,3y1)(x21,y23),即y1y23(1) x1x2(1)x由AQQB可得:(xx1,yy1)(x2x,y2y),即yy(1)y12 得 :x122x22(12)x 得 :y122y223y(12) 又|MF1|两式相加得 (x12y12)2(
12、x22y22)(12)(x3y) 又点 A,B 在圆 x2y23 上,且1,所以 x12y123,x22y223 即 x3y3,点Q 总在定直线x3y3 上. 例 7、 已知动点 P 与双曲线 x2y2=1 的两个焦点F1、 F2 的距离之和为定值， 且 cos F1PF2的最小值为1。 3 （1）求动点 P 的轨迹方程 ; （2）设 M（0,1） ，若斜率为k(k 0)的直线与P 的轨迹交于不同的两点A、B，试求 k 的取值范围，使|MA|=|MB| ；（3）若直线 l:y=x+m 与 P 的轨迹交于不同的两点A、B，且 ABM 到直线 l 的距离。，求 3，M （0， 1）x2y2 1 （
13、 a>2 ） 解： (1)设 P 的轨迹方程为22 aa2 a2a2(22)241 12，a2=3 cosF1PF2最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页2aa3a xy21 3 （2）设 A（x,y）,B(x2,y2) P 点轨迹方程为2 MAx1(y11)2 MB2222x2(y11)2 MA|MB| |MA|2=|MB|2 2x1+(y1+1)2=x22+(y2+1)2 (x1+x2)(x1 x2)+(y1+y2+2)(y1 y2)=0 y2y1k x2x1 122xy1113(x1+x2)+k(y1
14、+y2+2)=0 (A) 1x2y21223 两式相减得 (x1x2)(x2x2)(y1y2)(y1y2)0 (x1x2)k(y1y2)0 代入（ A）k(2y12y2+2)=0 k 0 1313 l:ykxb y1+y2=1 x1+x1= 3k 设直线方程为l:y=kx+b x2 2y13 6bkx2 3k (kxb)21 (3k2+1)x2+6bkx+3b2 3=0 x1+x2=23k13 3b2122b=3k+1 =(6bk) 4(3k+1)(3b 3)>0 3k+1>b 3k+1>() 22222222k2<1 k（ 1， 1）l:yxmx222(xm)1 （3）x 23y13 3xxm212224x+6mx+3m 3=0 设 A（x1,y1）,B(x2,y2) xx3(m21)124|x1x2|=3m23 |AB|=43k2|x1x2|2m233m= 2 4 21 m=2 时， l:yx2 2m=2 时， l:yx2 M 到 l 距离 d1= M 到距离 d2=21 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页