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1、1 直线和圆锥曲线常考题型运用的知识 ：1、中点坐标公式：1212,y22xxyyx，其中,x y是点1122(,)(,)A x yB xy，的中点坐标。2、弦长公式：假设点1122(,)(,)A x yB xy，在直线(0)ykxb k上，则1122ykxbykxb，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx221212(1)()4kxxx x或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk2121221(1)()4yyy yk。3、两条直线11122
2、2:,:lyk xb lyk xb垂直：则121k k两条直线垂直，则直线所在的向量120v v4、韦达定理：假设一元二次方程20(0)axbxca有两个不同的根12,x x，则1212,bcxxx xaa。常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题 1、已知直线:1lykx与椭圆22:14xyCm始终有交点，求m的取值范围解：根据直线:1lykx的方程可知，直线恒过定点0，1 ，椭圆22:14xyCm过动点0),4mm（ ，且，如果直线:1lykx和椭圆22:14xyCm始终有交点，则14mm，且，即14mm且。规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101
3、lykx过定点（ ， ）:(1)1lyk x过定点（，0）:2(1)1lyk x过定点（，2）题型二：弦的垂直平分线问题例题 2、过点 T(-1,0) 作直线l与曲线 N ：2yx交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在一点E(0 x,0)，使得ABE是等边三角形，假设存在，求出0 x；假设不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页2 设直线:(1)lyk x，0k，11(,)A x y，22(,)B xy。由2(1)yk xyx消 y 整理，得2222(21)
4、0k xkxk由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410kkk即2104k由韦达定理，得：212221,kxxk121x x。则线段 AB 的中点为22211(,)22kkk。线段的垂直平分线方程为：221112()22kyxkkk令 y=0,得021122xk，则211(,0)22EkABE为正三角形，211(,0)22Ek到直线 AB 的距离 d 为32AB。221212()()ABxxyy2221 41kkk212kdk22223 141122kkkkk解得3913k满足式此时053x。题型三：动弦过定点的问题例题 3、已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，且在
5、 x 轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。I求椭圆的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页3 II假设直线:(2)lxt t与 x 轴交于点T,点 P 为直线l上异于点T 的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解： I由已知椭圆C 的离心率32cea，2a,则得3,1cb。从而椭圆的方程为2214xyII设11(,)M x y，22(,)N xy，直线1AM的斜率为1k,则直线1AM的方程为1(2)yk x，由122(2)44yk xx
6、y消 y 整理得222121(14)161640kxk xk12x和是方程的两个根，21121164214kxk则211212814kxk，1121414kyk，即点 M 的坐标为2112211284(,)1414kkkk，同理，设直线A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为2222222824(,)1414kkkk12(2),(2)ppyk tyk t12122kkkkt，直线 MN 的方程为：121121yyyyxxxx，令 y=0 ，得211212x yx yxyy，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：4xt又2t，402t椭圆的焦点为( 3,0)43t，即4 33t故当4 33t时
7、， MN 过椭圆的焦点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页4 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题 4、已知点A、B、C 是椭圆 E：22221xyab(0)ab上的三点，其中点A(2 3,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心 O，且0AC BC，2BCAC，如图。(I)求点 C 的坐标及椭圆E 的方程；(II) 假设椭圆 E 上存在两点P、Q，使得直线PC 与直线 QC 关于直线3x对称，求直线PQ 的斜率。解： (I) 2BCAC，且 BC 过椭圆的中心O OCAC0AC BC2ACO又A (23,0)
8、点 C 的坐标为( 3,3)。A(2 3,0)是椭圆的右顶点，2 3a，则椭圆方程为：222112xyb将点 C( 3,3)代入方程，得24b，椭圆 E 的方程为221124xy(II)直线 PC 与直线 QC 关于直线3x对称，设直线 PC 的斜率为k，则直线QC 的斜率为k，从而直线PC 的方程为：3(3)yk x，即3(1)ykxk，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页5 由223(1)3120ykxkxy消 y，整理得：222(1 3)6 3 (1)91830kxkk xkk3x是方程的一个根，2291833
9、13Pkkxk即2291833(1 3)Pkkxk同理可得：2291833(1 3)Qkkxk3(1)3(1)PQPQyykxkkxk()2 3PQk xxk2123(13)kk2222918391833(13)3(1 3)PQkkkkxxkk2363(13)kk13PQPQPQyykxx则直线 PQ 的斜率为定值13。题型五：共线向量问题例题 5、设过点 D(0,3)的直线交曲线M：22194xy于 P、Q 两点，且DPDQ,求实数的取值范围。解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2), DPDQ(x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即12123(3)xxyy方法一：方程组消元法又P、Q
10、是椭圆29x+24y=1 上的点22222222194()(33 )194xyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页6 消去 x2，可得222222(33 )14yy即 y2=1356又2y22，213562 解之得：155则实数的取值范围是1,55。方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线 PQ 的方程为：3,0ykxk，由2234936ykxxy消 y 整理后，得22(49)54450kxkxP、Q 是曲线 M 上的两点22(54 )4 45(49)kk2144800k即295k由韦达定理得：12122254
11、45,4949kxxx xkk212121221()2xxxxx xxx222254(1)45(49)kk即22223694415(1)99kkk由得211095k，代入，整理得236915(1)5，解之得155当直线 PQ 的斜率不存在，即0 x时，易知5或15。总之实数的取值范围是1,55。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页7 题型六：面积问题例题 6、已知椭圆C：12222byaxab0的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。求椭圆C 的方程；设直线l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点O 到直
12、线 l 的距离为23，求 AOB 面积的最大值。解： 设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，1b，所求椭圆方程为2213xy。设11()A xy，22()B xy，。1当ABx轴时，3AB。2当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm。由已知2321mk，得223(1)4mk。把ykxm代入椭圆方程，整理得222(31)6330kxkmxm，122631kmxxk，21223(1)31mx xk。22221(1)()ABkxx22222223612(1)(1)(31)31k mmkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk2422212121
13、233(0)34196123696kkkkkk。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页8 当且仅当2219kk，即33k时等号成立。当0k时，3AB，综上所述max2AB。当AB最大时，AOB面积取最大值max133222SAB。题型七：弦或弦长为定值问题例题 7、在平面直角坐标系xOy 中，过定点C0，p作直线与抛物线x2=2pyp0相交于A、B 两点。假设点N 是点 C 关于坐标原点O 的对称点，求 ANB 面积的最小值；是否存在垂直于y 轴的直线l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？假设存在，求出
14、l 的方程；假设不存在，说明理由。依题意，点N 的坐标为 N0,-p,可设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，直线 AB 的方程为 y=kx+p, 与 x2=2py 联立得.22pkxypyx消去y 得 x2-2pkx-2p2=0. 由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 于是21221xxpSSSACNBCNABN21221214)(xxxxpxxp.228422222kppkpp222min0pSkABN）时，（当. 假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a,AC 的中点为为直与ACtO ,径的圆相交于点P、Q，PQ 的中点为H，则）点的坐标为（2,2,11pyxOPQHO精选
15、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页9 2121)(2121pyxACPO22121py. ,221211pyapyaHO222HOPOPH=21221)2(41)(41pyapy),()2(1apaypa22)2(PHPQ=.)()2(42apaypa令02pa，得pPQpa此时,2为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py，即抛物线的通径所在的直线. 解法 2：前同解法1，再由弦长公式得22222122122128414)(11pkpkxxxxkxxkAB. 21222kkp又由点到直线的距离公式得212kpd
16、. 从而，,2212212212122222kpkpkkpABdSABN.22max02pSkABN）时，（当假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a，则以 AC 为直径的圆的方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页10 , 0)()(0(11yypyxxx将直线方程y=a 代入得).(1)2(4)(4,0)(121112apaypayapaxyapaxxx则设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为Px2,y2,Qx4,y4,则有. )()2(2)()2(41143apaypaapaypaxxPQ令pPQpap
17、a此时得,2,02为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py. 即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题 8、 如图 21图，M-2，0和N2，0是平面上的两点，动点P满足：6.PMPN求点P的轨迹方程；假设21cosPMPNMPN,求点P的坐标 . 解： ( ) 由椭圆的定义，点P的轨迹是以M 、N为焦点，长轴长2a=6 的椭圆 . 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=225ac，所以椭圆的方程为221.95xy () 由2,1cosPMPNMPN得cos2.PMPNMPNPMPN因为cos1,MPNP不为椭圆长轴顶点，故P、M 、N构成三角形 . 在PMN中，4,MN
18、由余弦定理有2222cos.MNPMPNPMPNMPN将代入，得22242(2).PMPNPMPN故点P在以M 、N为焦点，实轴长为2 3的双曲线2213xy上. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页11 由( ) 知，点P的坐标又满足22195xy，所以由方程组22225945,33.xyxy解得3 3,25.2xy即P点坐标为3 353 353 353 35(,)22222222、（，-）、（ -，）或（，-）.问题九：四点共线问题例题 9、设椭圆2222:1(0)xyCabab过点( 2,1)M，且着焦点为1
19、(2,0)F求椭圆C的方程；当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C相交与两不同点,A B时，在线段AB上取点Q，满足AP QBAQPB， 证明：点Q总在某定直线上解 (1)由题意：2222222211cabcab，解得224,2ab，所求椭圆方程为22142xy(2)方法一设点 Q、A、B 的坐标分别为1122( , ),(,),(,)x yx yxy。由题设知,APPBAQQB均不为零，记APAQPBQB,则0且1又 A，P，B，Q 四点共线，从而,APPB AQQB于是1241xx，1211yy121xxx，121yyy从而22212241xxx，12221221yyy，2又点 A、B 在椭
20、圆 C 上，即221124,(3)xy222224,(4)xy1+2 2 并结合 3 ， 4得424sy即点( ,)Q x y总在定直线220 xy上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页12 方法二设点1122( , ),(,),(,)Q x yA x yB xy，由题设，,PAPBAQQB均不为零。且PAPBAQQB又,P A Q B四点共线，可设,(0, 1)PAAQ PBBQ,于是1141,11xyxy12241,11xyxy2由于1122(,), (,)A x yB xy在椭圆 C 上，将 1 ， 2分别代
21、入C 的方程2224,xy整理得222(24)4(22)140 xyxy3222(24)4(22)140 xyxy(4) (4)(3) 得8(22)0 xy0,220 xy即点( , )Q x y总在定直线220 xy上问题十：范围问题本质是函数问题设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点。假设P是该椭圆上的一个动点，求1PF2PF的最大值和最小值；设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角其中O为坐标原点 ，求直线l的斜率k的取值范围。解： 解法一：易知2,1,3abc所以123,0 ,3,0FF，设,P x y，则22123,3,3PFPFxyxyxy22
22、21133844xxx因为2,2x，故当0 x，即点P为椭圆短轴端点时，12PF PF有最小值2当2x，即点P为椭圆长轴端点时，12PF PF有最大值1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页13 解法二：易知2,1,3abc，所以123,0 ,3,0FF，设,P x y，则22212121212121212cos2PFPFF FPFPFPFPFF PFPFPFPFPF2222221331232xyxyxy以下同解法一显然直线0 x不满足题设条件，可设直线1222:2,lykxA x yB xy，联立22214ykxx
23、y，消去y，整理得：2214304kxkx12122243,1144kxxxxkk由2214434304kkk得：32k或32k又000090cos000A BA BOA OB12120OA OBx xy y又2121212122224y ykxkxk x xk xx22223841144kkkk22114kk2223101144kkk，即24k22k故由、得322k或322k问题十一、存在性问题： 存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形等比、等腰、直角，四边形矩形、菱形、正方形 ，圆设椭圆 E: 22221xyaba,b0过 M2，2 ，N(6,1)两点， O 为坐标原点
24、，I求椭圆 E 的方程；II是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OAOB？假设存在，写出该圆的方程，并求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页14 | AB | 的取值范围，假设不存在说明理由。解:1因为椭圆E: 22221xyaba,b0过 M2，2 ，N(6,1)两点 , 所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab椭圆 E 的方程为22184xy2假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OAOB,设该圆
25、的切线方程为ykxm解方程组22184xyykxm得222()8xkxm,即222(1 2)4280kxkmxm, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则 =222222164(1 2)(28)8(84)0k mkmkm,即22840km12221224122812kmxxkmx xk,22222222212121212222(28)48()()()121212kmk mmky ykxmkxmk x xkm xxmmkkk要使OAOB,需使12120 x xy y,即2222228801212mmkkk,所以223880mk,所以223808mk又22840km,所以22238mm,所以2
26、83m,即2 63m或2 63m,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mrk,222228381318mmrmk,2 63r,所求的圆为2283xy,此时圆的切线ykxm都满足2 63m或2 63m,而当切线的斜率不存在时切线为2 63x与椭圆22184xy的两个交点为2 62 6(,)33或2 62 6(,)33满足OAOB,综上 , 存在圆心在原点的圆2283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OAOB. 因为12221224122812kmxxkmx xk, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
27、- - -第 14 页，共 15 页15 所以222222121212222 24288(84)()()4()41 212(1 2)kmmkmxxxxx xkkk, 2222222121212228(84)|()(1)()(1)(12)kmABxxyykxxkk422424232 45132134413441kkkkkkk, 当0k时22321|11344ABkk因为221448kk所以221101844kk, 所以223232111213344kk, 所以46| 2 33AB当且仅当22k时取 ” =” . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当0k时,4 6|3AB. 当 AB 的斜率不存在时 , 两个交点为2 62 6(,)33或2 626(,)33,所以此时4 6|3AB, 综上 , | AB | 的取值范围为46| 2 33AB即: 4| 6, 2 33AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页