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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学圆锥曲线复习总结：椭圆 2022 高考 圆锥曲线复习资料 一- 椭圆一、曲线与方程1、求曲线 图形 方程的方法及其详细步骤如下（1）建立坐标系；设动点坐； （ 2）由限制条件,列出几何等式； （3）代换（ 4）化简（5）证明（常留意方程变量的取值范畴 ； 2、求曲线方程的常见方法：（ 1）直接法（直译法） （2）转移代入（ 3）几何法（定义法） （ 4）参数法（ 5）交轨法 3、已知曲线方程求曲线：如 （1）方程 x2 y2 x 3y 2 0 表示什么曲线？22 （2）方程 x y 1 x y 4 0 表示什么曲线？解：（1）原方程等价
2、于：x y 1 x y 2 0 为两条直线x2 y2 4 0（2）原方程等价于：或 x2 y2 4 x y 1 0 所以,曲线 C 为圆： x2 y2 4 和直线 x y 1 在此圆外面的两条射线（画图）三、椭圆性质的挖掘x2y2 椭圆 221 上任意一点Px,yy 0 与两焦点F1c,0,F2 c,0,设F1PF2ab 2 （1） 构成的PF1F2 称为焦点三角形,其周长为2ac,其面积 S PF1F2btan 2 （2）a-c |PF1| a+c 3b |PF1|PF2| a （4）F1PF2min0,F1PF2maxF1BF2 5 过焦点 F1 的弦 AB ,就 ABF2 的周长为 4a
3、. 2 2 y2x2x2y2 与 2 2 1（ab0）共焦点的椭圆为 2 2 1 aba kb k 四、直线与椭圆的位置关系1直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次方程,然后通过判别式 来判定直线和椭圆相交、相切或相离2消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之积的形式,这是进一步解题的基础3直线 ykx bk 0 与圆锥曲线相交于222 Ax1 , y1,Bx2 , y2两点,就名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当直线的斜率存在时,弦长公式：lkx1x2=1kx1x
4、24x1x2 或当 k 存在且不为零时 l112 yy1yy4y1y2； 121222 kk 五、例题讲解：题型一、求椭圆的标准方程例 1求适合以下条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是4,0、4,0,椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；1；（2）两个焦点的坐标分别是0,2、0,2,并且椭圆经过点（3）焦距为 6,ab（4）椭圆经过两点35 ,； 22 35 ,； 22 x2y2 解析：（1）椭圆的焦点在x 轴上,故设椭圆的标准方程为221（ab0）,ab 222 2a10,c4, bac9,x2y2 1； 所以,椭圆的标准方程为259 y2x2 （2）椭圆焦点在y 轴上,故设椭
5、圆的标准方程为221（ab0）,ab 由椭圆的定义知,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2a222 a10,又 c2, bac1046,y2x2 1； 所以,椭圆的标准方程为106 （3）焦距为6, c3,222 abc9,又 ab1, a5,b4,x2y2y2x2 1 或 1 所以,椭圆的标准方程为25162516 （4）设椭圆方程为xy1（m,n0）, mn22 5232mn 1由m 得 m6,n10, n 351y2x2 1 所以,椭圆方程为 106 例 2、（1）与圆 C1：x 3y1 外切,且与圆 方程为
6、2516 x2y2 1 （2）用定义得 432 题型二、椭圆的几何性质的应用C2：x3y81b16,所求椭圆的名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - x2y2 例 3、（ 1）椭圆 =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上 .假如线段 PF1 的中点在y 轴上,123 那么 |PF1|是|PF2|的（）A.7 倍B.5 倍C.4 倍D.3 倍解：不妨设F1（ 3,0）,F2（3,0）由条件得P（3,因此 |PF1|=7|PF2|,应选 A； 33）,即 |PF2|=,|PF1|=,222 x2y2 0（2）如图,
7、A 、B、C 分别为椭圆221（a>b>0 ）的顶点和焦点,如ABC=90 ,就该 ab 椭圆的离心率为x2y2 例 4、已知点 P 是椭圆 221（ab0）上一点, F1、ab 2求 PF1F2 的面积答F2 是椭圆的两个焦点,且椭圆上存在一点P 使1（1）,1 F1PF260.1求椭圆离心率e 的取值范畴；案： 2 32（2）b 3 题型三、直线与椭圆的综合应用0B01 ,是它的两个顶点,直线ykxk0与AB 例 5设椭圆中心在坐标原点,A2 ,相交于点 D,与椭圆相交于E、F 两点（）如ED6DF,求 k 的名师归纳总结 值； （）求四边形AEBF 面积的最大值x2 x2y2
8、,第 4 页,共 9 页y21, （）解：依题设得椭圆的方程为4 直线 AB ,EF 的方程分别为ykxk0如图,设 Dx0 , kx0 ,Ex1,kx1 ,Fx2,kx2 ,其中 x1x2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 且 x1,x2 满意方程 14k2x24,故 x2x1x0,得 x06x2x1x2； 772 由 D 在15
9、 由 ED6DF 知 x0x16x2AB 上知 x02kx02,得 x0 12k 0,解得 k或 k 38 2 所以,12k232 化简得 24k25k6（）解法一：依据点到直线的距离公式和式知,点h1 h2又 AB AEBF 的面积为1ABh1 h2 2 1 2SE,F 到 AB 的距离分别为 1 当 2k1,即当 k时,上式取等号所以y1S 的最大值为2 解法二：由题设,BO1,AO20,设 y1kx1 ,y2kx2 ,由得 x20,y2故四边形 AEBF 的面积为S S BEF S AEF x2 2y2 当 x2 2y2 时,上式取等号所以 S 的最大值为yx 1a b 022ab 5
10、线 C2:x24y 的焦点 ,点 M 是 C1 与 C2 在其次象限的交点,且|MF1|31 求椭圆 C1 的方程 ; 例 6、已知 F1、F2 分别为椭圆C1: 2已知点 P1,3和圆 O:x2y2b2,过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两点A,B, 在线段 AB 上取一点22 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - Q,满意 :APPB,AQQB,0 且1. 求证 :点 Q 总在某定直线上. 故 x024y0, 4y 知 F10,1,设 Mx0,y0x00,因 M 在抛物线 C2 上, .解 :1由 C2:
11、x2552,就 y0 1, , 由解得x0,y0. 而点 M 椭圆上 ,33322248 1 即 221, , 又 c1,就 b2a21, 故有 22 ab9a3b y2x222 1. 由可解得a4,b3,椭圆 C1 的方程为 43 x21由 APPB 可2设 Ax1,y1,Bx2,y2,Qx,y, x1得:1x1,3y1x21,y23,即2y22AQQB可y1y231 x1x21x由得:xx1,yy1x2x,y2y,即yy1y12 3y12 得 :x122x2212x 得 :y12又|MF1|两式相加得 x12y122x22y2212x3y y223 即 x3y3,点又点 A,B 在圆 x2
12、y23 上,且1,所以 x12y123,x22Q 总在定直线x3y3 上. 例 7、已知动点 P 与双曲线 x2y2=1 的两个焦点 的最小值为1； 3 F1、F2 的距离之和为定值, 且 cos F1PF2（1）求动点 P 的轨迹方程 ; （2）设 M（0,1）,如斜率为 kk 0 的直线与 P 的轨迹交于不同的两点 A 、B,试求 k 的取值范畴,使 |MA|=|MB| ；（3）如直线 l:y=x+m 与 P 的轨迹交于不同的两点 A、B,且 AB M 到直线 l 的距离；,求 3,M （0, 1）x2y2 名师归纳总结 aa1 （ a>2 ） 解： 1设 P 的轨迹方程为22 第
13、8 页,共 9 页2 a2a222241 12,a2=3 cosF1PF2 最小值为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2aa3a xy21 3 （2）设 A（x,y ）,Bx2,y2 P 点轨迹方程为 2 MA x1 y1 12 MB2222 x2 y1 12 MA |MB| |MA|2=|MB|2 2x1+y1+12=x22+y2+12 x1+x2x1 x2+y1+y2+2y1 y2=0 y2 y1 k x2 x1 122x y 111 3x1+x2+ky1+y2+2=0 A 1 x2 y2 122 3 两式相减得 x1 x2x2 x2 y1 y2y
14、1 y2 0 x1 x2 ky1 y2 0 代入（ A）k2y12y2+2=0 k 0 1313 2l:ykxb y1+y2=1 x1+x1= 3k 设直线方程为l:y=kx+b x2 y13 6bkx2 名师归纳总结 3k kxb21 3k2+1x2+6bkx+3b2 3=0 x1+x2=23k13 3k+1> 第 9 页,共 9 页3b2122b=3k+1 =6bk 43k+13b 3>0 3k+1>b 22222222k2<1 k（ 1, 1）l:yxmx222xm1 （3）x 23y13 3xxm212224x+6mx+3m 3=0 设 A（x1,y1）,Bx2,y2 xx3m21124|x1x2|=3m23 |AB|=43k2|x1x2|2m233m= 2 4 21 m=2 时, l:yx2 2m=2 时, l:yx2 M 到 l 距离 d1= M 到距离 d2=21 2 - - - - - - -