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1、圆锥曲线 (文科练习题）1. （ 2011 年东城区期末文7）已知斜率为2的直线l过抛物线2yax的焦点F，且与y轴相交于点A，若OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ D ）A24yx B28yx C24yx或24yx D28yx或28yx2 （ 2011 年房山区期末文7）已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程是3yx，它的一个焦点在抛物线28yx的准线上，则双曲线的方程为（ A ）A2213yx B2213xy C221412xy D221124xy3 （2011 年朝阳期末文7）设椭圆的两个焦点分别为1F，2F，过2F作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一
2、个交点为P，若12F PF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ A ）A21 B212 C2 2 D227. （ 2011 年东城区期末文13）设椭圆的两个焦点分别为1F，2F，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若12F PF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为答案：21。8 （ 2011 年西城期末文13）已知双曲线22221xyab的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28yx的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_ _；渐近线方程为_. 答案：( 2,0)，30 xy。11 （2011 年海淀期末文11）椭圆2212516xy的右焦点F的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C的焦点也为F，则其标准方程
3、为 .答案： (3,0)212yx 。答案：)0,5( , 120522yx。16. （ 2011 年东城区期末文19） 已知椭圆22221(0)xyabab的长轴长为4， 且点3(1,)2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 在椭圆上（）求椭圆的方程； （）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于,A B两点，若以AB为直径的圆过原点，求直线l方程解： （）由题意：24a，2a所求椭圆方程为22214xyb又点3(1,)2在椭圆
4、上，可得1b所求椭圆方程为2214xy5 分（）由（）知224,1ab，所以3c，椭圆右焦点为( 3,0)因为以AB为直径的圆过原点，所以0OA OB若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为3x直线AB交椭圆于11( 3,),(3,)22两点，1304OA OB，不合题意若直线AB的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为(3)yk x由22(3),440,yk xxy可得2222(1 4)8 31240kxk xk由于直线AB过椭圆右焦点，可知0设1122(,),(,)A xyB xy，则221212228 3124,1414kkxxx xkk，222121212122(3)(3)3()3
5、14ky ykxxkx xxxk所以2221212222124114()141414kkkOA OBx xy ykkk由0OA OB，即22114014kk，可得242 11,1111kk所以直线l方程为2 11(3)11yx14 分18 （2011 年房山区期末文20）已知椭圆22221xyab（ab0）的离心率32e，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4设直线 l 与椭圆相交于不同的两点A、B，点 A的坐标为（a，0） （）求椭圆的标准方程；（）若4 2|5AB，求直线 l 的倾斜角；( ) 若点 Q0(0,)y在线段 AB的垂直平分线上，且4QBQA，求0y的值名师资料总结 -
6、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 解： （I ）由题意可知24a，e32ca，得3c，222bac，解得21b.-2分所以椭圆的方程为2214xy. -3分( ) 由（I ）可知点 A的坐标是 (2,0). 设点 B的坐标为11(,)xy，直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为(2)yk x. 于是 A、B两点的坐标满足方程组22(2)14yk xxy -4分消去 y 并整理，得2222(1 4)16(164)0kxk xk.
7、 -5分由212164214kxk，得2122814kxk，从而12414kyk. 所以22222222844 1|214141 4kkkABkkk. -6分由4 2|5AB，得224 14 21 45kk. 整理得42329230kk，即22(1)(3223)0kk，解得 k=1.-7分所以直线 l 的倾斜角为4或34. - 8分( ) 设线段 AB的中点为 M ，由（ II ）得到 M的坐标为22282,1414kkkk. 以下分两种情况：(1) 当 k0 时，点 B的坐标是 (2,0) ，线段 AB的垂直平分线为y 轴，于是002,2,QAyQBy，由4QA QB，得y2 20.-10分
8、（2）当0k时，线段 AB的垂直平分线方程为2222181414kkyxkkk令0 x，解得02614kyk. -11分由02,QAy，110,QBx yy，2101022222 28646214141414kkkkQAQBxyyykkkk42224 16151414kkk， -12分整理得272k，故147k，所以02 145y. -13分19. （2011 年东城区示范校考试文19）已知 A（1，1）是椭圆2222byax+1（0ab）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
9、第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 上一点，12,F F是椭圆的两焦点，且满足124AFAF （1）求椭圆的标准方程； （ 2）设点,C D是椭圆上两点，直线,AC AD的倾斜角互补，求直线CD的斜率解： （1）由椭圆定义知2a4，所以a2，2 分即椭圆方程为2224byx+1 4分把（ 1， 1）代人得2141b+1 所以 b2=34，椭圆方程为22344xy 1 6分（2）由题意知， AC的倾斜角不为900, 故设 AC方程为 y=k（ x1）十 1, 7 分联立14341)1_(22=+=yxxky消去 y，得（ 1 3k2）x26k（ k1）x3k26k 10
10、8分点 A（1，1） 、C在椭圆上， xC131_6_322+kkk10 分AC 、AD直线倾斜角互补， AD 的方程为 y k（x） 1，同理 xD22_36131kkk11 分又 yCk（xC1） 1， yD k（xD1） 1，yCyD k（xCxD） 2k31_=DCDCxxyy14 分21 （2011 年西城期末文18）已知椭圆2222:1xyCab（0ba）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的2倍. （）求椭圆C的方程；（）设O为坐标原点，椭圆C与直线1ykx相交于两个不同的点,A B，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为1，求OAB的面积 . 解： （）由题意得1,2c
11、ab， 2 分又221ab，所以21b，22a. 3 分所以椭圆的方程为2212xy. 4 分（）设(0,1)A，11(,)B x y，00(,)P xy，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 联立2222,1xyykx消去y得22(1 2)40kxkx（ * ） ， 6 分解得0 x或2412kxk，所以12412kxk，所以222412(,)1212kkBkk，2221(,)1212kPkk， 8 分因为直线OP的
12、斜率为1，所以112k，解得12k（满足（ *）式判别式大于零）. 10 分O到直线1:12lyx的距离为25， 11 分2211(1)ABxy253， 12 分所以OAB的面积为122252335. 13 分23（2011 年朝阳期末文18） 已知点(4, 0)M，(1, 0)N， 若动点P满足6|MN MPPN（）求动点P的轨迹C的方程；（） 设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点， 若181275NA NB，求直线l的斜率的取值范围. 解： （）设动点( ,)P x y，则(4,)MPxy，( 3, 0)MN，(1,)PNxy. 2 分由已知得22)()1(6)4(3yxx，化简得2234
13、12xy，得22143xy. 所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为13422yx. 6 分（）由题意知，直线l的斜率必存在，不妨设过N的直线l的方程为(1)yk x，设A，B两点的坐标分别为11(,)A xy，22(,)B xy. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 由22(1),143yk xxy消去y得2222(43)84120kxk xk. 8 分因为N在椭圆内，所以0. 所以212221228,34412.34
14、kxxkkx xk10 分因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NBxxy ykxx 1)()1 (21212xxxxk222222243)1 (943438124)1 (kkkkkkk， 12 分所以22189(1)127345kk. 解得213k. 所以31k或13k. 13 分24 （2011 年海淀期末理19）已知点(1, )My在抛物线2:2Cypx(0)p上，M点到抛物线C的焦点 F 的距离为 2，直线:l12yxb与抛物线交于,A B 两点 . （）求抛物线C的方程；（）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；（）若直线l与y轴负半轴相交，求AOB面积的最大值
15、 . 解： （）抛物线22ypx(0)p的准线为2px， .1分由抛物线定义和已知条件可知| 1()1222ppMF，解得2p，故所求抛物线方程为24yx . .3分（）联立2124yxbyx，消 x 并化简整理得2880yyb. 依题意应有64320b，解得2b. .4分设1122(,),(,)A xyB xy，则12128,8yyy yb ， .5分设圆心00(,)Q xy，则应有121200,422xxyyxy. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8
16、页 - - - - - - - - - 因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为0|4ry， .6分又22221212121212|()()(1 4)()5()45(6432 )ABxxyyyyyyy yb . 所以|25(6432 )8ABrb， .7分解得85b. .8分所以12124822224165xxbybyb，所以圆心为24(, 4)5. 故所求圆的方程为2224()(4)165xy. .9分方法二：联立2124yxbyx，消掉y并化简整理得22(416)40 xbxb，依题意应有2216(4)160bb，解得2b. .4分设1122(,),(,)A xyB xy，则21212
17、416,4xxbx xb . .5分设圆心00(,)Q xy，则应有121200,422xxyyxy，因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为0|4ry. .6分又2222121212121215|()()(1)()()45(6432 )44ABxxyyxxxxx xb，又 |28ABr，所以有5(6432 )8b， .7分解得85b， .8分所以12485xx，所以圆心为24(, 4)5. 故所求圆的方程为2224()(4)165xy. .9分（）因为直线l与y轴负半轴相交，所以0b，又l与抛物线交于两点，由（）知2b，所以20b，.10分直线l：12yxb整理得220 xyb，点O到直
18、线l的距离| 2 |255bbd， .11分所以321|4224222AOBSAB dbbbb. .12分令32( )2g bbb ，20b，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 24( )343 ()3g bbbb b，b4( 2,)3434(,0)3( )g b0 ( )g b极大由上表可得( )g b 最大值为432()327g . .13分所以当43b时，AOB 的面积取得最大值32 39 . .14分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -