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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学讨论弹性体由于受外力作用、边界约束或温度转变等缘由而发生的应力、形变和位移；2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应；3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应；4、物体受外力以后, 其内部将发生内力,它的集度称为应力；与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的重量,也就是正应力和切应力；应力及其重量的量纲是 L-1MT-2；5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、匀称性、各
2、向同性；6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题；7、已知一点处的应力重量x100MPa,y50MPa,xy1050MPa,就主应力1150MPa,20MPa,1351 6；y0MPa,xy400MPa,就主应力1512 MPa,8、已知一点处的应力重量,x200MPa,2-312 MPa,1-37 57 ；y1000MPa,xy400MPa,就主应力11052 9、已知一点处的应力重量,x2000MPa,MPa,2-2052 MPa ,1-82 32 ；10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程；11、表示应力重量与体力重量之间关系的方程为平稳微分
3、方程；12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式；分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件；13、按应力求解平面问题经常采纳逆解法和半逆解法；14、有限单元法第一将连续体变换成为离散化结构,然后再用结构力学位移法进行求解；其详细步 骤分为单元分析和整体分析两部分；15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是由于其 他单元发生了形变而连带引起的；16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点 不相同的,即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变；17、为了能从有限单
4、元法得出正确的解答,位移模式必需能反映单元的刚体位移和常量应变,仍应 当尽可能反映相邻单元的位移连续性；18、为了使得单元内部的位移保持连续,必需把位移模式取为坐标的单值连续函数,为了使得相邻单元的位移保持连续,就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移；19、在有限单元法中,单元的形函数Ni 在 i 结点 Ni=1；在其他结点Ni=0 及 Ni=1；20、为了提高有限单元法分析的精度,一般可以采纳两种方法：一是将单元的尺寸减小,以便较好 地反映位移和应力变化情形；二是采纳包含更高次项的位移模式,使位移和应力的精度提高；1 名师归纳总结 - - - - -
5、- -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、判定题 （请在正确命题后的括号内打“ ”,在错误命题后的括号内打“ ”）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何间隙；（）5、假如某一问题中,z zx zy 0,只存在平面应力重量 x,y,xy,且它们不沿 z 方向变化,仅为 x,y 的函数,此问题是平面应力问题；（）6、假如某一问题中,z zx zy 0,只存在平面应变重量 x,y,xy,且它们不沿 z 方向变化,仅为 x,y 的函数,此问题是平面应变问题；（）9、当物体的形变重量完全确定时,位移重量却不能完全确定；（）10、
6、当物体的位移重量完全确定时,形变重量即完全确定；（）14、在有限单元法中,结点力是指结点对单元的作用力；（）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变；（）三、分析运算题1、试写出无体力情形下平面问题的应力重量存在的必要条件,可能在弹性体中存在；（1）xAxBy,yCxDy,xyExFy；并考虑以下平面问题的应力重量是否（2）xA x2y2,yB x2y2,xyCxy；其中, A,B,C,D,E,F 为常数；x yx0x y解：应力重量存在的必要条件是必需满意以下条件：（1）在区域内的平稳微分方程；y xy0y x2 2（ 2 ） 在 区 域 内 的 相 容 方 程 2 2 x
7、 y 0；（ 3 ） 在 边 界 上 的 应 力 边 界 条 件x yl x m yx s f x s；（4）对于多连体的位移单值条件；m y l xy s f y s（ 1）此组应力重量满意相容方程；为了满意平稳微分方程,必需 应力边界条件；A=-F,D=-E；此外仍应满意（ 2）为了满意相容方程,其系数必需满意 A+B=0；为了满意平稳微分方程,其系数必需满意A=B=-C/2；上两式是冲突的,因此,此组应力重量不行能存在；2、已知应力重量xQxy2C1x3,y3C2xy2,xyC2y3C32 xy,体力不计, Q 为常数；2试利用平稳微分方程求系数C1,C2, C3；解：将所给应力重量代入
8、平稳微分方程2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - xxyx0yyyxy0x得Qy23 C 1x23C 2y2C3x203 C2xy2C3xy0即3 C1C3x2Q3C2y203 C22C3xy0由 x,y 的任意性,得由此解得,C1Q,C2Q 3,C3Qxy3 C1C30Q3 C203 C22C30623、已知应力重量xq,yq,0,判定该应力重量是否满意平稳微分方程和相容方程；解：将已知应力重量xq,yq,xy0,代入平稳微分方程xyxX0可知,已知应力重量xq,yq,xyyxyY0yxxy0一般不满意平稳微分方
9、程,只有体力忽视不计时才满意；按应力求解平面应力问题的相容方程：将已知应力重量xq,2x,y02yx2 12xyy2x2xyyqxy代入上式,可知满意相容方程；按应力求解平面应变问题的相容方程：将已知应力重量xq,2x1xyy2y1x122xyy2x2xyyq,0代入上式,可知满意相容方程；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、试写出平面问题的应变重量存在的必要条件,并考虑以下平面问题的应变重量是否可能存在；（1）xAxy,yBy3,xyCDy2；（2）xAy2,yBx2y,xyCxy；（3）x0,y0,xyC
10、xy；其中, A,B,C,D 为常数；解：应变重量存在的必要条件是满意形变和谐条件,即2x2y2xyy2x2xy将以上应变重量代入上面的形变和谐方程,可知：（ 1）相容；（ 2）2 A 2 By C（1 分）；这组应力重量如存在,就须满意：B=0,2A=C；（ 3）0=C；这组应力重量如存在,就须满意：C=0,就 x 0,y 0,xy 0（1 分）；25、证明应力函数 by 能满意相容方程,并考察在如下列图的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计,b 0）；h/2 O x h/2 l/2 l/2 y 解：将应力函数by2代入相容方程x4y24404可知,所给应力函数x422yby2能满意相容
11、方程；由于不计体力,对应的应力重量为x222 b,y220,xy2y0yxx对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,依据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为：上边,yh,l0,m1,xfxyyh0,yfyyh0；2224 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 下边,yh,l0,m1,xfxyyh0,yfyyh0；222左边,x l,l 1,m 0,f x x l 2 b,yf xy l 0；2 x2x2右边,x l,l 1,m 0,f x x l 2 b,yf xy l 0；2 x2x2可见,上下两边没有面力
12、,而左右两边分别受有向左和向右的均布面力 2b；因此,应力函数2by 能解决矩形板在 x 方向受均布拉力（b0）和均布压力（b0）的问题；6、证明应力函数 axy 能满意相容方程,并考察在如下列图的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计,a 0）；h/2 O x h/2 解：将应力函数l/2 l/2 x4y2440axy 代入相容方程y 4可知,所给应力函数x422yaxy 能满意相容方程；由于不计体力,对应的应力重量为x220,y220,xy2yayxx对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,依据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为：上边,yhh 2,l0,m1,fxxyyha,
13、yfyyyh0；下边,22y0,m1,fxxyy,lha,yfyh0；222左边,xll 2,l1,m0,xfxxl0,fyxxyxla；22右边,x1,m0,xfxxxyl0l,l,fya；2225 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可见,在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力 a；因此,应力函数 axy 能解决矩形板受均布剪力的问题；7、如下列图的矩形截面的长坚柱,密度为,在一边侧面上受均布剪力,试求应力重量；O b q x 解：依据结构的特点和受力情形,可以假定纵向
14、纤维互不挤压,即设x0；由此可知g 2xy20将上式对 y 积分两次,可得如下应力函数表达式y x ,yf1xyf2x 将上式代入应力函数所应满意的相容方程就可得yd4f1xd4f2x0dx4dx4这是 y 的线性方程,但相容方程要求它有很多多的解（全柱内的 和自由项都应当等于零,即y 值都应当满意它） ,可见它的系数d4f1x0,d4f2x0dx4dx4这两个方程要求f1xAx3Bx2CxI,f2xDx3Ex2JxK代入应力函数表达式,并略去对应力重量无影响的一次项和常数项后,便得yAx3Bx2CxDx3Ex2对应应力重量为2xy202yx2y 6Ax2B6Dx2Egyxy2y3Ax22Bx
15、Cx以上常数可以依据边界条件确定；左边,x0,l1,m0,沿 y 方向无面力,所以有q右边,xb,l1,m0xyx0C0,沿 y 方向的面力为q,所以有xyxb3Ab22 Bb6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 上边,y0,l0,m1,没有水平面力,这就要求xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即将bxyy0dx0y在这部分边界上0xy的表达式代入,并考虑到C=0,就有而b3Ax22BxdxAx3Bx2b 0Ab3Bb200bxyy00 dx0自然满意；又由于在这部分边界上没有垂直面力,这就要求0合成的主矢
16、量和主矩均为零,即将y 的表达式代入,就有b 0 yy0dx0,b 0byy0xdx00b 0 6Dx2Edx3Dx22Ex3Db22Eb0b 0 6Dx2Exdx2Dx3Ex2b2Db3Eb200由此可得Aq,Bq,C0,D0,E0b2b应力重量为x0, y2qy13xgy, xyqx3x2y=0 处这一bbbb虽然上述结果并不严格满意上端面处（y=0）的边界条件,但依据圣维南原理,在稍远离结果应是适用的；8、证明：假如体力重量虽然不是常量,但却是有势的力,即体力重量可以表示为22V,f x22V x,f yV,其中 V 是势函数, 就应力重量亦可用应力函数表示为,xyyxV,y2xyxy,
17、试导出相应的相容方程；x,y,xy应当满意平证明 ：在体力为有势力的情形下,按应力求解应力边界问题时,应力重量衡微分方程7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - xyxV0（1 分）xyxyxyV0yxy仍应满意相容方程22xy11fxfy（对于平面应力问题）x2y2xy22xy1fxfy（对于平面应变问题）x2y2xy并在边界上满意应力边界条件（1 分）；对于多连体,有时仍必需考虑位移单值条件；第一考察平稳微分方程；将其改写为xxVyx0yyyVxy0x这是一个齐次微分方程组；为了求得通解,将其中第一个方程改写为依据
18、微分方程理论,肯定存在某一函数xxVyyxAA（x, y）,使得xVA,yxyx同样,将其次个方程改写为可见也肯定存在某一函数yyVxyx（1 分）B（x,y）,使得VB x,Byyxy由此得因而又肯定存在某一函数x,y,使得AABxxyy,B代入以上各式,得应力重量8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 222xy2V,yx2V,xyyxyx,必需满意肯定的方程,将上述应力为了使上述应力重量能同量满意相容方程,应力函数重量代入平面应力问题的相容方程,得222222V222V1V122V2Vx2y2yxx2y2222
19、222x2y2yx2x2y2x2y2简写为412V将上述应力重量代入平面应变问题的相容方程,得222222V222V1122V2Vx2y2yxx2y22222212x2y2yx2x2y2Vx2y21简写为4122 V19、如下列图三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为,试用纯三次的应力函数求解；O x g y 解：纯三次的应力函数为ax3bx2ycxy2dy3相应的应力重量表达式为x22xfx2 cx6 dy, y22yfy6ax2bygy, xy2y2 bx2cyyxx这些应力重量是满意平稳微分方程和相容方程的；现在来考察,假如适当挑选各个系数,是否能满足应力边界条件；上边,y0,l0,m1
20、,没有水平面力,所以有9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - xyy02 bx0对上端面的任意x 值都应成立,可见b0同时,该边界上没有竖直面力,所以有对上端面的任意x 值都应成立,可见yy006ax0a因此,应力重量可以简化为斜面,yxtan,lcosx2cx6dy,ymgy,0xy2cy,没有面力,所以有,coscossin2yxyx tanlxmmylxyyxtan0由第一个方程,得对斜面的任意2cx6dx tansin2cxtancos4cx sin6dxtansin0x 值都应成立,这就要求4 c6 dta
21、n0由其次个方程,得对斜面的任意2cxtansingx tancos2cxtansingxsin0x 值都应成立,这就要求2ctang0（1 分）由此解得c1 g 2cot（1 分）,d1 g 3cot2x 方xy从而应力重量为xgx cot2gycot2, ygy, xygycot设三角形悬臂梁的长为l,高为 h,就tanh；依据力的平稳,固定端对梁的约束反力沿l向的重量为0,沿 y 方向的重量为1glh；因此, 所求x在这部分边界上合成的主矢应为零,2应当合成为反力1glh；2hxxldyhglcot2gycot2dyglhcotgh2cot2000hxyxldyhgycotdy1gh2c
22、ot1glh0022可见,所求应力重量满意梁固定端的边界条件；10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10、设有楔形体如下列图,左面铅直,右面与铅直面成角,下端作为无限长,承担重力及液体压力,楔形体的密度为 1,液体的密度为 2,试求应力重量；O x 解：采纳半逆解法；第一应用量纲分析方法来假设应力重量的 函数形式；取坐标轴如下列图；在楔形体的任意一点,每一个2g1g应力重量都将由两部分组成：一部分由重力引起,应当与1g成正比 （g 是重力加速度） ；另一部分由液体压力引起,应当与y 2g成正比；此外,每一部分仍
23、与,x, y 有关；由于应力的量纲是L-1MT-2,1g和2g的量纲是L-2MT-2,是量纲一的量,而 x 和 y 的量纲是 L,因此,假如应力重量具有多项式的解答,那么它们的表达式只可能是A1gx,B1gy,C2gx,D2gy四项的组合,而其中的A,B,C,D 是量纲一的量,只与有关；这就是说,各应力重量的表达式只可能是x 和 y 的纯一次式；其次,由应力函数与应力重量的关系式可知,应力函数比应力重量的长度量纲高二次,应当是 x 和 y 纯三次式,因此,假设ax3bx2ycxy2dy3相应的应力重量表达式为x22xfx2 cx6dy, y22yfy6ax2 by1gy, xy2y2 bx2c
24、yyxx这些应力重量是满意平稳微分方程和相容方程的；现在来考察,假如适当挑选各个系数,是否能满 足应力边界条件；左面,x0,l1,m0,作用有水平面力2gy,所以有对左面的任意xx06dy2gyy 值都应成立,可见d2g6同时,该边界上没有竖直面力,所以有对左面的任意y 值都应成立,可见xyx002cy0c因此,应力重量可以简化为x2gy,y6ax2by1 gy,xy2 bx11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 斜面,xytan,lcos,mcos2sin,没有面力,所以有lxymyxxytan0mlxyxytan0由第一个方程,得对斜面的任意y 值都应成立,这就要求2gy cos2bytansin02gcos2btansin0由其次个方程,得6 aytan2by1gysin2 bytancosb6 atansin4 bsin1gsiny0对斜面的任意x 值都应成立,这就要求6atan41g0由此解得a11gcot12gcot3,b12cot2632从而应力重量为x2gy, y1g cot22g cot3x2gcot21gy, xy2gx cot212 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页