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1、1 弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是 L-1MT-2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问
2、题。7、已知一点处的应力分量100 xMPa，50yMPa，5010 xyMPa，则主应力1150MPa，20MPa，16135。8、已知一点处的应力分量，200 xMPa，0yMPa，400 xyMPa，则主应力1512 MPa，2-312 MPa，1-3757。9、已知一点处的应力分量，2000 xMPa，1000yMPa，400 xyMPa，则主应力11052 MPa，2-2052 MPa，1-8232。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力
3、与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和
4、常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数Ni在 i 结点 Ni=1；在其他结点Ni=0 及 Ni=1。20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
5、页，共 12 页2 二、判断题 （请在正确命题后的括号内打“”，在错误命题后的括号内打“”）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（）5、如果某一问题中，0zyzxz，只存在平面应力分量x，y，xy，且它们不沿z 方向变化，仅为x，y 的函数，此问题是平面应力问题。（）6、如果某一问题中，0zyzxz，只存在平面应变分量x，y，xy，且它们不沿z 方向变化，仅为 x，y 的函数，此问题是平面应变问题。（）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（）14、在有限单元法中，结点力是指结
6、点对单元的作用力。（）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（）三、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（1）ByAxx，DyCxy，FyExxy；（2）)(22yxAx，)(22yxBy，Cxyxy；其中， A，B，C，D，E，F 为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程00 xyyxxyyyxx；（ 2 ） 在 区 域 内 的 相 容 方 程02222yxyx；（ 3 ） 在 边 界 上 的 应 力 边 界 条 件sflmsfmlysxyyxsy
7、xx； （4）对于多连体的位移单值条件。（ 1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。（ 2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量312xCQxyx，2223xyCy，yxCyCxy2332，体力不计， Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2， C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页3 00
8、 xyyxxyyyxx得023033322322212xyCxyCxCyCxCQy即0230333222231xyCCyCQxCC由 x，y 的任意性，得023030332231CCCQCC由此解得，61QC，32QC，23QC3、已知应力分量qx，qy，0 xy，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量qx，qy，0 xy，代入平衡微分方程00YxyXyxxyyyxx可知，已知应力分量qx，qy，0 xy一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：yxxyxyxyyx22222)1 (2)()(将已知应力分量qx，qy，0 xy
9、代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：yxxyxyxyyx2222212)1()1(将已知应力分量qx，qy，0 xy代入上式，可知满足相容方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页4 4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。（1）Axyx，3Byy，2DyCxy；（2）2Ayx，yBxy2，Cxyxy；（3）0 x，0y，Cxyxy；其中， A，B，C，D 为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即yxxyxyyx22222将以上应
10、变分量代入上面的形变协调方程，可知：（ 1）相容。（ 2）CByA 22（1 分） ；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。（ 3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则0 x，0y，0 xy（1 分） 。5、证明应力函数2by能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0b） 。解：将应力函数2by代入相容方程024422444yyxx可知，所给应力函数2by能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为byx222，022xy，02yxxy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，2
11、hy，0l，1m，0)(2hyxyxf，0)(2hyyyf；l/2 l/2 h/2 h/2 y x O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页5 下边，2hy，0l，1m，0)(2hyxyxf，0)(2hyyyf；左边，2lx，1l，0m，bflxxx2)(2，0)(2lxxyyf；右边，2lx，1l，0m，bflxxx2)(2，0)(2lxxyyf。可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数2by能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b0）和均布压力（b0）的问题。6、证明应力函数
12、axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0a） 。解：将应力函数axy代入相容方程024422444yyxx可知，所给应力函数axy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为022yx，022xy，ayxxy2对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，2hy，0l，1m，afhyxyx2)(，0)(2hyyyf；下边，2hy，0l，1m，afhyxyx2)(，0)(2hyyyf；左边，2lx，1l，0m，0)(2lxxxf，aflxxyy2)(；右边，2lx，1l，0m，0)(2lxxxf，a
13、flxxyy2)(。l/2 l/2 h/2 h/2 y x O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页6 O x y b q g 可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力 a。因此，应力函数axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。解： 根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设0 x。由此可知022yx将上式对y 积分两次，可得如下应力函数表达式)()(,21xfyxfyx将上式代入应
14、力函数所应满足的相容方程则可得0)()(424414dxxfddxxfdy这是 y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y 值都应该满足它） ，可见它的系数和自由项都应该等于零，即0)(414dxxfd，0)(424dxxfd这两个方程要求ICxBxAxxf231)(，KJxExDxxf232)(代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得2323)(ExDxCxBxAxy对应应力分量为022yxgyEDxBAxyxy26)26(22CBxAxyxxy2322以上常数可以根据边界条件确定。左边，0 x，1l，0m，沿 y 方向无面力，所以有0)(0Cxxy右
15、边，bx，1l，0m，沿 y 方向的面力为q，所以有qBbAbbxxy23)(2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页7 上边，0y，0l，1m，没有水平面力，这就要求xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即0)(00dxybxy将xy的表达式代入，并考虑到C=0，则有0)23(2302302BbAbBxAxdxBxAxbb而00)(00dxybxy自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即0)(00dxyby，0)(00 xdxyby将y的表达式代入，则有0
16、2323)26(2020EbDbExDxdxEDxbb022)26(230230EbDbExDxxdxEDxbb由此可得2bqA，bqB，0C，0D，0E应力分量为0 x, gybxbyqy312, 23bxbxqxy虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0 处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为xVfx，yVfy，其中 V 是势函数， 则应力分量亦可用应力函数表示为，Vyx22，Vxy22，yxxy2，试导出相应的相容方程。证明 ：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x
17、，y，xy应当满足平衡微分方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页8 00yVxyxVyxxyyyxx（1 分）还应满足相容方程yfxfyxyxyx12222（对于平面应力问题）yfxfyxyxyx112222（对于平面应变问题）并在边界上满足应力边界条件（1 分） 。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为00 xVyyVxxyyyxx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为yxxyVx根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x， y） ，使得yAVx，xAyx同样
18、，将第二个方程改写为yxyxVy（1 分）可见也一定存在某一函数B（x，y） ，使得xBVy，yByx由此得yBxA因而又一定存在某一函数yx,，使得yA，xB代入以上各式，得应力分量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页9 Vyx22，Vxy22，yxxy2为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数yx,必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得VyxVxVyyx2222222222221VyxVyxxyyx222222222222222212简写为V24)1(将上述应力分量代入平面应变问题
19、的相容方程，得VyxVxVyyx22222222222211VyxVyxxyyx2222222222222222112简写为V241219、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。解：纯三次的应力函数为3223dycxyybxax相应的应力分量表达式为dycxxfyxx6222, gybyaxyfxyy2622, cybxyxxy222这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。上边，0y，0l，1m，没有水平面力，所以有O x y g 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
20、 - - - - - -第 9 页，共 12 页10 02)(0bxyxy对上端面的任意x 值都应成立，可见0b同时，该边界上没有竖直面力，所以有06)(0axyy对上端面的任意x 值都应成立，可见0a因此，应力分量可以简化为dycxx62，gyy，cyxy2斜面，tanxy，sin2cosl，coscosm，没有面力，所以有00tantanxyxyyxyyxxlmml由第一个方程，得0sintan6sin4costan2sintan62dxcxcxdxcx对斜面的任意x 值都应成立，这就要求0tan64dc由第二个方程，得0sinsintan2costansintan2gxcxgxcx对斜面
21、的任意x 值都应成立，这就要求0tan2gc（1 分）由此解得cot21gc（1 分） ，2cot31gd从而应力分量为2cot2cotgygxx, gyy, cotgyxy设三角形悬臂梁的长为l，高为 h，则lhtan。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x 方向的分量为0，沿 y 方向的分量为glh21。因此， 所求x在这部分边界上合成的主矢应为零，xy应当合成为反力glh21。0cotcotcot2cot22020ghglhdygygldyhlxhxglhghdygydyhhlxxy21cot21cot200可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。精选学习资料 - - - - - -
22、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页11 10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为1，液体的密度为2，试求应力分量。解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与g1成正比 （g 是重力加速度） ；另一部分由液体压力引起，应当与g2成正比。此外，每一部分还与，x， y 有关。由于应力的量纲是L-1MT-2，g1和g2的量纲是L-2MT-2，是量纲一的量， 而 x 和 y 的量纲是
23、 L， 因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是gxA1，gyB1，gxC2，gyD2四项的组合，而其中的A，B，C，D 是量纲一的量，只与有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x 和 y 的纯一次式。其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x 和 y 纯三次式，因此，假设3223dycxyybxax相应的应力分量表达式为dycxxfyxx6222, gybyaxyfxyy12226, cybxyxxy222这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。左面，0 x，1l，
24、0m，作用有水平面力gy2，所以有gydyxx206)(对左面的任意y 值都应成立，可见62gd同时，该边界上没有竖直面力，所以有02)(0cyxxy对左面的任意y 值都应成立，可见0c因此，应力分量可以简化为gyx2，gybyaxy126，bxxy22g1gy x O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页12 斜面，tanyx，cosl，sin2cosm，没有面力，所以有00tantanyxxyyyxyxxlmml由第一个方程，得0sintan2cos2bygy对斜面的任意y 值都应成立，这就要求0sintan2cos2bg由第二个方程，得0sinsin4sintan6costan2sin2tan611ygbabygybyay对斜面的任意x 值都应成立，这就要求04tan61gba由此解得321cot31cot61gga，22cot21gb从而应力分量为gyx2, yggxggy122321cotcot2cot, 22cotgxxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页