2022年《弹性力学》试题参考答案.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载一、填空题（弹性力学试题参考答案（答题时间： 100 分钟）每道题 4 分）1最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平稳微分方程, 应力边界条件；2一组可能的应力重量应满意：平稳微分方程,相容方程（变形和谐条件）；3等截面直杆扭转问题中,2 D dxdy M 的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩 M；4平面问题的应力函数解法中,Airy 应力函数 在边界上值的物理意义为 边界上某一点 （基准点）到任一点外力的矩；5弹性力学平稳微分方程、几何方程的张量表示为：ij,j

2、Xi0,ij1ui,juj, i；2二、简述题 （每道题 6 分）1试简述力学中的圣维南原理,并说明它在弹性力学分析中的作用；圣维南原理：假如物体的 一小部分边界 上的面力变换为分布不同但 静力等效 的面力（主矢与主矩相同）,就 近处的应力 分布将有 显著的转变 ,但 远处的应力 所受 影响可以忽视不计；作用：（ 1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替；（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理；2图示两楔形体,试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分别变量形式；题二（ 2）图（a）x ,yax2bxy2 cy（b）x ,y ax3bx2ycxy23 dyE、

3、泊松r,r2fr,r3f3图示矩形弹性薄板,沿对角线方向作用一对拉力P,板的几何尺寸如图,材料的弹性模量比已知；试求薄板面积的转变量S； 第 1 页,共 12 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载题二（ 3）图设当各边界受均布压力q 时,两力作用点的相对位移为l ；由1 E 1q得,la2b2qa2b2 1P；试写出其边界条E设板在力 P 作用下的面积转变为S ,由功的互等定理有：qSPl将l 代

4、入得：S1EPa2b2明显,S 与板的外形无关,仅与E、l 有关；4图示曲杆,在rb边界上作用有均布拉应力q,在自由端作用有水平集中力件（除固定端外） ；题二（ 4）图（1）rrbq ,rrb0；rdrPsin（2）rra,0rra0（3）b adrPcosbabr d rPc o sa2bGalerkin ）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思a5试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（想,并指出各自的适用性Love、Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数ux,y,v x ,y,wx,y或urr,u r,为求一些特别函数,如调和函数、重调和函数

5、；（2）变求多个函数为求单个函数（特别函数）；适用性： Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题；三、运算题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载P,1图示半无限平面体在边界上受有两等值反向,间距为 d 的集中力作用, 单位宽度上集中力的值为设 间 距 d 很 小 ； 试 求 其 应 力 分 量 , 并 讨 论 所

6、求 解 的 适 用 范 围 ；（ 提 示 ： 取 应 力 函 数 为A sin 2 B）（13 分）题三（ 1）图解：d 很小,MPd,可近似视为半平面体边界受一集中力偶0M 的情形；将应力函数r,代入,可求得应力重量：224 2 rAsi n 2；22r1 rr1 2 rrrr1 r1 2 r2Ac o sB边界条件：（1）r0,0rr00；r00 ,rr0000代入应力重量式,有1 2 r2AB 0或2AB0r,r（1）（2）取一半径为r 的半圆为脱离体,边界上受有：,和 M = Pd 由该脱离体的平稳,得将r代入并积分,有B2M21 2 r2rr2dMd0M02B r2 2Acos2As

7、in22得BM0（2）02联立式（ 1）、（2）求得：BMPd,APd 2代入应力重量式,得细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载2r 2 Pd sin 22；0；r 2 Pd sin2；r r结果的适用性：由于在原点邻近应用了圣维南原理,故此结果在原点邻近误差较大,离原点较远处可适用；2图示悬臂梁,受三角形分布载荷作用,如梁的正应力x由材料力学公式给出,试由平稳微分方程求出x

8、y,y,并检验该应力重量能否满意应力表示的相容方程；（12 分）题三（ 2）图解：（1）求横截面上正应力x,由材料力学运算公式有（ 1）任意截面的弯矩为Mq 06 x3,截面惯性矩为I3 h12xMy I2q0x3ylh3（2）由平稳微分方程求xy、y02平稳微分方程：xxyXxyyxyY03xy其中,X0 Y0；将式（ 1）代入式（ 2）,有yxy6q 0x2ylh3积分上式,得细心整理归纳 精选学习资料 利用边界条件：2hxyyfhx0,有xy3 q0x2y2f1x 2h2 第 4 页,共 12 页 lh33q0x220即f1x3 q0x4lh314lh3 - - - - - - - -

9、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载y21 4h2（ 4）xy3 q0x2lh3将式（ 4）代入式（ 3）,有6 q0xy21h2yy0或yy6q 0xy21h2lh3lh344积分得y6q 0xy 31 4h2yf2x lh33利用边界条件：yyhq0x,yyh0l22得：6 q0x 3 h 24 3 h 241 81 8h3f2f2x0q 0x3 lh6 q 0lx h3x lh3由其次式,得f2xq0x2l将其代入第一式,得将f2x 代入q 02 lxq

10、0xyq 0xxy3自然成立；q0x（ 5）2 lly的表达式,有6q01 4h2ylh332l所求应力重量的结果：xMy22 q0x3y2q0x（6）Ilh3xy3q0x1 4hy2lh3yxy31 4h2y6q0lh332l校核梁端部的边界条件：细心整理归纳 精选学习资料 （1）梁左端的边界（x = 0）： 第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -hxx0dy0,优秀学习资料欢迎下载代入后可见：自然满意；h2 h2 hxyx

11、0dy022（2）梁右端的边界（x = l）：x2ldy0dyq0ly3hhq0l2Mh 2xxldyh 22q0x3yh 2h 2lh32 h4h 2xyxldyh 23 q0x2y2hhlh3yl222xhh2q0x32 q0l3dy22xxlydy2h 2h 2lh3xl3 lh362可见,全部边界条件均满意；检验应力重量x,xy,y是否满意应力相容方程：常体力下的应力相容方程为2xy22xy0k；x2y2将应力重量x,xy,y式（ 6）代入应力相容方程,有2xy12q0xy,2xy12q0xyx2lh3y2lh32xy22xy24q0xy0x2y2lh3明显,应力重量x,xy,y不满意

12、应力相容方程,因而式（6）并不是该该问题的正确解；3一端固定, 另一端弹性支承的梁,其跨度为 l,抗弯刚度 EI 为常数, 梁端支承弹簧的刚度系数为梁受有匀称分布载荷q 作用,如下列图；试：（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数w x ；（2）用最小势能原理或Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1 项待定系数） ；（13 分）题二（ 3）图细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优

13、秀学习资料 欢迎下载解：两种形式的梁挠度试函数可取为w xx2A 11A 2xA 3x2多项式函数形式wxncos2mx 三角函数形式A mlm1此时有：wxx2A 1A2xA 3x200x0x202A 3xx00wx 2xA 1A 2xA 3x20An1A m 1cos2mxxw x 0mlwx n1A mlsin2 mxm2 mlx即满意梁的端部边界条件；梁的总势能为取：w x A 1x2,有1lEId2w2,l 0qwxdx21kwl2dx20dx22d2w2A 1w lA 1ldx2代入总势能运算式,有由0,有21lEI2A 12dxlqx2A 1dx01kA 1 l222002EIl

14、A2qA 1l312 kA 1l4ql31324EIlA1kA 1l43A 1q 0l3kl43 4EIl代入梁的挠度试函数表达式,得一次近似解为4已知受力物体内某一点的应力重量为：w x q 0l3kl4x2,z1 MPa,xy1 MPa,yz0,3 4EIlx0,y2 MPa细心整理归纳 精选学习资料 第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -zx2 MPa,试求经优秀学习资料的欢迎下载x3yz1上的正应力；过该点平面（12

15、分）解：由平面方程ijx3yz1,得其法线方向单位矢量的方向余弦为11 21l1 211,m1 2321 23,n1 23 21 2011311321112,Ll11120m31111201n1NLTL11310125120311112011731129.264MPa311111弹性力学课程考试试卷学号：姓名：工程领域：建筑与土木工程题号一二三四五总分得分考试时间： 120 分钟考试方式：开卷任课老师：杨静日期： 20XX年 4 月 28 日一、简述题（ 40 分）1. 试表达弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特点,并指出两类平面问题中弹性常数间的转换关系；2.弹性力学问题按应力和位

16、移求解,分别应满意什么方程？. 第 8 页,共 12 页 3.写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？4.写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程；5.求解弹性力学问题时,为什么需要利用圣维南原理？6.试表达位移变分方程和最小势能原理,并指出他们与弹性力学基本方程的等价性7.试判定以下应变场是否为可能的应变场？（需写出判定过程）细心整理归纳 精选学习资料 xCx2y2,yCy2,xy2 Cxy； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -8.试

17、写出应力边界条件：优秀学习资料欢迎下载PO（1）（ a ）图用极坐标形式写出；（2）（ b ）图用直角坐标形式写出；qx xhOrx2yphhyy（ a ）图zx（ b）图a,yz0,zx2 a；二、运算题（ 15 分）0,y2 a,za,xy已知受力物体中某点的应力重量为：试求作用在过此点的平面x3y1上的沿坐标轴方向的应力重量,以及该平面上的正应力和切应力；三、运算题（ 15 分）图示矩形截面悬臂梁,长为l ,高为 h ,在左端面受力P 作用；不计体力,试求梁的应力重量；（试取应力函数Axy3Bxy）xPOh四、运算题（ 15 分）yl图示半无限平面体在边界上受有两等值反向,间距为 d 的

18、集中力作用, 单位宽度上集中力的值为P, 设 间 距 d 很 小 ； 试 求 其 应 力 分 量 , 并 讨 论 所 求 解 的 适 用 范 围 ；（ 试 取 应 力 函 数A sin 2 B）五、运算题（ 15 分）如下列图的悬臂梁,其跨度为l ；抗弯刚度为EI ,在自由端受集中力P 作用；试用最小势能原 第 9 页,共 12 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -理求最大挠度； （设梁的挠度曲线w优秀学习资料欢迎下载

19、A 1cosx）2 lP弹性力学试题（答题时间： 120 分钟）题号班级二姓名（2）三学号总 分一（1）（3）（4）得分一、填空题（每道题 4 分）1用最小势能原理求解时所假设的位移试函数应满意：；2弹性多连体问题的应力重量应满意,；3拉甫（Love ）位移函数法适用 空间问题；伽辽金（Galerkin ）位移函数法适用于空间问题；4圣维南原理的基本要点有,；5有限差分法的基本思想为：；二、简述题 （每道题 5 分）1试比较两类平面问题的特点,并给出由平面应力到平面应变问题的转换关系；2试就以下公式说明以下问题：（1）单连体问题的应力重量与材料的弹性常数无关；（2）多连体弹性力学问题中应力重量

20、与弹性常数无关的条件；式中：1z ,1z xy21z 1z 4Re1z 第 10 页,共 12 页 yx2 ixy2z1z1z 1z 1mXkiY klnzz k1z 8 31k 1mz XkiY klnzz k1z 8k1均为解析函数；1z ,1z 均为单值解析函数；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载3试列写图示半无限平面问题的边界条件；题二（ 3）图4图示弹性薄板, 作用一对拉力 P；试由功的互

21、等定理证明：薄板的面积转变量 S 与板的外形无关,仅与材料的弹性模量 E、泊松比、两力 P 作用点间的距离 l 有关；题二（ 4）图5下面给出平面问题（单连通域）的一组应变重量,试判定它们是否可能；xCx2y2,yCy2,xy2 Cxy；6等截面直杆扭转问题的应力函数解法中,应力函数x,y 应满意：22 GK式中： G 为剪切弹性模量；三、运算题K 为杆件单位长度扭转角；试说明该方程的物理意义；1 图示无限大薄板, 在夹角为90 的凹口边界上作用有匀称分布剪应力q；已知其应力函数为：不计体力,试求其应力重量；r2Acos2B （13 分）题三（ 1）图2图示矩形截面杆,长为l ,截面高为h,宽

22、为单位1,受偏心拉力N,偏心距为e,不计杆的体力；细心整理归纳 精选学习资料 第 11 页,共 12 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -试 用 应 力 函 数3 Ay优秀学习资料欢迎下载By2求 杆 的 应 力 分 量 , 并 与 材 料 力 学 结 果 比 较 ；（12 分）题三（ 2）图3图示简支梁,其跨度为l ,抗弯刚度EI 为常数,受有线性分布载荷q 作用；试求：（1）用三角函数形式和多项式写出梁挠度（w）近似函数的表达式；（2）在上述梁挠度（w）近似函数中任选一种,用最小势能原理或 Ritz 法求梁挠度（ w）的近似解（取 2 项待定系数） ；（13 分）题三（ 3）图4图示微小四周体OABC,OA = OB = OC,D 为 AB 的中点；设O 点的应变张量为：试求 D 点处单位矢量0 .010 .0050ij0 .0050 .020. 0100 .010.03v、t 方向的线应变；（12 分）题三（ 4）图细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 12 页 - - - - - - - - -