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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 中考数学压轴题精选精析（21-30例）21（ 2022.湖南邵阳）如图（十一）所示,在平面直角坐标系 Oxy 中,已知点 A9 4,0,点 C0, 3,点 B 是 x 轴上一点 位于点 A 的右侧 ,以 AB 为直径的圆恰好经过点 C（1）求 ACB 的度数；（2）已知抛物线 yax 2bx3 经过 A、B 两点,求抛物线的解析式；（3）线段 BC 上是否存在点 D,使 BOD 为等腰三角形如存在,就求出全部 符合条件的点 D 的坐标；如不存在,请说明理由【解题思路】：1 以 AB 为直径的圆恰好经过 点 C ACB=9002 AOC
2、 ABC OC2AOOB A9 4,0,点C0 ,3,AO94OC3329OBOB4B4,0 把 A、B、C 三点坐标4代入得y31x27 12x33 名师归纳总结 1） OD=OB , D 在 OB 的中垂线上,过D 作 DHOB,垂足是H 就 H 是 OB 中点；第 1 页,共 31 页DH=1OCOH1OBD2,3222DG:OC=1:5 2 BD=BO 过 D 作 DG OB,垂足是 G OG:OB=CD:CB - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OG:4=1:5 DG:3=1:5 OG=4DG=3D4,3 5555【点评】：此题考察了相像、勾股
3、定理、抛物线的解析式求解等学问,运用平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相像构建比例式,求解点到坐标轴的距离,进而得出相应的坐标；难度中等24、（ 2022.湖北荆州）如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形O ABC 与 CDEF 的边 OC、OA 所在直线为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系（O、C、F 三点在 x 轴正半轴上）如P过 A 、B、 E 三点（圆心在 x 轴上）,抛物线 y= 14x2+bx+c 经过 A 、C 两点,与 x 轴的另一交点为 G,M 是 FG 的中点,正方形 CDEF 的面积为 1（1）求 B 点坐标；（2）求证： ME 是 P 的切线；（3）设
4、直线 AC 与抛物线对称轴交于N,Q 点是此轴称轴上不与N 点重合的一动点,求 ACQ 周长的最小值；如 FQ=t,S ACQ=S,直接写出 S 与 t 之间的函数关系式考点： 二次函数综合题分析：（1）如图甲, 连接 PE、PB,设 PC=n,由正方形CDEF 的面积为 1,可得 CD=CF=1 ,依据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n ,由 PB=PE,依据勾股定理即可求得n 的值,继而求得 B 的坐标；名师归纳总结 （2）由（ 1）知 A（ 0,2）, C（2,0）,即可求得抛物线的解析式,然后求得FM 的长,第 2 页,共 31 页就可得PEF EMF ,就可证得 PEM=90,即
5、ME 是 P 的切线；（3）如图乙, 延长 AB 交抛物线于A ,连 CA 交对称轴x=3 于 Q,连 AQ ,就有 AQ=A Q ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ACQ 周长的最小值为AC+A C 的长,利用勾股定理即可求得ACQ 周长的最小值；分别当 Q 点在 F 点上方时,当 得答案Q 点在线段 FN 上时,当 Q 点在 N 点下方时去分析即可求解答： 解：（ 1）如图甲,连接 PE、PB,设 PC=n,正方形 CDEF 的面积为 1,CD=CF=1 ,依据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n ,BC=2PC=2n ,而 PB=PE,PB2=
6、BC2+PC2=4n2+n2=5n2,PE2=PF2+EF2=（n+1）2+1,5n2=（n+1）2+1,解得： n=1 或 n= 12（舍去）,BC=OC=2 ,B 点坐标为（ 2 ,2）；（2）如图甲,由（1）知 A（0,2）, C（ 2,0）,A ,C 在抛物线上, c=2144+2b+c=0 ,解得：c=2b= 32,抛物线的解析式为：y= 14x 2 32x+2= 14 （x3）2 14,抛物线的对称轴为 x=3 ,即 EF 所在直线,C 与 G 关于直线 x=3 对称,CF=FG=1 ,MF= 12FG= 12 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 31 页精选
7、学习资料 - - - - - - - - - 在 Rt PEF 与 Rt EMF 中,EFM= EFP, FMEF=121=12 , EFPF=12, FMEF=EFPF , PEF EMF , EPF= FEM , PEM= PEF+ FEM= PEF+EPF=90 ,ME 是 P 的切线；（3）如图乙,延长AB 交抛物线于A ,连 CA 交对称轴x=3 于 Q,连 AQ ,就有 AQ=A Q , ACQ 周长的最小值为 AC+A C 的长,A 与 A 关于直线 x=3 对称,A （0,2）, A （6,2）,AC=（62）2+2 2=2 5,而 AC=2 2+2 2=2 2, ACQ 周长
8、的最小值为 2 2+2 5；当 Q 点在 F 点上方时, S=t+1,当 Q 点在线段 FN 上时, S=1 t,当 Q 点在 N 点下方时, S=t1点评： 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,圆的性质,相像三角形的判定与性质以及勾股定理等学问此题综合性很强,题目难度较大, 解题的关键是方程思想、分类争论与数形结合思想的应用22、（ 2022.襄阳）如图,在平面直角坐标系xoy 中, AB 在 x 轴上, AB=10 ,以 AB 为直径名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的 O与 y 轴正半轴交于点C,连接BC
9、,AC CD 是 O的切线, AD 丄 CD 于点 D,tanCAD=,抛物线 y=ax2+bx+c 过 A,B,C 三点（1）求证： CAD= CAB ；（2）求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上,并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点 P,使四边形 PBCA 是直角梯形如存在,直接写出点 P 的坐标（不写求解过程）；如不存在,请说明理由考点 ：二次函数综合题；分析：（1）连接 O C,由 CD 是 O 的切线,可得 O CCD ,就可证得 O C AD ,又由 OA=O C,就可证得 CAD= CAB ；（2）第一证得CAO BCO ,依据相像三角形的对应边成比例
10、,可得 OC 2=OA.OB ,又由 tanCAO=tan CAD=,就可求得 CO,AO ,BO 的长,然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；第一证得FO C FAD ,由相像三角形的对应边成比例,即可得到F 的坐标,求得直线 DC 的解析式,然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；（3）依据题意分别从 PA BC 与 PB AC 去分析求解即可求得答案,当心不要漏解解答： （1）证明：连接 O C,CD 是 O 的切线,O CCD ,AD CD ,O C AD ,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - OC
11、A=CAD ,OA=O C, CAB= OCA, CAD= CAB ；（2） AB 是 O 的直径, ACB=90,OCAB , CAB= OCB, CAO BCO ,即 OC 2=OA.OB ,tanCAO=tan CAD=,AO=2CO ,又 AB=10 ,OC 2=2CO（10 2CO）,CO0,CO=4 ,AO=8 ,BO=2 ,A （ 8,0）, B（2,0）, C（ 0,4）,抛物线 y=ax 2+bx+c 过点 A ,B, C 三点,c=4,由题意得：,解得：抛物线的解析式为：y=x2x+4；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 31 页精选学习资料 - - -
12、 - - - - - - 设直线 DC 交 x 轴于点 F, AOC ADC ,AD=AO=8 ,O C AD , FO C FAD ,8（BF+5 ）=5（BF+10 ）,BF=,F（,0）；设直线 DC 的解析式为 y=kx+m ,就,解得：,直线 DC 的解析式为y=x+4,由 y=x2x+4=（x+3）2+得顶点 E 的坐标为（3,）,将 E（3,）代入直线DC 的解析式 y=x+4 中,右边 =（ 3）+4=左边,抛物线顶点 E 在直线 CD 上；（3）存在, P1（ 10, 6）, P2（10, 36）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 31 页精选学习资料 -
13、 - - - - - - - - 点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式,相像三角形的判定与性质,点与函数的关系,直角梯形等学问 此题综合性很强,用难度较大, 解题的关键是留意数形结合与方程思想的应23、（ 2022.江汉区）在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax 2+bx+3 与 x 轴的两个交点分别为 A（ 3,0）、 B（1,0）,过顶点 C 作 CH x 轴于点 H（1）直接填写： a= 1,b= 2,顶点 C 的坐标为（ 1,4）；（2）在 y 轴上是否存在点D,使得 ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？如存在,求出点D 的坐标；如不存在,说明理由；（3）如点 P 为 x 轴上方
14、的抛物线上一动点（点 PCQ 与 ACH 相像时,求点 P 的坐标考点 ：二次函数综合题；P 与顶点 C 不重合）, PQAC 于点 Q,当分析： （1）将 A（ 3,0）、 B（ 1,0）,代入 y=ax 2+bx+3 求出即可,再利用平方法求出顶点坐标即可；名师归纳总结 （2）第一证明CED DOA ,得出 y 轴上存在点D（0,3）或（0,1）,即可得出ACD第 8 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 是以 AC 为斜边的直角三角形（3）第一求出直线 CM 的解析式为 y=k 1x+b 1,再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标,再
15、利用如点 P 在对称轴左侧（如图）,只能是PCQ ACH ,得 PCQ=ACH 得出答案即可解答： 解：（ 1）a= 1,b= 2,顶点 C 的坐标为（1,4）；（2）假设在 y 轴上存在满意条件的点D,过点 C 作 CEy 轴于点 E由 CDA=90得, 1+2=90 又 2+3=90 , 3=1又 CED= DOA=90, CED DOA ,设 D（0,c）,就变形得 c 2 4c+3=0 ,解之得 c1=3,c2=1综合上述：在 y 轴上存在点 D（0,3）或（ 0,1）,使 ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形（3）如点 P 在对称轴右侧（如图）,只能是PCQ CAH ,得 QCP=
16、 CAH 延长 CP 交 x 轴于 M , AM=CM , AM 2=CM 2设 M （m,0）,就（ m+3）2=4 2+（m+1）2, m=2,即 M （2, 0）设直线 CM 的解析式为 y=k 1x+b 1,就,解之得,直线 CM 的解析式名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 联立,解之得或（舍去）如点 P 在对称轴左侧（如图）,只能是PCQ ACH ,得 PCQ=ACH 过 A 作 CA 的垂线交 PC 于点 F,作 FNx 轴于点 N由 CFA CAH 得,由 FNA AHC 得AN=2 ,FN=1 ,点
17、F 坐标为（5,1）设直线 CF 的解析式为 y=k 2x+b2,就,解之得直线 CF 的解析式联立,解之得或（舍去）满意条件的点P 坐标为或名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相像三角形的应用,二次函数的综合应用是中学阶段的重点题型特殊留意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握24（ 2022 湖北黄冈鄂州,24,14 分）如下列图,过点F（0,1）的直线y=kx b 与抛物线y12 x 交于 M （x1,y 1）和 N（ x2, y2）两点（其中x10,
18、 x20）4求 b 的值求 x1.x2的值分别过 M 、N 作直线 l： y=1 的垂线,垂足分别是M 1、N 1,判定M 1FN 1 的外形,并证明你的结论对于过点 F的任意直线 MN ,是否存在一条定直线m,使 m 与以 MN 为直径的圆相切 如果有,请法度出这条直线 m 的解析式；假如没有,请说明理由y F N M l M 1O N1x F 1第 24 题图名师归纳总结 【解题思路】第（1）问,将 F（0,1）代入 y=kx b 即可得 b 值；第 11 页,共 31 页ykx1要将坐标转化为方程组的解,将方程组y1x2变形得关于x 的一元二次方程,4- - - - - - -精选学习资
19、料 - - - - - - - - - 再利用根与系数的关系得x 1x =4 （3）要结合条件并利用（2）中的结论得到 F1M 1.F1N 1=x 1.x2=4,结合（ 1）中的结论得2 F F1=2,再把两个结论结合得到 F1M 1.F1N 1=F1F判定直角三角形相像,再利用直角三角形的相像性质,就可得到 M 1FN 1=M 1FF1 F1FN 1=FN1F1 F1FN 1=90,所以 M 1FN 1 是直角三角形（4）表示线段长利用坐标所在的函数关系,将函数式相加减表示距离；运用梯形中位线的性质,来证明；【答案】解： b=1 1 显 然1x0x 1和xx2是 方 程 组yk x1的 两
20、组 解 , 解 方 程 组 消 元 得y1x2yy 1yy24x2kx,依据 “ 根与系数关系 ”得x 1x =4 4y F P N M l M 1O Q N 1x F 1第 24 题解答用图 M 1FN 1 是直角三角形是直角三角形,理由如下：由题知 M 1 的横坐标为 x 1,N 1 的横坐标为 x2,设 M 1N1 交 y 轴于 F1,就 F1M 1.F1N 1=x 1.x2=4,而 F F1=2,所以 F1M 1.F1N1=F1F 2,另有 M 1F1F=FF1N 1=90,易证 Rt M 1FF1Rt N1FF1,得 M 1FF 1=FN1F1,故 M 1FN 1=M 1FF1 F1
21、FN 1=FN 1F1 F1FN 1=90,所以M 1FN 1是直角三角形存在,该直线为 y= 1理由如下：直线 y= 1 即为直线 M 1N1名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如 图 , 设N 点 横 坐 标 为m , 就N点 纵 坐 标 为12 m , 计 算 知NN 1=12 m1,44NF=2 m12 m2 11m21,得 NN 1=NF 44同理 MM 1=MF 那么 MN=MM 1 NN1,作梯形NN 1） =1 MN ,即圆心到直线2MM 1N 1N 的中位线 PQ,由中位线性质知 PQ=1（MM
22、12y=1 的距离等于圆的半径,所以 y=1 总与该圆相切名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【点评】：此题第（ 1）问,很简洁就是代入求值,确定函数的系数；（2）结合问题将一次、二次函数组合转化为一元二次方程,利用“ 根与系数 ” 的关系求解；（3）直角三角形的判定涉及直角三角形相像的判定和性质的运用；（4）用函数的加减来求距离,梯形中位线；此题综合性很强,考查同学数形结合的思想,综合了代数、几何中的重点学问要同学有很好的综合技能才可解决；难度较大25、（ 2022.宜昌）已知抛物线 y=ax 2+bx+c 与直
23、线 y=mx+n 相交于两点,这两点的坐标分别是（ 0,）和（ m b,m 2 mb+n）,其中 a,b,c, m,n 为实数,且 a,m 不为 0（1）求 c 的值；（2）设抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交点是（x 1, 0）和（ x2,0）,求 x1.x2的值；（3）当 1x1时,设抛物线 y=ax 2+bx+c 上与 x 轴距离最大的点为 P（x 0,y0）,求这时 |y0丨的最小值考点 ：二次函数综合题；专题 ：综合题；分析： （1）把点（ 0,）代入抛物线可以求出 c 的值（2）把点（ 0,）代入直线得 n=,然后把点（m b,m 2 mb+n）代入抛物线,整名师归
24、纳总结 理后可确定a 的值,把 a, c 的值代入抛物线,当y=0 时可以求出x 1.x2 的值第 14 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）抛物线y=x2+bx 的顶点（,）,当b0 时, x= 1 时 y 的值大；当b0 时,x=1 时 y 的值大 然后比较 x= 1,x=1 以及抛物线顶点的纵坐标的肯定值,确定 |y0|的最小值解答： 解：（ 1）把点（ 0,）代入抛物线,得：c=；（2）把点（ 0,）代入直线得：n=把点（ m b, m 2 mb+n）代入抛物线,得：a（m b）2+b（m b）+c=m 2 mb+n c=n
25、= ,a（m b）2+b（ m b）=m 2 mb,am 2 2abm+ab 2+bm b 2 m 2+mb=0 （a 1）m 2 （ a 1）.2bm+（a 1）b 2=0 （a 1）（ m 2 2bm+b 2）=0 （a 1）（ m b）2=0 a=1,当 m b=0 时,抛物线与直线的两个交点就是一个点,所以 m b把 a=1, c=代入抛物线有：y=x 2+bx ,当 y=0 时, x 2+bx =0,x 1.x2=；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）y=x2+bx,顶点（,）当 b0时, x= 1
26、 时, y= b,比较 b 与 +的大小,得到： 4b0时, b +,所以当 b=0 时, |y0|的最小值为b 4 时, b+,所以当 b= 4 时, |y0|的最小值为当 b0时, x=1 时, y= +b,比较+b 与 +的大小,得到：0 b4时,+b +,所以当 b=0 时, |y0|的最小值为b4时,+b +,所以当 b=4 时, |y0|的最小值为故|y0|的最小值为 或 名师归纳总结 点评： 此题考查的是二次函数的综合题,（1）依据抛物线上的点确定c 的值（ 2）结合一第 16 页,共 31 页元二次方程的解确定x1.x2 的值（ 3）在 x 的取值范畴内确定|y0|的最小值-
27、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 26、（ 2022.滨州）如图,某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分,抛物线的顶点 O 落在水平面上,对称轴是水平线OC点 A、B 在抛物线造型上,且点A 到水平面的距离 AC=4 米,点 B 到水平面距离为2 米, OC=8 米（1）请建立适当的直角坐标系,求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观,现需在水平线 OC 上找一点 P,用质地、规格已确定的圆形钢管制作 两根支柱 PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固,那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱 与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点 P？
28、（无需证明）（3）为了施工便利,现需运算出点 O、 P 之间的距离,那么两根支柱用料最省时点 O、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）考点 ：二次函数的应用；分析： （1）以点 O 为原点、射线OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系,可设抛物线的函数解析式为 y=ax 2,又由点 A 在抛物线上,即可求得此抛物线的函数解析式；（2）延长 AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,连接 BD 交 OC 于点 P,就点 P 即为所求；（3）第一依据题意求得点 B 与 D 的坐标,设直线 BD 的函数解析式为 y=kx+b ,利用待定系数法即可求得直线 BD 的函数解析式,把 x=0 代入 y= x+
29、4,即可求得点 P 的坐标解答： 解：（ 1）以点 O 为原点、射线设抛物线的函数解析式为 y=ax 2,由题意知点 A 的坐标为（ 4,8）点 A 在抛物线上,8=a 4 2,解得 a= ,OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系,所求抛物线的函数解析式为：y= x2；（2）找法：名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 延长 AC,交建筑物造型所在抛物线于点 D,就点 A 、D 关于 OC 对称连接 BD 交 OC 于点 P,就点 P 即为所求（3）由题意知点B 的横坐标为2,点 B 在抛物线上,点 B 的坐标为（ 2
30、,2）,又点 A 的坐标为（ 4, 8）,点 D 的坐标为（4, 8）,设直线 BD 的函数解析式为 y=kx+b ,解得： k= 1,b=4直线 BD 的函数解析式为 y= x+4,把 x=0 代入 y= x+4,得点 P 的坐标为（ 0,4）,两根支柱用料最省时,点O、P 之间的距离是4 米点评： 此题考查了二次函数的实际应用问题解此题的关键是依据题意构建二次函数模型,然后依据二次函数解题23、（ 2022.德州）在直角坐标系 xoy 中,已知点 P 是反比例函数（x0）图象上一个动点,以 P 为圆心的圆始终与 y 轴相切,设切点为 A （1）如图 1, P 运动到与 x 轴相切,设切点为
31、 K,试判定四边形 OKPA 的外形,并说明理由（2）如图 2, P 运动到与 x 轴相交,设交点为B,C当四边形ABCP 是菱形时：求出点 A ,B,C 的坐标在过 A,B,C 三点的抛物线上是否存在点M ,使 MBP 的面积是菱形ABCP 面积的如存在,试求出全部满意条件的M 点的坐标,如不存在,试说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点 ：二次函数综合题；分析： （1）四边形 OKPA 是正方形当 P 分别与两坐标轴相切时,PAy 轴,PKx 轴,x 轴 y 轴,且 PA=PK ,可判定结论；（2）连
32、接 PB,设点 P（x,）,过点 P 作 PGBC 于 G,就半径 PB=PC ,由菱形的性质得 PC=BC ,可知 PBC 为等边三角形, 在 Rt PBG 中, PBG=60 ,PB=PA=x ,PG=,利用 sinPBG=,列方程求 x 即可；求直线 PB 的解析式,利用过 A 点或 C 点且平行于 列方程组求满意条件的 M 点坐标即可解答： （1）四边形 OKPA 是正方形证明： P 分别与两坐标轴相切,PA OA ,PK OK PAO= OKP=90又 AOK=90, PAO= OKP= AOK=90四边形 OKPA 是矩形又 OA=OK ,四边形 OKPA 是正方形（ 2 分）PB
33、 的直线解析式与抛物线解析式联立,名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）连接 PB,设点 P 的横坐标为 x,就其纵坐标为过点 P 作 PGBC 于 G四边形 ABCP 为菱形,BC=PA=PB=PC PBC 为等边三角形在 Rt PBG 中, PBG=60 , PB=PA=x ,PG=,即sinPBG=解之得： x= 2（负值舍去）PG=, PA=BC=2 （ 4 分）易知四边形 OGPA 是矩形, PA=OG=2 ,BG=CG=1 ,OB=OG BG=1,OC=OG+GC=3 A （0,）, B（1,0）
34、C（3,0）（ 6 分）设二次函数解析式为：y=ax 2+bx+c据题意得：解之得： a=,b=,c=名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数关系式为：（ 9 分）解法一：设直线 BP 的解析式为： y=ux+v ,据题意得：解之得： u=,v=直线 BP 的解析式为：过点 A 作直线 AM PB,就可得直线AM 的解析式为：解方程组：得：；过点 C 作直线 CM PB,就可设直线CM 的解析式为：0=直线 CM 的解析式为：解方程组：得：；名师归纳总结 综上可知,满意条件的M 的坐标有四个,）,（ 7,）（
35、12 分）第 21 页,共 31 页分别为：（ 0,）,（ 3,0）,（ 4,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法二：,A （0,）, C（3,0）明显满意条件延长 AP 交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA 又 AM BC,点 M 的纵坐标为又点 M 的横坐标为 AM=PA+PM=2+2=4点 M （4,）符合要求点（ 7,）的求法同解法一综上可知,满意条件的 M 的坐标有四个,分别为：（ 0,）,（ 3,0）,（ 4,）,（ 7,）（ 12 分）解法三：延长 AP 交抛物线于点 M ,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA 又
36、AM BC,点 M 的纵坐标为即解得： x1=0（舍）, x2=4名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点 M 的坐标为（ 4,）点（ 7,）的求法同解法一综上可知,满意条件的M 的坐标有四个,）,（ 7,）（ 12 分）分别为：（ 0,）,（ 3,0）,（ 4,点评： 此题考查了二次函数的综合运用关键是由菱形、圆的性质,形数结合解题27、（ 2022.泰安）某商店经营一种小商品,进价为每件20 元,据市场分析,在一个月内,售价定为 25 元时,可卖出105 件,而售价每上涨1 元,就少卖5 件（1）当售价定为30
37、元时,一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时,一个月的获利最大？最大利润是多少元？考点 ：二次函数的应用；专题 ：销售问题；分析： （1）当售价定为 30 元时,可知每一件赚 10 元钱,再有售价定为 25 元时,可卖出105 件,而售价每上涨 1 元,就少卖 5 件可运算出一个月可获利多少元；（2）设售价为每件 x 元时,一个月的获利为 y 元,得到 y 与 x 的二次函数关系式求出函数的最大值即可解答： 解：（ 1）获利：（ 30 20）105 5（30 25） =800；（2）设售价为每件 x 元时,一个月的获利为 y 元,由题意,得 y= （x 20）105 5（ x 25）
38、= 5x 2+330x 4600= 5（x 33）2+845,当 x=33 时, y 的最大值为 845,故当售价定为 33 元时,一个月的利润最大,最大利润是 845 元点评： 此题主要考查了二次函数的应用,能正确表示出月销售量是解题的关键求二次函数的最大 （小）值有三种方法, 第一种可由图象直接得出,常用的是后两种方法其次种是配方法, 第三种是公式法,29、（ 2022.泰安）已知：在ABC 中, AC=BC , ACB=90 ,点 D 是 AB 的中点,点E是 AB 边上一点（1）直线 BF 垂直于直线CE 于点 F,交 CD 于点 G（如图 1）,求证： AE=CG ；名师归纳总结 （2）直线 AH 垂直于直线CE,垂足为点H,交 CD 的延长线于点M（如图 2）,找出图中第 23 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 与 BE 相等的线段,并证明考点 ：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；专题 ：证明题；分析： （1）第一依据点 D 是 AB 中点, ACB=90,可得出 ACD= BCD=45,判定出