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1、中考数学压轴题精选精析10 列1、（2011?北京）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我把由两条射线AE，BF和以 AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含 AB 线段）已知 A（1，0），B（1，0），AE BF，且半圆与 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上（1）求两条射线 AE，BF 所在直线的距离；（2） 当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时， 写出 b 的取值范围；当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时， 写出 b 的取值范围；（3）已知? AMPQ （四个顶点 A，M，P，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形
2、C 上，且不都在两条射线上，求点M 的横坐标 x 的取值范围考点：一次函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理。专题：综合题；分类讨论。分析： （1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB 为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C 有一个交点时自变量x 的取值范围即可；（3） 根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C 上， 可能会出现四种情况，分类讨论即可解答： 解：（ 1）分别连接 AD、DB，则点 D 在
3、直线 AE 上，如图 1，点D 在以 AB 为直径的半圆上， ADB=90 ， BD AD，在 Rt DOB 中，由勾股定理得， BD=， AE BF，两条射线AE、BF 所在直线的距离为（2）当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时， b 的取值范围是 b=或1b1；当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 1b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ ，根据点 M 的位置，分以下四种情况讨论：当点 M 在射线 AE
4、 上时，如图 2 AMPQ 四点按顺时针方向排列，直线PQ 必在直线 AM 的上方， PQ 两点都在弧 AD 上，且不与点 A、D 重合， 0PQ AM PQ 且 AM=PQ ， 0AM 2x1，当点 M 不在弧 AD 上时，如图 3，点A、M、P、Q 四点按顺时针方向排列，直线PQ 必在直线 AM 的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形当点 M 在弧 BD 上时，设弧 DB 的中点为 R，则 OR BF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页当点 M 在弧 DR 上时，如图 4，过点 M 作 OR 的垂线交弧 DB
5、 于点 Q，垂足为点 S，可得 S 是 MQ 的中点四边形AMPQ 为满足题意的平行四边形， 0 x当点 M 在弧 RB 上时，如图 5，直线 PQ 必在直线 AM 的下方，此时不存在满足题意的平行四边形当点 M 在射线 BF 上时，如图 6，直线 PQ 必在直线 AM 的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形综上，点 M 的横坐标 x 的取值范围是2x1 或 0 x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页点评：本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了分
6、类讨论思想2、（2011?河北）如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以毎秒 1 个单位长的速度运动t 秒（t0），抛物线 y=x2+bx+c 经过点 O 和点 P，已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A （1，0），B （1，5），D （4，0）（1）求 c，b （用含 t 的代数式表示）：（2）当 4t5 时，设抛物线分别与线段AB，CD 交于点 M，N在点 P 的运动过程中，你认为 AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP 的值；求 MPN 的面积 S 与 t 的函数关系式，并求t 为何值时，；精选学习资料 - - - - - - - - -
7、 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页（3）在矩形 ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出 t 的取值范围考点：二次函数综合题。分析： （1）由抛物线 y=x2+bx+c 经过点 O 和点 P，将点 O 与 P 的坐标代入方程即可求得 c，b；（2）当 x=1 时，y=1t，求得 M 的坐标，则可求得AMP 的度数，由 S=S四边形 AMNPS PAM=S DPN+S梯形 NDAMS PAM，即可求得关于 t 的二次函数，列方程即可求得t 的值；（3）根据图形，即可直接求得答案解答：
8、解：（ 1）把 x=0，y=0 代入 y=x2+bx+c ，得 c=0，再把 x=t，y=0 代入 y=x2+bx，得 t2+bt=0 ， t0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页 b=t；（2）不变如图 6，当 x=1 时，y=1t，故 M（1，1t）， tan AMP=1 ， AMP=45 ；S=S四边形 AMNPS PAM=S DPN+S梯形 NDAMS PAM= （t4） （4t16）+ （4t16）+（t1） 3 （t1）（t1）= t2t+6解 t2t+6=，得：t1= ，t2= ， 4t5， t1=
9、舍去， t= （3） t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用3（2011?江苏南京）问题情境 :已知矩形的面积为a（a 为常数， a0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型 :设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为2()(0)ayxxx探索研究 :我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1(0)yxxx的图象性质填写下表，画出函数的图象：
10、x 1413121 2 3 4 y 观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；在求二次函数y=ax2bxc（a 0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到请你通过配方求函数1yxx(x0)的最小值1 x y O 1 3 4 5 2 2 3 5 4 1 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页解决问题 :用上述方法解决“问题情境”中的问题， 直接写出答案【答案】解:x 1413121 2 3 4 y 174103522 52103174函数1yxx(0)x的图象如图本题答案不唯一，下列解法供参考当01x时
11、，y随 x增大而减小；当1x时,y随 x增大而增大；当1x时函数1yxx(0)x的最小值为 21yxx=221()()xx=22111()()22xxxxxx=21()2xx当1xx=0，即1x时，函数1yxx(0)x的最小值为 2仿2()ayxx=222 ()()axx=222 ()()22aaaxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页=22()4axax当axx=0，即xa时，函数2()(0)ayxxx的最小值为 4 a 当该矩形的长为a时，它的周长最小，最小值为4 a 【考点】 画和分析函数的图象 ,
12、配方法求函数的最大 (小)值【分析】 将 x 值代入函类数关系式求出y 值, 描点作图即可 . 然后分析函数图像. 仿2()ayxx=222 ()()axx=222 ()()22aaaxxxxxx=22()4axax所以, 当axx=0，即xa时，函数2()(0)ayxxx的最小值为4 a4 （2011?江苏杨州）在ABC中，90BACABACM ，是BC边的中点，MNBC交AC于点N动点 P 从点 B 出发沿射线 BA以每秒3厘米的速度运动同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQMP设运动时间为 t 秒（0t）（1）PBM与QNM相似吗？以图为例说明理由；精选学习资料 - - -
13、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页（2）若604 3ABCAB ，厘米求动点Q的运动速度；设APQ的面积为S（平方厘米），求S与 t的函数关系式；（3）探求22BPPQCQ2、三者之间的数量关系，以图为例说明理由【答案】 解：（ 1）PBMQNM理由如下：如图 1，MQMPMNBC，9090PMBPMNQMNPMN ， ，PMBQMN9090PBMCQNMC ， ，PBMQNMPBMQNM（2）906028 3BACABCBCAB ， ，cm又MN垂直平分BC，4 3BMCMcmA B P N Q C M A B C N M 图 1 图
14、 2（备用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页3303CMNCM ，4cm设Q点的运动速度为 v cm/s如图，当04t时，由（ 1）知PBMQNMNQMNBPMB，即4133vtvt，如图 2，易知当4t 时，1v综上所述，Q点运动速度为 1 cm/s 1284cmANACNC，如图 1，当04t时，4 334APtAQt，12SAP2134 3348 322AQttt如图 2，当t 4时，34 3APt,4AQt, 12SAP21334 348 322AQttt综上所述，2238 3 04238 342ttSt
15、t A B P N Q C M A B C N M 图 1 图 2（备用D P Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页（）222PQBPCQ理由如下：如图，延长QM至D，使MDMQ，连结BD、PDBC、DQ互相平分，四边形BDCQ是平行四边形，BDCQ. 90BAC，90PBD，22222PDBPBDBPCQ PM垂直平分DQ，PQPD222PQBPCQ【考点】 相似三角形的判定 ,。【分析】 （1）由PMBQMNPMN和都互余 得到PMBQMNP B MQ N MCP B MQ N由和都与互余得到=精选学习资料
16、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页从而PBMQNM（2） 由于604 3ABCAB ，厘米， 点P从点B出发沿射线BA以每秒3 厘米的速度运动，故点P 从点 B 出发沿射线 BA到达点A的时间为 4 秒,从而应分两种情况04t和4t 分别讨论。分两种情况04t和4t ，把,APBPt和分别用 表示 求出面积即可。（3）要探求22BPPQCQ2、三者之间的数量关系就要把BPPQCQ、放到一个三角形中，故作辅助线延长QM至D，使MDMQ，连结BD、PD得到PQPD，=BDCQ，从而在Rt PBD中，22222PDBPBDBPCQ
17、 ，5、（2011 ?江苏连云港）如图，在 Rt ABC 中， C=90， AC=8，BC=6 ，点 P在 AB 上，AP=2，点 E、F 同时从点 P 出发，分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A、B 匀速运动，点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿AB 向点 B运动，点 F 运动到点 B 时停止，点 E 也随之停止在点E、F 运动过程中，以EF 为边作正方形 EFGH，使它与ABC 在线段 AB 的同侧设 E、F 运动的时间为 t/秒（t0），正方形 EFGH 与 ABC 重叠部分面积为 S（1）当时 t=1 时，正方形 EFGH 的边长是1 当 t=3 时，正方形 EFG
18、H 的边长是4 （2）当 0t 2 时，求 S 与 t 的函数关系式；（3）直接答出： 在整个运动过程中， 当 t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。分析： （1）当时 t=1 时，可得， EP=1 ，PF=1，EF=2 即为正方形 EFGH 的边长；当 t=3 时，PE=1 ，PF=3，即 EF=4；（2）正方形 EFGH 与 ABC 重叠部分的形状，依次为正方形、五边
19、形和梯形；可分三段分别解答：当0t时；当t时；当t 2 时；依次求S 与 t 的函数关系式；（3）当 t=5 时，面积最大；解答： 解：（ 1）当时 t=1 时，则 PE=1，PF=1，正方形EFGH 的边长是 2；当 t=3 时，PE=1，PF=3，正方形EFGH 的边长是 4；（2）：当 0t 时，S 与 t 的函数关系式是 y=2t 2t=4t2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页当t时，S 与 t 的函数关系式是：y=4t22t （2t）2t （2t），=t2+11t3；当 t 2 时；S 与 t 的函数
20、关系式是：y= （t+2）（t+2） （2t）（2t），=3t；（3）当 t=5 时，最大面积是：s=16 =；点评：本题考查了动点函数问题， 其中应用到了相似形、 正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页6（2011?江苏淮安）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；现请你继续对下面问题进行探究，探究过
21、程可直接应用上述结论（S 表示面积）问题 1：如图 1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边 AB，R1，R2三等分边 AC经探究知2121RRPPS四边形13S ABC，请证明A BC图 1 P1P2R2R1A BC图 2 P1P2R2R1DQ1Q2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页A DCBP1P2P3P4Q1Q2Q3Q4图 3 问题 2： 若有另一块三角形纸板， 可将其与问题 1 中的拼合成四边形ABCD ，如图 2，Q1，Q2三等分边 DC请探究2211PQQPS四边形与 S四边形 ABCD之间的
22、数量关系问题 3：如图 3，P1，P2，P3，P4五等分边 AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边 DC若S四边形 ABCD1，求3322PQQPS四边形问题 4：如图 4，P1，P2，P3四等分边 AB，Q1，Q2，Q3四等分边 DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3 将四边形 ABCD 分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式A DP1P2P3BQ1Q2Q3C图 4 S1S2S3S4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页【答案】 解：问题 1： P1，P2三等分边 A
23、B，R1，R2三等分边 AC， P1R1 P2R2 BC AP1 R1 AP2R2 ABC，且面积比为 1:4:92121RRPPS四边形419S ABC13S ABC问题 2：连接 Q1R1，Q2R2，如图，由问题 1 的结论，可知2121RRPPS四边形13S ABC ，2211QRRQS四边形13S ACD2121RRPPS四边形2211QRRQS四边形13S四边形 ABCD由 P1，P2三等分边 AB，R1，R2三等分边 AC，Q1，Q2三等分边 DC，A BC图 2 P1P2R2R1DQ1Q2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
24、 19 页，共 24 页可得 P1R1:P2R2Q2R2:Q1R11:2，且 P1R1 P2R2，Q2R2 Q1R1P1R1A P2R2A， Q1R1A Q2R2A P1R1Q1 P2R2 Q2由结论（ 2），可知111QRPS222QRPS2211PQQPS四边形2211PRRPS四边形2211QRRQS四边形13S四边形 ABCD问题 3：设2211PQQPS四边形A，4433PQQPS四边形B，设3322PQQPS四边形C，由问题 2 的结论，可知 A1333PADQS四边形，B13CBQPS22四边形AB13(S四边形 ABCDC)13(1C)又 C13(ABC)，即 C1313(1C
25、)C整理得 C15，即3322PQQPS四边形15问题 4：S1S4S2S3【考点】 平行的判定，相似三角形的判定和性质，等量代换。【分析】 问题 1：由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面积比是对应边的比的平方的性质可得。问题 2：由问题 1 的结果和所给结论（ 2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比，可得。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页问题 3：由问题 2 的结果经过等量代换可求。问题 4：由问题 2 可知 S1S4S2S312ABCDS。7 （2011?江苏南通）如图，已
26、知直线 l 经过点 A(1，0)，与双曲线 ymx(x0)交于点 B(2，1)过点 P(p，p1)(p1)作 x轴的平行线分别交双曲线ymx(x0)和 ymx(x0)于点 M、N(1)求 m 的值和直线 l 的解析式；(2)若点 P 在直线 y2 上，求证：PMB PNA；(3)是否存在实数 p，使得 S AMN4S AMP？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由【答案】 解：(1)由点 B(2，1)在 ymx上，有 21m，即 m2。设直线 l 的解析式为ykxb，由点 A(1，0)，点 B(2，1)在ykxb上，得， ，解之，得1=1kb，O A B l x y 0kb
27、21kb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页所求 直线 l 的解析式为1yx。(2)点 P(p，p1)在直线 y2 上， P 在直线 l 上，是直线 y2 和 l的交点，见图（ 1）。根据条件得各点坐标为 N（1，2），M（1，2），P（3，2）。 NP3（ 1）4，MP312，AP2222822，BP22112在 PMB 和 PNA 中， MPB NPA，2NPAPMPBP。PMB PNA。(3)S AMN11 1222。下面分情况讨论：当 1p3 时， 延长 MP 交 X 轴于 Q， 见图 （2） 。 设直线
28、MP 为ykxb则有211kbppkb解得3111pkppbp则直线 MP 为3111ppyxpp当 y0 时，x13pp，即点 Q 的坐标为（13pp，0）。则2111143121123233AMPAMQAPQppppSSSpppp，由 242433ppp有22990pp，解之， p3（不合，舍去）， p32。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页当 p3 时，见图（ 1）S AMP12 222S AMN。不合题意。当 p3 时，延长 PM 交 X 轴于 Q，见图（ 3）。此时， S AMP大于情况当 p3 时的三
29、角形面积 S AMN。故不存在实数 p，使得 S AMN4S AMP。综上，当 p32时，S AMN4S AMP。【考点】 反比例函数，一次函数，待定系数法，二元一次方程组，勾股定理，相似三角形一元二次方程。【分析】(1)用点 B(2，1)的坐标代入 ymx即可得 m 值，用待定系数法，求解二元一次方程组可得直线l 的解析式。(2)点 P(p，p1)在直线 y2 上，实际上表示了点是直线y2 和 l 的交点，这样要求证 PMB PNA 只要证出对应线段成比例即可。(3)首先要考虑点 P 的位置。实际上，当 p3 时，易求出这时 S AMPS AMN，当 p3 时，注意到这时S AMP大于 p3
30、 时的三角形面积，从而大于SAMN，。所以只要主要研究当1p3 时的情况。作出必要的辅助线后，先求直线 MP 的方程，再求出各点坐标（用p 表示），然后求出面积表达式，代入SAMN4S AMP后求出 p 值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页8（2011?江苏苏州）已知二次函数2680ya xxa的图象与 x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于点 C点 D 是抛物线的顶点(1)如图，连接 AC，将 OAC 沿直线 AC 翻折，若点 O 的对应点 O恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；(2)如图，在正方形
31、 EFGH 中，点 E、F 的坐标分别是（ 4，4）、（4，3），边 HG 位于边 EF 的右侧小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点 P 是边 EH 或边 HG 上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）”若点P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；(3)如图，当点 P 在抛物线对称轴上时， 设点 P 的纵坐标 t 是大于 3 的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段 PA、PB、PC、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形） ？请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页