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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载中学数学规律性问题归纳 【教学目标】 懂得并把握规律探究性问题的方法 【重点难点】懂得并把握规律探究性问题的方法 【基础学问】专题诠释规律探究型题是依据已知条件或题干所供应的如干特例,通过观看、类比、归纳,发觉题目所包蕴的数字或图形的本质规律与特点的一类探干脆问题；这类问题在素材的选取、文字的表述、 题型的设计等方面都比较新奇新；其目的是考查同学收集、分析数据,处理信息的能力；所以规律探究型问题备受命题专家的青睐,逐步成为中考数学的热门考题；解题策略和解法精讲规律 探究型问 题是指在肯定条件下, 探究发觉有关数学对象所具有
2、的规律性或不变性的问题, 它往往给出了一组变化了的数、式子、 图形或条件, 要求同学通过阅读、观看、 分析、猜想来探究规律它表达了“ 特殊到一般” 的数学思想方法,考察了同学的分析、解决问题才能, 观看、 联想、 归纳才能, 以及探究才能和创新才能题型可涉及填空、挑选或解答 ； 【例题讲解】一 与数与式有关的规律探究性问题2 b,b a5 2,b a8 113,ba 4 , ab 0,其中第7 个式子是例 1一组按规律排列的式子：a_,第 n 个式子是_ n 为正整数 名师归纳总结 20 3n1解析 第 7 个式子是b a 7 ,第 n 个式子是 1 nba n .观看给出的一列数,发觉这一列
3、数的分母a 的指第 1 页,共 9 页数分别是 1、2、3、4、 ,与这列数的项数相同,故第7 个式子的分母是a7,第 n 个式子的分母是an；这一列数的分子b 的指数分别是2、5、8、11、 ,这一组数首项为2,从其次项起,每一项与它的前一项的差等于 3,第 n 项应为 23n13n1.故第 7 个式子的分子是b3 7 1b20,第 n 个式子的分子是b3n 1；特殊要留意的是这列数字每一项的符号,它们的规律是奇数项为负,偶数项为正,故第7 个式子的符号为负,第 n 个式子的符号为 1n. 例 2小东玩一种“ 挪珠子” 嬉戏,依据移动珠子的难度不同而得分不同,规定每次挪- - - - - -
4、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：按表中规律,当所得分数为71 分时,就移动的珠子数为_颗； 当移动 n 颗珠子时n 为大于 1 的整数 , 所得分数为 _用含 n 的代数式表示 解析 从表格中能看出所得分数为 5、 11、 19、29、41 . 从上图中,我们能看出这一组数的增幅不相等,但是增幅以 二次函数设移动 n 颗珠子时 n 为大于 1 的整数 , 所得分数为 yn an2bnc,4a 2b c5,由题意得 9a 3b c11,16a4bc 19,a 1,b 1,解得 c 1,yn n2 n1. 令
5、yn71,解得 n8. 2 的幅度在增加,所得分数是移动珠子数的例 3 如图 Z21 为手的示意图,在各个手指间标记字母 A,B,C,D.请你按图中箭头所指方向 即 AB CDC BABC 的方式 ,从 A 开头数连续的正整数 1,2,3,4, ,当数到 12 时,对应的字母是 _；当字母 C 第 201 次显现时,恰好数到的数是 _；当字母 C 第2n 1 次显现时 n 为正整数 ,恰好数到的数是 _用含 n 的代数式表示 名师归纳总结 解析 通过对字母观看可知：前六个字母为一组,后边就是这组字母反复显现.12 除以第 2 页,共 9 页6 刚好余数为零,就表示这组字母刚好显现两次,最终一个
6、字母应当是B.当字母 C 第 201- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 次显现时,由于每组字母中优秀学习资料欢迎下载100 次后仍要加一次C 字母C 显现两次,就这组字母应当显现显现,而第一个 C 字母在第三个显现,100 63603.当字母 C 第 2n1 次显现时,就这组字母应当显现 2n 次后仍要加一次 C 字母显现,应当是 n 6 36n 3. 例 4 如图 Z22 所示,已知 Rt ABC 中, ACB90 ,AC6,BC8,过直角顶点 C作 CA1AB,垂足为 A1,再过 A1 作 A1C1BC,垂足为 C1,过 C1 作 C1A2AB,垂足
7、为 A2,再过 A2作 A2C2BC,垂足为 C2, ,这样始终作下去,得到了一组线段CA1,A1C1,C1A2,A2C2, , AnCn,就 A1C1_ _,AnCn_6 4 52n_解析 在 Rt ABC 中, AC6,BC8,利用勾股定理得AB 10,可由 A1CA CBA 计算得 CA124 5 也可由 Rt ABC 斜边上的高hab c求得 ,同理可求A1C196 25,AnCn6 42n. 例 5 例 5 在平面直角坐标系 xOy 中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点A0,4,点 B 是 x 轴正半轴上的整点,记AOB 内部 不包括边界 的整点个数为 m.当 m3时,点
8、B 的横坐标的全部可能值是 _；当点 B 的横坐标为 4nn 为正整数 时, m_用含 n 的代数式表示 解析 依据题意画出图形,再找出点B 的横坐标与AOB 内部 不包括边界 的整点m之间的关系当点 B 在3,0点或 4,0点时, AOB 内部 不包括边界 的整点为 1,11,22 ,1,共三个点,当 m3 时,点 B 的横坐标的全部可能值是 3 或 4；同学通过在试卷上精确作图,能够发觉当 n1 时,点 B 的横坐标为 4,此时 m3；当n2 时,点 B 的横坐标为 8,此时 m9；当 n3 时,点 B 的横坐标为 12,此时 m15.我们能够发觉 3、9、15 为首项为 3,公差为 6
9、的等差数列,很简单能够得到 6n3. 此类题解答的关键是先练后想,通过精确作图, 列出关于两个变量变化情形的表格,再通过查找数式规律得到解答例 6在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的位置如图Z24 所示,点 A 的坐标为 1,0,点 D 的坐标为 0,2延长 CB 交 x 轴于点 A1,作正方形A1B1C1C；延长 C1B1 交 x 轴于名师归纳总结 点 A2,作正方形A2B2C2C1 按这样的规律进行下去,第3 个正方形的面积为_；第第 3 页,共 9 页n 个正方形的面积为_ 用含 n 的代数式表示 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习
10、资料 欢迎下载解析 观看图形可知,正方形都相像,A1B1A2 A2B2A3,这些三角形的三边比等于 125,可求出 A1B1AB2 3. 同理可知每一个正方形与后一个正方形的相像比等于 32,第 1 个正方形的面积为 5, 2 个正方形的面积为 53 2 2,第 3 个正方2n2形的面积为 53 2 4,第 n 个正方形的面积为 5 3 2以平面直角坐标系为载体的规律探究性问题,表达了“ 数” 与“ 形” 的完善结合在坐标系中讨论几何图形,实现线段长度和点的坐标的正确转换是关键,要留意横、自变化的规律以及两者之间的关系解决问题的方法与前两种类型一样例 7 在下表中, 我们把第 i 行第 j 列
11、的数记为 ai,j其中 i,j 都是不大于对于表中的每个数 ai ,j 规定如下：当 ij 时, ai, j1；当 ij 时,1 时, ai,ja2,11.按此规定, a1,3_；表中的 25 个数中,共有 _个 1；运算 a1,1 ai,1a1,2ai,2a1,3 ai,3a1,4ai,4a1,5ai,5 的值为 _ 解析 a1,3 0；依据方格中排序可知,满意上的五个数,从而可知可知后四项都为定义新运算是指用一种新的运算符号或表达式表示一种新的运算规章,解决此类题的关键是要正确懂得新定义的算式含义,将数值代入算式中,再把它转化为一般的四就运算,然后进行计名师归纳总结 - - - - - -
12、 -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载 达标检测 A组1.对于任意两个实数对（a,b）和（ c,d）,规定：当且仅当 ac 且 b d 时, （ a,b）=（c,d）定义运算“” ：（a,b）（c,d）=（ac bd,adbc）如（ 1,2）（p,q）=（5,0）,就 p, q2. 在平面直角坐标系 xOy 中, 正方形 A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2, , 按如下列图的方式放置. 点 A1、A2、A3, 和 B1、B2、B3, 分别在直线 y=kx+b 和 x 轴上 . 已知 C11, -1, C 2 7, 3,
13、 就点 A3的坐标是 . 2 2y y=kx+bA3A1 A2OC1B1C2B2C3B3x1, 1的第 2 题第 3 题3、将边长分别为1、2、 3、4 19、20 的正方形置于直角坐标系第一象限,如图中方式叠放,就按图示规律排列的全部阴影部分的面积之和为 . 4、如 x 是不等于 1 的实数, 我们把11x称为 x 的差倒数, 如 2 的差倒数是112差倒数为111,现已知x 11,x 是x 的差倒数,x3是x 的差倒数,x 是x 的 123差倒数, ,依次类推,就x2022= 5、观看图给出的四个点阵,s 表示每个点阵中的点的个数,依据图形中的点的个数变化规名师归纳总结 律,猜想第n 个点
14、阵中的点的个数s 为（）第 5 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.3n 2 B.3n 1 优秀学习资料欢迎下载C.4n+1 D.4n 3 B组6、如下列图,直线yx 1 与 y 轴相交于点A1,以 OA1为边作正方形OA1B1C1,记作第一个正方形；然后延长 C1B1与直线 yx1相交于点 A2,再以 C1A2为边作正方形 C1A2B2C2,记作其次个正方形；同样延长 C2B2 与直线 yx1 相交于点 A3,再以 C2A3 为边作正方形 C2A3B3C3,记作第三个正方形； ,依此类推, 就第 n 个正方形的边长为 _6 题7、设S
15、 1=111,S 2=111,S 3=111, , S n=11n12 1,n2 12222322 342n2设SS 1S 2S n,就 S=_ 用含 n 的代数式表示,其中为正整数 ；8、如图,已知 Al（1,0）,A2（1,1）,A3（ 1,1）,A4（ 1,1）,A5（2,1）, 就点 A2022 的坐标为 _第 7 题第 8 题第 10 题名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9.如图,等腰优秀学习资料欢迎下载AB 为半径作弧BC 1,交斜Rt ABC 的直角边长为4,以 A 为圆心,直角边边 AC 于点 C1,
16、C1B1AB 于点 B1,设弧 BC1,C1B 1,B1B 围成的阴影部分的面积为 S1,然后以 A 为圆心, AB 1 为半径作弧 B1C2,交斜边 AC 于点 C2,C2B 2AB 于点 B2,设弧B1C2,C2B2,B2B1围成的阴影部分的面积为 面积 S3=S2,按此规律连续作下去,得到的阴影部分的10、（如图, 已知ABC 的周长为 m,分别连接 AB,BC,CA 的中点 A1,B1,C1得 A1B1C1,再连接 A1B1,B1C1,C1A1 的中点 A2,B2,C2 得 A2B2C2,再连接 A2B2,B2C2,C2A2的中点 A3,B3,C3 得 A3B3C3, ,这样连续下去,
17、最终得AnBnCn设 A1B1C1 的周长为 l 1, A2B2C2 的周长为l2, A3B3C3 的周长为l3, , AnBnCn 的周长为ln,就 ln=C组11、如图, n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同始终线上,点M 1,M 2,M 3, M n分别为名师归纳总结 边 B 1B 2,B2B 3,B 3B 4, ,B nB n+1 的中点,B 1C1M 1 的面积为 S1, B2C2M 2 的面积为 S2,第 7 页,共 9 页 B nCnM n的面积为Sn,就 Sn= ； 用含 n 的式子表示 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12、如
18、图,四边形优秀学习资料欢迎下载ABCD 各边ABCD 中, ACa,BDb,且 AC 丄 BD,顺次连接四边形中点,得到四边形 A1B1C1D 1,再顺次连接四边形 A1B1C1D 1各边中点,得到四边形 A2B2C2D 2 ,如此进行下去,得到四边形 AnBnCnD n以下结论正确的有（）a b四边形 A2B2C2D2 是矩形；四边形 A4B4C4D4 是菱形；四边形 A5B5C5D5 的周长是4四边形 AnBnCnDn 的面积是 ab n 12A、 B、 C 、 D、13已知 n 是正整数,P x y 1,P x 2,y 2,P nxn,y n,是反比例函数yk图象x上的一列点, 其中x
19、11,x22,x nn,记A 1xy 1 2,A 2x y ,A nx yn1,如1Aa（ a 是非零常数）,就A A 2A 的值是 _（用含 a 和 nn 的代数式表示） 2 n 114如图,假如以正方形ABCD 的对角线 AC 为边作其次个正方形名师归纳总结 ACEF ,再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ,IFEC第 8 页,共 9 页如此下去, ,已知正方形ABCD 的G面积S 为 1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S 2,S 3, ,JDSn（n 为正整数）,那么第 8 个正方形的面积S 8_；15如下数表是由从1 开头的连续自然数组成,观看规律并完成各题的解答HAB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 （1）表中第 8 行的最终一个数是_,它是自然数 _的平方,第8行共有 _个数；（2）用含 n 的代数式表示：第n 行的第一个数是_ ,最终一个数是_ ,第 n 行共有 _个数；（3）求第 n 行各数之和名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页