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1、第1页共11页简单的线性规划【考纲要求】1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景。2. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。3. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；4. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。5. 熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：不等式与不等关系394841 知识要点 】考点一：用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.
2、虚线表示区域不包括边界直线要点诠释：画二元一次不等式0(0)AxByC或0(0)AxByC表示的平面区域的基本步骤：画出直线:0lAxByC有等号画实线，无等号画虚线；当0C时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C时，另取一特殊点判断；确定要画不等式所表示的平面区域。简称： “ 直线定界，特殊点定域”方法。考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数 Ax+By+c 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)假设原点不在直线上，则取原点(0,0) 最简便 . 把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符
3、号即可判断二元一次不等式Ax+By+c0(或0(或0(或 0)表示直线的哪一侧. 考点三：线性规划的有关概念：线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于 x、y 的一次式z=ax+by(a，b R)是欲到达最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解x,y 叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题
4、的最优解要点诠释：在应用线性规划的方法时，一般具备以下条件：一定要能够将目标表述为最大化极大或最小化极小的要求。一定要有到达目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；所求的目标函数是有约束限制条件的；必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式组 ， 并将目标函数表示成为线性函数。考点四：解线性规划问题总体步骤：设变量找约束条件，找目标函数作图，找出可行域运动变化求出最优解要点诠释：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务【典
5、型例题】类型一：二元一次不等式组表示的平面区域例 1. 用平面区域表示不等式组3122yxxy. 【解析】不等式312yx表示直线312yx右下方的区域，2xy表示直线2xy右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页第3页共11页举一反三：【变式 1】画出不等式组3003xyxyx表示的平面区域并求其面积。【解析】如图，面积为814；【变式 2】由直线20 xy，220 xy和10 x围成的三角形区域如图用不等式组可表示为。【解析】122020 xxy
6、xy【变式 3】求不等式组3005xyxyx表示平面区域的面积. 【解析】不等式所表示的平面区域如图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页第4页共11页联立方程组得)25,25(),3,3(),8, 3(CBA所以4121211112121hABSABC例 2.画出以下不等式表示的平面区域(1) 0)1)(yxyx； (2) xyx2【解析】(1) 原不等式等价转化为010 xyxy或10yxyx无解，故点),(yx在区域010 xyxy内，如图：(2) 原不等式等价为0020yxyxy或0020yxyxy，如图举一反
7、三：【变式 1】用平面区域表示不等式11yx；2xy； 3xy【解析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页第5页共11页123例 3. 求满足不等式组015530632032yxyxyx的整数解 . 【解析】设1l：230 xy，2l：2360 xy，3l：35150 xy，则由2360230 xyxy，得)43,815(A，由23035150 xyxy，得)3,0(B由236035150 xyxy，得)1912,1975(C于是看出区域内点的横坐标在)1975,0(内，取1,2,3x，当1x时，代入原不等式组有51
8、2341yyy，即1512y，得y 2，区域内有整点(1, 2)。同理可求得另外三个整点(2,0)、(2, 1)、(3, 1). 举一反三：【变式 1】求不等式组3220,440,260 xyxyxy的整数解。【解析】如下列图，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页第6页共11页作直线1:3220lxy，2:440lxy，3: 260lxy，在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)， (2,0)，(1,1)，(2,1)，(3,1)即为原不等式组的整数解。类型二：图解法解决简单的
9、线性规划问题. 【高清课堂：不等式与不等关系394841 基础练习一 】例 4设变量, x y满足约束条件311xyxyy，则目标函数42zxy的最大值为A12 B 10 C8 D 2 【解析】由约束条件311xyxyy可知可行域如图：平移2yx知在(2,1)A处取得最大值10z精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页第7页共11页答案： B举一反三：【变式 1】求zx2y的最大值和最小值，使式中的x,y满足约束条件0207302154yyxyxyx. 【解析】在平面直角坐标系内作出可行域如下列图作直线: x2y0l，把
10、l向右上方平移至1l位置，即直线l经过可行域上点A时，l距原点距离最大，且x2y0，这时目标函数zx2y取得最大值 . 由方程组07202154yxyx，解得(1,5)A，maxz12511. 把直线l向左下方平移至2l位置，即直线l 经过可行域上点B时，由于x2 y0，这时目标函数zx2y取得最小值 . 由方程组07302154yxyx，解得( 4 ,1)B，minz4212. 【变式 2】给出平面区域如下列图，假设使目标函数zx(0)ay a取得最大值的最优解有无穷个，则a的值为 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共
11、11 页第8页共11页【解析】由题意结合图形可知, 线性目标函数与可行域的一边界平行, 可得53a. 【变式 3】如果点P在平面区域22021020 xyxyxy上，点Q在曲线22(2)1xy上，那么PQ的最小值为A51B415C221D21【解析】不等式组22021020 xyxyxy表示的平面区域如下列图，要求PQ的最小值只需求出圆心(0,2)到平面区域的最小值再减去半径1 即可。由图象可以知道圆心(0,2)到平面区域的最小值就是圆心(0,2)到直线210 xy的距离垂足为 A所以22|02( 2)1|51( 2)d，故选例 5. 已知x、y满足约束条件11yxxyy，求以下各式的最大值和
12、最小值. 12zxy；2zxy. 【解析】1不等式组表示的平面区域如下列图：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页第9页共11页求出交点(2,1)A，( 1, 1)C，(0.5,0.5)B，作过点(0,0)的直线0l:20 xy， 平移直线0l， 得到一组与0l平行的直线l:2zxy,zR. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，当l经过点(2, 1)A时的直线l所对应的z最大，所以max2213z；当l经过点( 1, 1)C时的直线l所对应的z最小，所以min2( 1)13z. 2不等式组表示
13、的平面区域如下列图：作过点(0,0)的直线0l:0 xy，平移直线0l，得到一组与0l平行的直线l:zxy,zR. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，当l经过线段AB上的所有点时的直线l所对应的z最大，所以max211z；当l经过点( 1, 1)C时的直线l所对应的z最小，所以min( 1)12z. 举一反三：【变式 1】求35zxy的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件5315153xyyxxy.【解析】不等式组所表示的平面区域如下列图：从图示可知，直线35zxy在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点( 2,1)B的直线所对应的z最小，精选学习资料
14、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页第10页共11页以经过点3 5(,)2 2A的直线所对应的z最大 . 所以min3( 2)5( 1)11z，max35351722z. 类型三：某些实际背景的线性规划问题. 例 6. 某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9 吨，电力 4 千瓦，使用劳动力3 个，获利 7000 元：生产乙种产品每件要消耗煤4 吨，电力 5 千瓦，使用劳动力10 个，获利 12000 元。有一个生产日，这个厂可动用的煤是360 吨，电力是200 千瓦，劳动力是300 个，问应该如何安排甲、乙两种产品的
15、生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少? 【解析】设生产甲产品x 件，乙产品y 件约束条件：Ny,Nx300y10 x3200y5x4360y4x9，目标函数： z=7000 x+12000y 如图：目标函数经过A点时， z 取得最大值24y20 x300y10 x3200y5x4， 即 A20， 24 当 x=20, y=24时， zmax=700020+12000 24=428000 元 。答：安排甲产品20 件，乙产品24 件时，利润最大为428000 元。举一反三：【变式 1】某运输公司有7 辆载重量为6 t 的 A 型卡车与4 辆载重量为10 t 的 B 型卡
16、车， 9 名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t 沥青的任务， 已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车 8 次，B 型卡车 6 次，每辆卡车每天往返的成本费为A 型卡车 160 元， B 型卡车 252 元，每天派出A 型车与 B 型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？【解析】设派出A 型车 x 辆， B 型车 y 辆，所花成本费为z=160 x+252y ，且 x、y 满足给条件如：968 1063600704xyxyxxNyyN且且，即945300704xyxyxxNyyN且且如下列图，作出不等式表示的区域，精选学习资料 - - - - - - - - - 名
17、师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页第11页共11页作直线:1602520lxy，即4063yx，作直线l的平行线 l：4063yxb当直线 l经过可行域内A 点时， l纵截距最小，可得 A 点坐标为2(7,)5。z=160 x+252y ，4063252zyx，式中252z代表该直线的纵截距b，而直线 l的纵截距b 取最小值时，z 也取得最小值，即 l过2(7,)5A时，min216025216072521220.85zxy，但此时25yN，z=1220.8 到不到，即它不是可行解，调整x、y 的值，当 x=5，y=2 时，点(5,2)A在直线 4x+5y=30 上，且在可行域内符合x、y 要求。派 5 辆 A 型车， 2 辆 B 型车时，成本费用最低，即 zmin=1605+2252=1304元 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页