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1、学习必备欢迎下载简单的线性规划【考纲要求】1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。2. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。3. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；4. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。5. 熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：不等式与不等关系394841 知识要点 】考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的
2、平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）要点诠释：画二元一次不等式0(0)AxByC或0(0)AxByC表示的平面区域的基本步骤：画出直线:0lAxByC（有等号画实线，无等号画虚线）；当0C时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C时，另取一特殊点判断；确定要画不等式所表示的平面区域。简称： “ 直线定界，特殊点定域”方法。考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数 Ax+By+c 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便） . 把它的坐标代入Ax+B
3、y+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c0(或0(或0(或0) 表示直线的哪一侧. 考点三：线性规划的有关概念：线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于 x、y 的一次式z=ax+by(a，b R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值
4、的可行解叫线性规划问题的最优解要点诠释：在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；所求的目标函数是有约束（限制）条件的；必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组） ， 并将目标函数表示成为线性函数。考点四：解线性规划问题总体步骤：设变量找约束条件，找目标函数作图，找出可行域运动变化求出最优解要点诠释：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人
5、力、物力、资金等资源来完成该项任务【典型例题】类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域例 1画出 3x+y-30 所表示的平面区域. 【解析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载举一反三：【变式 1】下面给出四个点中，位于1010 xyxy，表示的平面区域内的点是（）(0 2)，( 2 0)，(02)，(2 0)，【答案】 C 【变式 2】(21)(4)0 xyxy表示的平面区域为（）A B C D 【答案】 B；原不等式可转化为04012yxyx或04012yxyx【变式 3】画出不等式240 xy
6、表示的平面区域。【解析】先画直线240 xy（画成虚线）. 取原点(0,0)代入24xy得200440, 原点不在240 xy表示的平面区域内，不等式240 xy表示的区域如图：例 2画出下列不等式组表示的平面区域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载（1）3232626xyxxyyx； （2）22300 xyxyxy；（3）232400 xyxyxy. 【解析】（ 1）（2）（3）举一反三：【变式 1】用平面区域表示不等式(1)(40 xyxy）【解析】【变式 2】求不等式组3220,440,260
7、xyxyxy的整数解。【解析】如图所示，作直线1:3220lxy，2:440lxy，3: 260lxy，在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)， (2,0)，(1,1)，(2,1)，(3,1)即为原不等式组的整数解。类型二：图解法解决简单的线性规划问题. 【高清课堂：不等式与不等关系394841 基础练习一 】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载例 3设变量, x y满足约束条件311xyxyy，则目标函数42zxy的最大值为（）A12 B 10 C8 D 2
8、 【解析】由约束条件311xyxyy可知可行域如图：平移2yx知在(2,1)A处取得最大值10z答案： B举一反三：【变式 1】已知0520402yxyxyx，求；(1) 42yxz的最大值；(2)112xyz的范围 . 【解析】作出可行域如图, 并求出顶点坐标)9,7(),1 , 3(),3, 1(CBA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载(1) 将)9,7(C代入z得最大值 21; (2) 1()21(2xyz表示可行域内一点到定点)21, 1(Q的斜率的2 倍, 因为83,47QBQAkk,
9、z的范围是27,43. 例 4. 已知x、y满足约束条件11yxxyy，求下列各式的最大值和最小值. （1）2zxy；（2）zxy. 【解析】（1）不等式组表示的平面区域如图所示：求出交点(2,1)A，( 1, 1)C，(0.5,0.5)B，作过点(0,0)的直线0l:20 xy， 平移直线0l， 得到一组与0l平行的直线l:2zxy,zR. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，当l经过点(2, 1)A时的直线l所对应的z最大，所以max2213z；当l经过点( 1, 1)C时的直线l所对应的z最小，所以min2( 1)13z. （2）不等式组表示的平面区域如图所示：
10、x y 0 x-y+2=0 x+y-4=0 2x-y-5=0 A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载作过点(0,0)的直线0l:0 xy，平移直线0l，得到一组与0l平行的直线l:zxy,zR. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，当l经过线段AB上的所有点时的直线l所对应的z最大，所以max211z；当l经过点( 1, 1)C时的直线l所对应的z最小，所以min( 1)12z. 举一反三：【变式 1】求35zxy的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件53151
11、53xyyxxy.【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线35zxy在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点( 2,1)B的直线所对应的z最小，以经过点3 5(, )2 2A的直线所对应的z最大 . 所以min3( 2)5( 1)11z，max35351722z. 类型三：实际应用问题中的线性规划问题. 例 5. 家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000 个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300 个工作时，又已知制作一把椅子和一张
12、书桌的利润分别是15 元和 20 元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润? 【解析】设制作 x 把椅子， y 张桌子约束条件：Ny,Nx1300yx28000y8x4，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载目标函数： z=15x+20y. 如图：目标函数经过A点时， z 取得最大值1300yx28000y8x4900y200 x即 A(200, 900) 当 x=200, y=900时， zmax=15200+20900=21000(元) 答：安排生产200 把椅子， 900 张桌子时，利润最大
13、为21000 元。举一反三：【变式 1】某企业生产A、B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）A 产品3 9 4 B 产品10 4 5 已知生产每吨A 产品的利润是7 万元，生产每吨B 产品的利润是12 万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力 300 个，煤 360 吨，并且供电局只能供电200 千瓦，试问该企业生产A、 B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？【解析】设生产 A、B两种产品各x、 y 吨，利润为z 万元则31030094360452000,0 xyxyxyxy，目标函数712zxy作出可行域，如图所示，作出在一组平行直线7x+12y=t （t 为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线，此直线经过点M（20，24）故 z 的最优解为（ 20，24）， z 的最大值为720+1224=428（万元）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页