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1、精品_精品资料_简洁的线性规划【考纲要求】1. 明白现实世界和日常生活中的不等关系,明白不等式组的实际背景.2. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.3. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.明白二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.4. 会从实际情境中抽象出一些简洁的二元线性规划问题,并能加以解决.5. 娴熟应用不等式性质解决目标函数的最优解问题.【学问网络】不等式组的应用背景简洁的线性规划二元一次不等式组表示的区域简洁应用【考点梳理】【高清课堂：不等式与不等关系394841 学问要点 】考点一：用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式 Ax+By+C 0 在
2、平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧全部点组成的平面区域.虚线表示区域不包括边界直线要点诠释：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_画二元一次不等式AxByC00 或AxByC00 表示的平面区域的基本步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_画出直线l : AxByC0 有等号画实线,无等号画虚线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 C0 时,取原点作为特别点,判定原点所在的平面区域.当C0 时,另取一特别点判定.可编辑资料 - - - 欢迎下载
3、精品_精品资料_确定要画不等式所表示的平面区域.简称：“ 直线定界,特别点定域”方法.考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方法由于对在直线 Ax+By+c=0 同一侧的全部点 x ,y,实数 Ax+By+c 的符号相同,所以只需在此直线的某一侧任取一点 x 0, y0 假设原点不在直线上,就取原点0,0最简便 . 把它的坐标代入 Ax+By+c,由其值的符号即可判定二元一次不等式Ax+By+c0 或0 或0或0 表示直线的哪一侧 .考点三：线性规划的有关概念：线性约束条件：在一个问题中,不等式组是一组变量x、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件线
4、性目标函数：关于 x、y 的一次式 z=ax+by a, b R是欲到达最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式,叫线性目标函数线性规划问题：一般的,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满意线性约束条件的解x,y 叫可行解 由全部可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解要点诠释：在应用线性规划的方法时,一般具备以下条件：肯定要能够将目标表述为最大化极大或最小化微小的要求.肯定要有到达目标的不同方法,即必需要有不同的挑选的可能性存在.所求的目标函数是有约束限制条件的.必需将约束条件用代数语言表
5、示成为线性等式或线性不等式组,并将目标函数表示成为线性函数.考点四：解线性规划问题总体步骤：设变量找约束条件,找目标函数运动变化作图,找出可行域求出最优解要点诠释：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：在人力、物力、资金等资源肯定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务.给定一项任务,如何合理支配和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务【典型例题】类型一：二元一次不等式组表示的平面区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1.用平面区域表示不等式组y3x12.x2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
6、_【解析】不等式 y3x12 表示直线 y3x12 右下方的区域,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 y 表示直线 x2 y 右上方的区域,取两区域重叠的部分,如图的阴影部分就表示原不等式组的解集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_举一反三：xy30【变式 1】画出不等式组xxy30表示的平面区域并求其面积.【解析】如图,面积为81 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变式 2】由直线 xy20 , x2 y20 和 x10 围成的三角形区域如图用不等式组可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示为.可编辑资料 - - - 欢迎下载
7、精品_精品资料_【解析】x1x 2 y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变式 3】求不等式组xy5xy0x30表示平面区域的面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】不等式所表示的平面区域如图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_联立方程组得A3,8, B3,3, C 5 , 5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 SABC1ABh21111122221214可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2.画出以下
8、不等式表示的平面区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) xy xy 10 . 2xy2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 1原不等式等价转化为xy0x或xy10xy0无解,y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故点 x, y 在区域xy0xy10内,如图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y0y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 原不等式等价为xy0或2 xy0xy2 xy0,如图0可编辑资料 - - -
9、欢迎下载精品_精品资料_举一反三：【变式 1】用平面区域表示不等式1 yx1.2 xy . 3 xy【解析】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122 xy30例 3. 求满意不等式组2 x3 y60 的整数解 .3x5 y1503可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】设l1 ： 2 xy30 , l2 ： 2 x3 y60 , l3 ： 3 x5 y150 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x3 y由6015,得 A, 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xy3084可编辑资
10、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xy30由,得 B0, 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x5 y150可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x3 y由3x5 y60150,得 C 75 ,1912 19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是看出区域内点的横坐标在0, 75 内,取 x191,2,3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1 时,代入原不等式组有y1y4,即3y12512y 51 ,得 y 2,可编辑资料 - -
11、 - 欢迎下载精品_精品资料_区域内有整点 1, 2 .同理可求得另外三个整点2,0 、 2,1 、 3,1 .举一反三：3 x2 y20,【变式 1】求不等式组x4 y40,的整数解.2 xy60【解析】如以下图,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作直线l1 : 3x2 y20 , l2 : x4 y40 , l3 : 2xy60 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在直角坐标平面内画出满意不等式组的区域,此三角形区域内的整点2,1,1,0, 2,0,1, 1,2, 1,3,1 即为原不等式组的整数解.类型二：图解法
12、解决简洁的线性规划问题.【高清课堂：不等式与不等关系394841 基础练习一 】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 设变量x, y 满意约束条件xy3xy1 ,就目标函数z4 x2 y 的最大值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1A 12B 10C 8D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】由约束条件xy3xy1 可知可行域如图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平移 y2 x 知在A2,1 处取得最大值 z10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： B
13、举一反三：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变式 1】求 zx2 y 的最大值和最小值,使式中的x , y 满意约束条件4x5 y210x3 y70.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xyy0【解析】在平面直角坐标系内作出可行域如以下图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作直线l : x2y0 ,把 l 向右上方平移至l 1位置,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即直线 l 经过可行域上点 A 时, l 距原点距离最大,且x2 y0 , 这时目标函数zx2 y 取得最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由方程组4x5
14、y2xy21070,解得A 1 ,5 ,zmax12511 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把直线 l 向左下方平移至l 2 位置,即直线 l 经过可行域上点 B 时,由于 x2 y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这时目标函数zx2 y 取得最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由方程组4x5yx3y21070,解得B 4 ,1 ,zmin4212 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变式 2】给出平面区域如以下图,假设使目
15、标函数 z就 a 的值为.a xy a0 取得最大值的最优解有无穷个,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】由题意结合图形可知, 线性目标函数与可行域的一边界平行, 可得 a3 .52xy2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变式 3】假如点 P 在平面区域x2 y1 0上,点 Q 在曲线 x2 y2 21 上,那么 PQ 的最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小值为A 51B 41 5C 221D 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 xy2 0可编辑资料 - - -
16、 欢迎下载精品_精品资料_【解析】不等式组x 2y1 0表示的平面区域如以下图,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy2 0要求 PQ 的最小值只需求出圆心0,2 到平面区域的最小值再减去半径1 即可.由图象可以知道圆心0,2 到平面区域的最小值就是圆心0,2 到直线 x2 y10 的距离垂足为 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 d| 02 21|5 ,应选可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5. 已知 x 、 y 满意约束条件y xxy1 ,求以下各式的最大值和最小值.y1可编辑资料
17、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 z2xy .2 zxy.【解析】1不等式组表示的平面区域如以下图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求出交点A2,1 , C 1,1 ,B0.5,0.5 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作过点 0,0 的直线l0 : 2 xy0 ,平移直线l 0 ,得到一组与l 0 平行的直线 l : z2 xy , zR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可知,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中,可编辑
18、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 l 经过点A2,1 时的直线 l 所对应的 z 最大,所以zmax2213 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 l 经过点C 1,1 时的直线 l 所对应的 z 最小,所以zmin2113 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2不等式组表示的平面区域如以下图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作过点 0,0 的直线l0 : xy0 ,平移直线l0 ,得到一组与l 0 平行的直线 l : zxy , zR.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可知
19、,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 l 经过线段 AB 上的全部点时的直线l 所对应的 z 最大,所以zmax211 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 l 经过点C 1,1 时的直线 l 所对应的 z 最小,所以zmin112 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_举一反三：5 x3 y15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变式 1】求 z3x5 y 的最大值和最小值,使式中的
20、x 、 y 满意约束条件yx1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x5 y3【解析】不等式组所表示的平面区域如以下图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从图示可知,直线z 3 x5 y 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以经过点B 2,1 的直线所对应的 z 最小,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以经过点3 5A,2 2的直线所对应的 z 最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 zmin325 111 ,可编辑资料 - - - 欢
21、迎下载精品_精品资料_zmax335517 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22类型三：某些实际背景的线性规划问题.例 6. 某厂生产甲、乙两种产品,生产甲种产品每件要消耗煤9 吨,电力 4 千瓦,使用劳动力3 个,获利 7000 元：生产乙种产品每件要消耗煤4 吨,电力 5 千瓦,使用劳动力10 个,获利 12022 元.有一个生产日,这个厂可动用的煤是360 吨,电力是 200 千瓦,劳动力是 300 个,问应当如何支配甲、乙两种产品的生产,才能使工厂在当日的获利最大,并问该厂当日的最大获利是多少.【解析】设生产甲产品x 件,乙产品 y 件9x4y3604x5y2003x
22、10y300xN, yN约束条件：,目标函数： z=7000x+12022y如图：目标函数经过A 点时, z 取得最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x5y3x10y200300x 20y 24, 即 A20, 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 x=20, y=24时, z max=700020+1202224=428000元 .答：支配甲产品 20 件,乙产品 24 件时,利润最大为428000 元.举一反三：【变式 1】某运输公司有 7 辆载重量为 6 t 的 A 型卡车与 4 辆载重量为 10 t 的 B 型卡车, 9 名驾驶员, 在建筑某段高
23、速大路中, 此公司承担了每天至少搬运360 t 沥青的任务, 已知每辆卡车每天来回的次数为A 型卡车 8 次, B 型卡车 6 次,每辆卡车每天来回的成本费为A 型卡车 160 元, B 型卡车 252 元,每天派出A 型车与 B 型车各多少辆,才能使公司所花的成本费最低？【解析】设派出 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,所花成本费为z=160x+252y ,且 x、y 满意给条件如：xy9xy9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x7且 xN0x7且xN0y4且 yN0y4且 yN6x 810y6360 ,即 4x5y30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如以
24、下图,作出不等式表示的区域,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作直线l :160 x252 y0 ,即 y40 x ,63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作直线 l 的平行线l ： y40 xb63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当直线l 经过可行域内 A 点时,l 纵截距最小,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7,可得 A 点坐标为2 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ z=160x+252y , y40 xz,式中z 代表该直线的纵截距b,可编辑资料 - - - 欢
25、迎下载精品_精品资料_63252252可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而直线l 的纵截距 b 取最小值时, z 也取得最小值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 l 过2A 7, 时,5zmin160 x252 y160725221220.8 ,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但此时 y2N ,5 z=1220.8 到不到,即它不是可行解,调整x、y 的值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x=5 , y=2 时,点A5,2在直线 4x+5y=30 上,且在可行域内符合x、y 要求.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_派 5 辆 A 型车, 2 辆 B 型车时,成本费用最低, 即 zmin=160 5+2 252=1304 元 .可编辑资料 - - - 欢迎下载