《2022年高考数学一轮复习简单线性规划理北师大版 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学一轮复习简单线性规划理北师大版 .pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第四节简单线性规划【考纲下载 】1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决1二元一次不等式表示的平面区域(1) 一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0 表示直线AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域( 半平面 )不包括边界直线，把边界直线画成虚线不等式AxByC0 所表示的平面区域( 半平面 ) 包括边界直线，把边界直线画成实线(2) 对于直线AxByC0 同一侧的所有点(x，y) ，使得AxByC的值符号相同，也就
2、是位于同一半平面的点，如果其坐标满足AxByC0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足AxByC0. (3) 可在直线AxByC0 的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0) ，从Ax0By0C的符号就可以判断AxByC0( 或AxByC0)所表示的区域(4) 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分2线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式线性约束条件由x，y的一次不等式 ( 或方程 ) 组成的不等式 ( 组 ) 目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)
3、 可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1点P1(x1，y1) 和P2(x2，y2) 位于直线AxByC0 的两侧的充要条件是什么？提示： (Ax1By1C)(Ax2By2C)0. 2线性目标函数的最优解是唯一的吗？提示：不一定，可能有多个3线性目标函数取得最值的点是否一定在可行域的顶点或边界上？提示：是一定在可行域的顶点或边界上1( 教材习题改编) 不等式x2y 60 所表示的平面区域内，则m的取值范围是 ( ) Am1 B m1 C m1 解析：选D 点 (m,1) 在不等式2x3y50 所表示的平
4、面区域内，2m 350，即m1. 4(2013安徽高考 ) 若非负变量x，y满足约束条件xy 1，x2y4，则xy的最大值为_解析：由线性约束条件xy 1，x2y4，x0，y0，画出可行域如图所示令zxy，则直线yxz经过C(4,0) 时截距最大zmax4 04，xy的最大值为4. 答案： 4 5在平面直角坐标系中，若不等式组xy10，x10，axy10(a为常数 ) 所表示的平面区域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思的面积等于2，则a的值为 _解析：不等式组xy10，x10，
5、axy10所围成的区域如图所示其面积为2， |AC| 4，C的坐标为 (1,4)，代入axy10，得a3. 答案： 3 考点一二元一次不等式(组) 表示的平面区域 例 1 (2013山东高考 ) 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2xy20，x2y10，3xy80所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( ) A2 B1 C13 D12 自主解答 不等式组2xy20，x2y10，3xy80所表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，当M与C重合时，直线OM斜率最小由x2y10，3xy80，得C(3 ， 1)，所以直线OM斜率的最小值为kOC13. 答案 C 【互动探究】在本例条件下，若P
6、(0， 3) ，求 |PM| 的最小值解： |PM| 的最小值为点P到直线x2y10 的距离d|0 61|1475755. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【方法规律】确定二元一次不等式( 组) 表示的平面区域的方法(1) 确定二元一次不等式( 组) 表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组若满足不等式组，则不等式( 组) 表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域(2) 当不等式中带等号时，边
7、界为实线， 不带等号时， 边界应画为虚线，特殊点常取原点若不等式组x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域被直线ykx43分为面积相等的两部分，求k的值解：由图可知，线性规划区域为ABC边界及内部ykx43恰过A0，43，ykx43将区域平均分成面积相等的两部分，直线ykx43一定过线段BC的中点D，易求C(0,4) ，B(1,1) ，线段BC的中点D的坐标为12，52. 因此52k1243，k73. 高频考点考点二线性目标函数的最值问题1线性目标函数的最值问题是每年高考的热点，属必考内容， 题型多为选择题和填空题，难度适中，属中档题2高考对线性目标函数最值问题的考查有以下两个命题角度：(1)
8、 求线性目标函数的最值；(2) 已知线性目标函数的最值求参数 例 2 (1)(2013 天津高考)设变量x，y满足约束条件3xy60，xy2 0，y30，则目标函数zy 2x的最小值为 ( ) A 7 B 4 C1 D 2 (2)(2013 浙江高考) 设zkxy，其中实数x，y满足x2，x2y40，2xy40.若z的最大值为 12，则实数k_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 自主解答 (1) 由x，y满足的约束条件可画出所表示的平面区域为如图所示的三角形ABC，作出直线
9、y2x，经过平移得目标函数zy2x在点B(5,3) 处取得最小值，即zmin 310 7. (2) 画出可行域如图所示其中A(2,3) ，B(2,0) ，C(4,4) 当k 0时，显然不符合题意；当k0 时，最大值在点C处取得，此时124k4，即k2；当k0(舍 )或k20(舍) 故k2. 答案 (1)A (2)2 线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略(1) 求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值(2) 由目标函数的最值求参数求解线性规划
10、中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数1(2013新课标全国卷) 已知a0，x，y满足约束条件x1，xy3，yax若z2xy的最小值为1，则a( ) A.14 B.12 C1 D2 解析：选B 由约束条件画出可行域( 如图所示的ABC) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而
11、精思由x1，yax，得A(1 ， 2a) ，当直线 2xyz 0 过点A时，z2xy取得最小值，所以121 2a，解得a12. 2已知变量x，y满足约束条件xy30，1x1，y1，则zxy的最大值是 _解析：如图所示，画出约束条件表示的平面区域( 四边形ABCD) ，作出目标函数zxy的基本直线l0：xy0，通过平移可知zxy在点C处取最大值，而点C的坐标为 (1,4) ，故zmax5. 答案： 5 考点三线性规划的实际应用 例 3 (2013湖北高考) 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900 名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为1 600 元/ 辆和
12、2 400 元/ 辆，旅行社要求租车总数不超过21 辆，且B型车不多于A型车 7 辆则租金最少为( ) A31 200 元 B36 000 元C36 800 元 D38 400 元 自主解答 设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z，则36x60y900，yx7，yx21，x，yN ，画出可行域 ( 图中阴影区域中的整数点) ，则目标函数z1 600 x2 400y在点N(5,12) 处取得最小值36 800 元 答案 C 【方法规律】求解线性规划应用题的注意点(1) 注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等精选学习资料 - - -
13、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(2) 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点某公司生产甲、 乙两种桶装产品 已知生产甲产品1 桶需耗A原料 1 千克，B原料 2 千克；生产乙产品1 桶需耗A原料 2 千克，B原料 1 千克每桶甲产品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400 元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12 千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最
14、大利润是( ) A1 800 元 B2 400 元C2 800 元 D3 100 元解析：选C 根据题意，整理表格如下：A原料 ( 千克 )B原料 ( 千克 )利润 (元) 甲产品 ( 桶)12300 乙产品 ( 桶)21400 限制1212设每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有x2y12，2xy12，x，yN，z300 x400y. 作出可行域如图中阴影部分内的整点将z300 x400y变形为y34xz400，得到斜率为34，在y轴上的截距为z400，随z变化的一族平行直线由图可知，当直线y34xz400经过点A时，z400最大，即z最大解方程组x2y12，2xy12，得
15、A点坐标为 (4,4) ，所以zmax30044004 2 800 元故每天生产甲产品4 桶，乙产品4 桶时，公司共可获得的最大利润为2 800 元 课堂归纳通法领悟 种方法确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法(1) 直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2) 特殊点定域，即在直线AxByC0 的同一侧取一个特殊点(x0，y0) 作为测试点代入不等式检验， 若满足不等式， 则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧特别地，当C0 时，常把原点作为测试点；当C0 时，常选点 (1,0) 或者 (0,1)作为测试点个步骤利用线性规划求最值
16、的步骤(1) 在平面直角坐标系内作出可行域；(2) 考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3) 在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4) 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思个注意点求线性目标函数最值应注意的问题求二元一次函数zaxby(ab0)的最值，将函数zaxby转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值，应注意以下两点：(1) 若b0，则截距zb取最大值时，z也取最大
17、值；截距zb取最小值时，z也取最小值(2) 若b0，则截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值前沿热点 ( 十 ) 与线性规划有关的交汇问题1线性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以及解析几何的相关知识交汇命题2解决此类问题的思维精髓是“数形结合”，作图要精确，图上操作要规范 典例 (2013北京高考 ) 已知点A(1 ， 1) ，B(3，0) ，C(2,1) 若平面区域D由所有满足APABAC(1 2,0 1)的点P组成，则D的面积为 _ 解题指导 利用向量的坐标运算公式表示出点P坐标满足的关系式，利用数形结合的思想求解 解析 AB(2,1) ，AC(1,2) 设P(
18、x，y) ，由APAB AC，得x12，y12，故有2xy 33，2yx 33.又 1,2， 0,1 ，故有12xy332，02yx331，即32xy36，02yx33.则平面区域D如图中阴影部分所示由图可知平面区域D为平行四边形，可求出M(4,2) ，N(6，3) ，故|MN| 5. 又x2y0与x2y30 之间的距离为d35355，故平面区域D的面积为S53553. 答案 3 名师点评 解决本题的关键有以下几点：(1) 根据已知条件，正确利用x，y表示 和 . (2) 根据 和 的取值范围确定关于x，y的二元一次不等式组(3) 准确画出不等式组表示的平面区域精选学习资料 - - - - -
19、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思给定区域D：x4y4，xy4，x0，令点集T(x0，y0) D|x0，y0Z，(x0，y0) 是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定 _条不同的直线解析：画出平面区域D，如图中阴影部分所示作出zxy的基本直线l0：xy 0. 经平移可知目标函数zxy在点A(0,1) 处取得最小值， 在线段BC处取得最大值 而集合T表示zxy取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC上共有5 个整点，分别为(0,4) ，(1,3) ，(2,2) ，(3,1) ，(4,
20、0)，故T中的点共确定6 条不同的直线答案： 6 全盘巩固 1(2013新课标全国卷) 设x，y满足约束条件xy10，xy10，x3，则z2x3y的最小值是 ( ) A 7 B 6 C 5 D 3 解析：选 B 由约束条件得可行域( 如图所示 ) ，当直线 2x3yz0 过点A(3,4) 时，zmin2334 6. 2若不等式组xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( ) A.43， B(0,1 C. 1，43 D(0,1 43，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页读书之法 ,在循
21、序而渐进 ,熟读而精思解析：选D 如图所示，直线xy0 从原点向右移动，移动到(1,0) 时，再往右移，不等式组所表示的平面区域就不能构成三角形了；又从点A23，23向右移动时，不等式组所表示的平面区域为整个阴影部分的三角形所以 00，xm0表示的平面区域内存在点P(x0，y0) ，满足x0 2y02. 求得m的取值范围是 ( ) A. ，43 B.，13C. ，23 D.，53解析：选C 问题等价于直线x2y2 与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点( m，m) 不可能在第一和第三象限，而直线x2y2 经过第一、三、四象限，则点( m，m) 只能在第四象限，可得m0，不等式组所表示的平
22、面区域如图中阴影部分所示，要使直线x2y2 与阴影部分有公共点，则点( m，m) 在直线x2y20 的下方，由于坐标原点使得x2y20，即m23. 6 设不等式组xy110，3xy30，5x3y90表示的平面区域为D. 若指数函数yax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( ) A(1,3 B2,3 C(1,2 D3 ，)解析：选A 平面区域D如图所示要使指数函数yax的图象上存在区域D上的点，所以1a3.7已知点 ( 3， 1) 和点 (4 ， 6)在直线3x2ya 0 的两侧，则a的取值范围为_解析：根据题意知( 92a)(12 12a)0 ，即 (a 7)(a24)0 ，解得 7a
23、1，在约束条件yx，ymx，xy1下，目标函数zxmy的最大值小于2，求m的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解：变换目标函数为y1mxzm，由于m1，所以 11m0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y1mxzm在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值显然在点A处取得最大值， 由ymx，xy 1， 得A11m，m1m，所以目标函数的最大值zmax11mm21m2，所以m22m10，解得12m12，故m的取值范围是(1,1 2
24、)11设x，y满足约束条件xy50，xy0，x3，求z(x1)2y2的最大值解：作出不等式组xy50，xy0，x3表示的平面区域，如图中阴影部分所示(x1)2y2可看作点 (x，y) 到点P( 1,0) 的距离的平方，由图象可知可行域内的点A到点P( 1,0) 的距离最大解方程组x3，xy 50，得A点的坐标为 (3,8)， 代入z(x1)2y2， 得zmax(3 1)28280. 12若x，y满足约束条件xy1，xy 1，2xy2.(1) 求目标函数z12xy12的最值；(2) 若目标函数zax2y仅在点 (1,0)处取得最小值，求a的取值范围解： (1) 作出可行域如图，可求得A(3,4)
25、 ，B(0,1) ，C(1,0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思平移初始直线12xy120，过A(3,4)取最小值 2，过C(1,0) 取最大值 1. 所以z的最大值为1，最小值为 2. (2) 直线ax2yz仅在点 (1,0) 处取得最小值，由图象可知1a22，解得 4ab0，则a21ab1aab的最小值是 ( ) A1 B2 C3 D4 解析：选D a21ab1aaba2abab1ab1aabab1aba(ab) 1aab2 2 4，当且仅当ab1，a(ab) 1 时等号成立，即a2，b22时等号成立2若正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_解析：由a，b(0 ， ) 及基本不等式，得ab2ab，则abab32ab3，整理得ab2ab30，即 (ab3)(ab1)0，得ab3，故ab9.答案： 9 ， ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页