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1、 探究探究 类比不等式类比不等式a2+b22ab的推导过程，的推导过程，通过乘法及配方，研究关于它的不等通过乘法及配方，研究关于它的不等关系关系.分析分析 把该式首先展开，再用配方法，问把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解决。题就可以解决。解：解：展开乘积得展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2由于由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2即即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2而而(ad-bc)20,因此因此(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2提示提示 上式上式(1)是本节课
2、所要研究是本节课所要研究的柯西不等式的柯西不等式.定理定理1（二维形式的柯西不等式）（二维形式的柯西不等式） 若若a,b,c,d都是实数，则都是实数，则(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2,当且仅当当且仅当ad=bc时，等号成立时，等号成立.分析分析 你能否证明你能否证明2222abcdacbd证证 明明 22222222abcdabcd 2.acbdacbd22222222, , ,.a b c dabcdacbdabcdacbd对对于于任任何何实实数数有有不不等等式式成成立立：讨论讨论 对一个代数结果进行最简单的诠释，对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助直观的几何背景。讨论
3、柯西往往要借助直观的几何背景。讨论柯西不等式的几何意义。不等式的几何意义。0 xy, a b, c d 设在平面直角坐标系设在平面直角坐标系xoy中有向量中有向量=(a,b), =(c,d) ，与之间的夹角为，与之间的夹角为，0 （如图）（如图）根据向量数量积的定义，有根据向量数量积的定义，有.=cos 用平面向量的坐标表示不等式用平面向量的坐标表示不等式(2)得：得：2222,acbdabcd所以所以.=cos 因为因为cos1,所以所以 . 定理定理2（柯西不等式的向量形式）（柯西不等式的向量形式） 设设，是两个向量，则是两个向量，则 .,当且仅当当且仅当是零向量或存在是零向量或存在实数实
4、数k,使使=k时，等号成立时，等号成立. 探究探究 试从不等式试从不等式(1)推导不等式推导不等式(2)，再，再进行反方向的推导，从数形结合的角度进行反方向的推导，从数形结合的角度体会两者的等价关系。体会两者的等价关系。观察观察 如图，在平面直角坐标系中，设点如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据，根据oP1P2 的边的边长关系，你能发现这四个实数长关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着蕴含着何种大小关系吗？何种大小关系吗？0 xy 111,Pxy 222,Pxy0 xy 111,Pxy 222,Pxy.定理定理3(
5、二维形式的三角不等式二维形式的三角不等式) 112222222211221212,xy xyRxyxyxxyy 设设那那么么能用柯西不等能用柯西不等式证明吗？式证明吗？证证 明明 22222112222222222111122222xyxyxyxyxyxyx12+y12+2x1x2+y1y2+x22+y22 x12+y12-2(x1x2+y1y2)+x22+y22 =x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2 22222211221212xyxyxxyy所所以以分析分析 不等式不等式(3)(3)对于任何实数都成立，于是可对于任何实数都成立，于是可
6、以得到：以得到： 2222131323232212124xxyyxxyyxxyy 探究探究 请结合平面直角坐标系，解释请结合平面直角坐标系，解释不等式不等式(4)的几何意义。的几何意义。例例1分析分析 虽然可以作乘法展开上式的两虽然可以作乘法展开上式的两边，然后在比较它们的大小。但如边，然后在比较它们的大小。但如果注意到不等式的形式与柯西不等果注意到不等式的形式与柯西不等式的一致性，既可以避免繁杂了。式的一致性，既可以避免繁杂了。已知已知a,b为实数。为实数。试证试证(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3)证证 明明根据柯西不等式，有根据柯西不等式，有(a4+b4)(a2+b2)(a2a+b
7、2b)2=(a3+b3)2反思反思 在证明不等式时，联系经典不等式，在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算既可以启发证明思路，又可以简化运算. .例例21102 .xx求求函函数数y=5y=5分析分析 利用不等式解决极值问题，通常设法在利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化成和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。等式求其最大值。 22221 50.512552156
8、321551276 3.27yyxxxxxxx 解解：函函数数的的定定义义域域为为 ， ，且且当当且且仅仅当当时时，等等号号成成立立，即即时时函函数数取取最最大大值值例例3,114.a bab 设设R ，R ，a+b=1, 求a+b=1, 求证证分析分析 问题中问题中a+b=1这个条件，由于常这个条件，由于常数数1的特殊性，用的特殊性，用a+b去乘任何数或去乘任何数或式子，都不会改变它们的值式子，都不会改变它们的值.证证 明明 2,11114.1,114.a bRabababababab 由由于于根根据据柯柯西西不不等等式式，得得又又所所以以1.1.二维形式的柯西不等式的代数形式二维形式的柯西
9、不等式的代数形式.若若a,b,c,d都是实数，都是实数，则则(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2,当且当且仅当仅当ad=bc时，等号成立时，等号成立.2.二维形式的柯西不等式的向量形式二维形式的柯西不等式的向量形式.设设，是两个向量是两个向量，则则 .,当且仅当当且仅当是零向量或存在实数是零向量或存在实数k,使使=k时时，等号成立等号成立.3.二维形式的柯西不等式的应用二维形式的柯西不等式的应用. 112222222211221212,xyxyRxyxyxxyy 设设那那么么1.354 6yxx求求函函数数的的最最大大值值. . 225 60.354 634565.yyxxxx 解解
10、：函函数数定定义义域域为为， ，且且222.236,211.xyxy已已知知求求证证 222236,1422311.23211.yxyxyxy证证明明：因因为为2x2x所所以以因因此此习题习题3.1（第（第36页）页）函函数数定定义义域域为为 ，且且当当且且仅仅当当即即时时，函函数数有有最最大大值值221.5 6y0y = 3 x-5 +4 6-x(3 +4 )(x-5+6-x) = 5 4 x-5 = 3 6-x,134 x =5.25三三维维柯柯西西不不等等式式三三维维三三角角不不等等式式22222221231231122332222221112222221212122.(a +a +a )(b +b +b )(a b +a b +a b ) ;x +y +z +x +y +z(x -x ) +(y -y ) +(z -z )