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1、 选修选修4 45 5 不等式选讲不等式选讲 第第三三讲讲 柯西柯西不等式不等式与排序不等式与排序不等式 一一 二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式新知探究新知探究思考思考1 1：对于实数对于实数a,b，我们有重要，我们有重要不等不等式式a2 2b2 22 2ab. 若若a, b, c, d是是实数，实数，试试比较比较( (a2 2b2 2)()(c2 2d2 2) )与与( (acbd) )2 2的大的大小小. . 你有什么发现？你有什么发现？ 定理定理1 1（二维形式的柯西不等式）（二维形式的柯西不等式） 若若a, b, c, d都是实数，则都是实数，则(a2 2b2 2)(c2 2d
2、 2 2)(acbd)2 2, 当当且仅当且仅当adbc时，等号成立时，等号成立. 思考思考2 2：由二维形式的柯西不等式由二维形式的柯西不等式, ,你能你能推导下面的不等式成立吗？其中等号何推导下面的不等式成立吗？其中等号何时成立？时成立？2222|abcdacbd(2)(2)2222|abcdacbd(1)(1)2()()()ab cdacbd(3)(3)( , , ,0)a b c d 思考思考3 3：对于两个平面向量对于两个平面向量, ,，由数，由数量积定义，有量积定义，有| |( (* *) )，该不等式取等号的条件是什么？它与柯该不等式取等号的条件是什么？它与柯西不等式有什么内在联
3、系？西不等式有什么内在联系？当当，共线时取等号，共线时取等号， 设设(a，b)，(c，d)，则，则 2222|abcdacbd二维形式的柯西不等式是向量二维形式的柯西不等式是向量不等式不等式( ( ) )的坐标表示的坐标表示.思考思考4 4：向量不等式向量不等式| | |是是二维柯西不等式的几何解释二维柯西不等式的几何解释, ,如何理解它如何理解它与二维柯西不等式取等号的统一性与二维柯西不等式取等号的统一性? ? 定理定理2 2（柯西不等式的向量形式）（柯西不等式的向量形式） 设设, 是两个向量是两个向量, ,则则有有 | | | | |, 当且仅当当且仅当是零向量是零向量, 或存在实数或存在
4、实数k,k,使使=k k时时,等号成立等号成立. ，共线共线 adbc0.设设(a，b)，(c，d)，则，则 思考思考5 5：在直角坐标系在直角坐标系中中, , 设点设点P P1 1(x(x1 1, y, y1 1), ), P P2 2(x(x2 2, ,y y2 2),O),O为原点为原点, ,则则由由|OP|OP1 1|,|OP|,|OP2 2|,|P|,|P1 1P P2 2| |三者之间三者之间的的不等关系不等关系可得什么不等式？可得什么不等式？xyO OP P1 1P P2 2 定理定理3 3（二维形式的三角不等式）（二维形式的三角不等式） 22222211221212()()xy
5、xyxxyy1122,xyxyR若那么思考思考6 6：在几何上，三角不等式取等号的在几何上，三角不等式取等号的条件是什么？在代数上条件是什么？在代数上, ,如何利用柯西不如何利用柯西不等式证明三角不等式？等式证明三角不等式？22222211221212()()xyxyxxyy当且仅当点当且仅当点P P1 1, P, P2 2与与原点原点O O在同一直线上在同一直线上, ,且点且点P P1 1,P,P2 2在原点在原点O O的的两旁时等号成立两旁时等号成立. .xyO OP P1 1P P2 2思考思考7 7：对于三个点对于三个点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，P P2 2(x(
6、x2 2，y y2 2) )，P P3 3(x(x3 3，y y3 3) )，对应的三角不等式是，对应的三角不等式是什么？什么？xyO OP P1 1P P2 2P P3 3222213132323221212()()()()()()xxyyxxyyxxyy迁移应用迁移应用 例例1 1 已知已知a，b为实数，证明：为实数，证明：442233 2()()()ababab 例例2 2 已知已知 求证：求证： 211.xy22236,xy 例例3 3 求函数求函数 的最大值的最大值. .51102yxx max6 3y 例例4 4 已知已知 求求 的最小值的最小值. .22xy21,xymin15y
7、小结作业小结作业 1. 1.柯西不等式反映了两组实数的平方和之柯西不等式反映了两组实数的平方和之积与两两之积的和的平方的大小关系。积与两两之积的和的平方的大小关系。三角三角不等式可认为是柯西不等式的推论，对具有不等式可认为是柯西不等式的推论，对具有实数的平方和的算术平方根特点的代数式，实数的平方和的算术平方根特点的代数式，可考虑利用三角不等式进行放缩可考虑利用三角不等式进行放缩. 2. 2.使用柯西不等式时，要注意它的外在形使用柯西不等式时，要注意它的外在形式式. . 当所研究的代数式与柯西不等式的左边当所研究的代数式与柯西不等式的左边或右边具有一致的形式时，就可以考虑利用或右边具有一致的形式时，就可以考虑利用柯西不等式对这个代数式进行放缩，其中正柯西不等式对这个代数式进行放缩，其中正确配奏柯西不等式的外在形式是解题的关键确配奏柯西不等式的外在形式是解题的关键. .作业：作业： P37P37习题习题3.13.1： 1, 4, 5, 7.1, 4, 5, 7.