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1、课时作业提升(五十)双曲线及其性质A组夯实基础1(2018绵阳一诊)已知圆O1和圆O2的半径分别为2和4，且|O1O2|8，若动圆M与圆O1内切，与圆O2外切，则动圆圆心M的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线的一支 D抛物线解析：选C设动圆M的半径为R，由题意得|MO1|R2，|MO2|R4，所以|MO2|MO1|6(常数)，且68|O1O2|，所以动圆圆心M的轨迹是以O1，O2为焦点的双曲线的一支2(2018天津一模)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：x2y50，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A1 B1C1 D1解析：选A因为双曲线1(a0，b0)的一条渐近线
2、平行于直线l：x2y50，且双曲线的一个焦点在直线l上，所以 得所以双曲线的方程为13(2017奉贤期末)“mn0”是“方程mx2ny21表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件解析：选C先证充分性，由mn0，知m，n异号，可得，异号，所以方程mx2ny21可化为1，其表示双曲线；再证必要性，若方程mx2ny21表示双曲线，则m0，n0，方程mx2ny21可化为1，由双曲线方程的形式可知，异号，所以mn0.综上，“mn0”是“方程mx2ny21表示双曲线”的充要条件4(2018龙岩模拟)已知c是双曲线1(a0，b0)的半焦距，则的取值范围是()A B(
3、2，1)C D(1,0)解析：选D由e，由于e1，且函数y在(1，)上是增函数，那么的取值范围是(1,0)5(2016山东卷改编)已知双曲线E：1(a0，b0)若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是()A B2C D3解析：选B如图，由题意不妨设|AB|3，则|BC|2设AB，CD的中点分别为M，N，则在RtBMN中，|MN|2c2，故|BN|由双曲线的定义可得2a|BN|BM|1，而2c|MN|2，所以双曲线的离心率e26(2018石家庄模拟)在区间2,3上任取一个数m，则使得双曲线1的离心率e的概率为_解析：因为双曲线1的离心
4、率e，所以3，m210，得2m1,1m，又2m3，所以所求概率为答案：7(2016北京卷)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_解析：双曲线1的渐近线方程为yx，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得1.又正方形OABC的边长为2，所以c2，所以a2b2c2(2)2，解得a2答案：28(2018桂林一模)已知双曲线1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1PF2，则点P到x轴的距离为_解析：由题意知，a3，b4，c5，从而|F1F2|10，|PF1|PF2|6设|PF1|与|PF
5、2|中较小的值为s，则较大的值为6s，因为PF1PF2，所以s2(6s)2100，得s26s32.由PF1F2为直角三角形，知点P到x轴的距离d答案：9(2018上海崇明一模)已知点F1，F2为双曲线C：x21的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，MF1F230(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求的值解：(1)设F2，M的坐标分别为(，0)，(，y0)(y00)，因为点M在双曲线C上，所以1b21，则y0b2，所以|MF2|b2在RtMF2F1中，MF1F230，|MF2|b2，所以|MF1|2b
6、2由双曲线的定义可知：|MF1|MF2|b22，故双曲线C的方程为x21(2)由条件可知：两条渐近线分别为l1：xy0，l2：xy0设双曲线C上的点P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为，由题意知cos .则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|，|PP2|因为P(x0，y0)在双曲线C：x21上，所以2xy2所以cos B组能力提升1(2016全国卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A BC D2解析：选A离心率e，由正弦定理得e.故选A2(2018长沙一模)已知双曲线1(a0，b0)的离心率e2，过双曲线上一点M作直
7、线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1k2的值为()A2B3 CD解析：选B由题意知，e2b23a2，则双曲线方程可化为3x2y23a2，设A(m，n)，M(x，y)，则B(m，n)，k1k233(2018东湖模拟)如图，ABCDEF为正六边形，则以F、C为焦点，且经过A、E、D、B四点的双曲线的离心率为()A1 B1C D1解析：选D以线段FC的中点O为原点，FC所在直线为x轴，FC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy，则可设双曲线方程为1(a0，b0)，正六边形ABCDEF的边长为2，易知两焦点为F(2,0)和C(2,0)，过D点作DMFC于点
8、M，由于三角形OCD为正三角形，所以|DM|，|OM|1，所以D点的坐标为(1，)，又点D在双曲线上，则1b23a2a2b2又a2b2c2b24a2把式代入式得a48a240，所以a242(1)2，所以a1，又ac2，所以a1，故离心率e14若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_解析：双曲线1的渐近线方程为yx.由渐近线过点(3，4)，可得4，即ba，ca，则e答案：5(2018湖南联考)设F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使()0，O为坐标原点，且|，则该双曲线的离心率为_解析：取PF2的中点A，()0，20，
9、OA是PF1F2的中位线，PF1PF2，OA|PF1|由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|，|PF2|，|PF1|在RtPF1F2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|24c2，224c2，e1答案：16(2018江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0(1)解：因为e，所以可设双曲线的方程为x2y2(0)因为双曲线过点(4，)，所以1610，即6所以双曲线的方程为x2y26(2)证明：由(1)可知，ab，所以c2，所以F1(2，0)，F2(2，0)，所以kM
10、F1，kMF2，kMF1kMF2因为点M(3，m)在双曲线上，所以9m26， m23，故kMF1kMF21，所以MF1MF2.所以07(2018兰州诊断)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线为yx，右焦点F到直线x的距离为(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1,0)，若1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切(1)解：依题意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，双曲线C的方程为x21(2)证明：设直线l的方程为yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中点为M，由得2x22mxm230，x1x2m，x1x2，1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍去)或m2，x1x22，x1x2，点M的横坐标为1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，ADAB，过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，点M的横坐标为1，MAx轴，|MA|BD|，过A、B、D三点的圆与x轴相切