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1、课时作业提升(六十三)参数方程1在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(为参数)的左焦点且与直线(t为参数)垂直的直线的普通方程解：椭圆的普通方程为1，左焦点为(4,0)，直线的普通方程为2xy60，所求直线的斜率为，方程为y(x4)，即x2y402已知椭圆C：(为参数)，A，B是C上的动点，且满足OAOB(O为坐标原点)以原点O为极点、以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为(1)求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程；(2)利用椭圆C的极坐标方程证明为定值，并求AOB面积的最大值解：(1)点D的直角坐标为(2，2)，由题意可设A的坐标为(2cos ，sin )，则AD的中点M的坐标为，所
2、以M的轨迹E的参数方程为(为参数)，消去可得E的普通方程为(x1)24(y)21(2)椭圆C的普通方程为y21，化为极坐标方程得232sin2 4，变形得由OAOB可设A(1，)，B，所以(定值)AOB的面积S12易知当sin 20时，S取得最大值13已知在直角坐标系x Oy中，曲线C的参数方程为(t为非零常数，为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为sin2(1)求曲线C的普通方程，并说明曲线的形状；(2)是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点，A，B，且10(其中O为坐标原点)？若存在，请求出t；否则，
3、请说明理由解：(1)t0，可将曲线C的方程化为普通方程，得y24当t1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；当t1时，曲线C为中心在原点的椭圆(2)直线l的普通方程为xy40联立直线与曲线的方程，消去y得(x4)24，化简，得(1t2)x28t2x12t20若直线l与曲线C有两个不同的公共点(x1，y1)，(x2，y2)，则64t44(1t2)12t20，解得t23又x1x2，x1x2，故x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)2x1x24(x1x2)1610解得t23，与t23相矛盾，故不存在满足题意的实数t4(2018衡水模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(ab0，为
4、参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线C1上的点M对应的参数，曲线C2过点D(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)若点A(1，)，B在曲线C1上，求的值解：(1)将M及对应的参数代入得即曲线C1的方程为y21设圆C2的半径为R，由题意得圆C2的方程为2Rcos (或(xR)2y2R2)将D代入2Rcos ，得12Rcos ，即R1曲线C2的方程为(x1)2y21(2)点A(1，)，B在曲线C1上，sin2 1，cos2 1，5(2018东北三省三校一模)已知曲线C的坐标方程是x2y22x，直线l的参数方程是(t为参数)(1)求
5、直线l的普通方程；(2)设点P(m,0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|PB|1，求实数m的值解：(1)直线l的参数方程是(t为参数)，消去参数t可得xym(2)把(t为参数)代入方程x2y22x，得t2(m)tm22m0，由0，解得1m3，t1t2m22m|PA|PB|1|t1t2|，m22m1，解得m1，1又0，实数m1，16在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(k为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系圆C的极坐标方程为2sin (1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点M的坐标为(2,3)
6、，求|MA|MB|的值解：(1)由2sin 得22sin ，即x2y22y0，标准方程为x2(y1)21故圆C的直角坐标方程为x2(y1)21(2)直线l的参数方程为(k为参数)，可化为，代入圆C的直角坐标方程，得221，即t2t70由于2470，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点M(2,3)，故由上式及t的几何意义，得|MA|MB|t1|t2|77(2018太原模拟)已知在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：x2(y2)24(1)以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C1，C2的极坐标方程及其交点的极坐标；(2)求圆C1与C2公共弦的参数方程解：(1)由
7、题意得圆C1，C2的极坐标方程分别为2，4sin ，或圆C1与C2交点的极坐标为，(2)由(1)得圆C1与C2交点的极坐标为，化为直角坐标为(，1)(，1)，圆C1与C2公共弦的参数方程为(t是参数)8(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos (1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,
8、0)和(2)曲线C1的极坐标方程为 (R，0)，其中0因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4当时，|AB|取得最大值，最大值为49(2018贵阳监测)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为1(1)求直线l与圆C的公共点的个数；(2)在平面直角坐标中，圆C经过伸缩变换得到曲线C，设M(x，y)为曲线C上一点，求4x2xyy2的最大值，并求相应点M的坐标解：(1)直线l的普通方程为xy0，圆C的直角坐标方程为x2y21圆心(0,0)到直线l
9、的距离为d1，即圆心到直线的距离等于圆半径，直线l与圆C有1个公共点(2)圆C的参数方程是(02)，曲线C的参数方程是(02)，4x2xyy24cos2 cos 2sin 4sin2 4sin 2，当或时，4x2xyy2取得最大值5，此时M的坐标为或 10(2014全国卷)已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解：(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|
10、则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan 当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为11(2016江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长解：椭圆C的普通方程x21将直线l的参数方程代入x21，得21，即7t216t0，解得t10，t2所以AB|t1t2|12(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a解：(1)曲线C的普通方程为y21当a1时，直线l的普通方程为x4y30由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d当a4时，d的最大值为由题设得，所以a8；当a4时，d的最大值为由题设得，所以a16综上，a8或a16