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1、课时作业提升(四十二)空间中的垂直关系A组夯实基础1(2018西安联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()A且mB且mCmn且nDmn且解析：选C由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确2如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()AA1DBAA1CA1D1DA1C1解析：选D由题易知A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，所以A1C1B1O.3设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，
2、则D若m，mn，n，则解析：选DA中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若，仍然满足mn，m，n，故C错误；故选D4如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC解析：选D因为BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故选项A正确在正四面体中，AEBC，PEBC，DFBC，所以BC平面PAE，则DF平面PAE，从而平面PDF平面PAE.因此选项B，C均正确5如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C
3、1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析：选A由ACAB，ACBC1，得AC平面ABC1.因为AC平面ABC，所以平面ABC1平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上6如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_解析：连接A1C1，则AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角因为ABBC2，所以A1C1AC2，又AA11，所以AC13，所以sinAC1A1.答案： 7ABC中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面ABC，PC4，M是AB上的一个动点，
4、则PM的最小值为_解析：作CHAB于H，连接PH.因为PC平面ABC，AB平面ABC，PCAB.又CHAB，且PCCHC，AB平面PCH，PH平面PCH.所以PHAB，PH为PM的最小值，等于2.答案：28已知a、b、l表示三条不同的直线，、表示三个不同的平面，有下列四个命题：若a，b，且ab，则；若a，b相交，且都在，外，a，a，b，b，则；若，a，b，ab，则b；若a，b，la，lb，l，则l.其中正确命题的序号是_解析：若平面，两两相交于三条直线，则有交线平行，故不正确因为a，b相交，假设其确定的平面为，根据a，b，可得.同理可得，因此，正确由面面垂直的性质定理知正确当ab时，l垂直于平
5、面内两条不相交直线，不能得出l，错误答案：9如图，在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明：(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，又SASB，SDSD，所以ADSBDS，所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知SDBD，又SDACD，所以BD平面SAC.B组能力提升1(2017全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直
6、角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比(1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO， BO.因为ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO，BODOO，从而AC平面DOB，BD平面DOB.故ACBD.(2)解：连接EO.由(1)及题设知ADC90，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.由题设知AEC为直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的
7、，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.2O的直径AB4，点C，D为O上两点，且CAB45，F为的中点沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图)(1)求证：OF平面ACD；(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由(1)证明：由CAB45，知COB90，又因为F为的中点，所以FOB45，因此OFAC， 又AC平面ACD，OF平面ACD，所以OF平面ACD. (2)解：存在，E为AD中点，因为OAOD，所以OEAD. 又OCAB且两半圆所在平面互相垂直所以OC平面OAD.
8、又AD平面OAD，所以ADOC，由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD平面OCE.又AD平面ACD，所以平面OCE平面ACD.3如图所示，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E，F分别在线段BC，AD上，EFAB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF平面ECDF.(1)求证：NC平面MFD；(2)若EC3，求证：NDFC；(3)求四面体NEFD体积的最大值(1)证明：平行四边形MNEF和EFDC都是矩形，MNEF，EFCD，MNEFCD，MNCD.四边形MNCD是平行四边形NCMD.NC平面MFD，MD平面MFD，NC平面MFD.(2)证明：连接ED，交FC于点O，如图所示平面MNEF平面ECDF，且NEEF，平面MNEF平面ECDFEF，NE平面MNEF，NE平面ECDF.FC平面ECDF，FCNE.ECCD，四边形ECDF为正方形，FCED.又EDNEE，ED，NE平面NED，FC平面NED.ND平面NED，NDFC.(3)解：设NEx，则FDEC4x，其中0x4，由(2)得NE平面FEC，四面体NEFD的体积为VNFEDSEFDNEx(4x)VNFED22，当且仅当x4x，即x2时，四面体NEFD的体积最大，最大值为2.