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1、第7讲 函数图象一、选择题1函数ln的大致图像为(如图所示) ()解析yln|2x3|故当x时，函数为减函数，当x0且y0时，x2y21，当x0时，y2x21，当x0且y0时，无意义由以上讨论作图如上图，易知是减函数答案B3已知函数f(x)xtan x，若实数x0是函数yf(x)的零点，且0tx0，则f(t)的值 ()A大于1 B大于0 C小于0 D不大于0解析分别作出函数yx与ytan x在区间上的图象，得到0x0，且在区间(0，x0)内，函数yx的图象位于函数ytan x的图象上方，即0x0，则f(t)0，故选B.答案B4如图，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C、D位于第一象限，直线l：x
2、t(0t)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数Sf(t)的图象大致是 ()解析当直线l从原点平移到点B时，面积增加得越来越快；当直线l从点B平移到点C时，面积增加得越来越慢故选C.答案C5在同一坐标系中画出函数ylogax，yax，yxa的图象，可能正确的是()解析当a1或0a1时，排除C；当0a1时，再排除B；当a1时，排除A.答案D6如右图，已知正四棱锥SABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分记SEx(0x1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数yV(x)的图象大致为 ()解析(1)当0x时
3、，过E点的截面为五边形EFGHI(如图1所示)，连接FI，由SC与该截面垂直知，SCEF，SCEI，EFEISEtan 60x，SI2SE2x，IHFGBI12x，FIGHAH2 x，五边形EFGHI的面积SFGGHFI 2x3x2，V(x)VCEFGHI2VIBHC(2x3x2)CE21(12x)(12x)x3x2，其图象不可能是一条线段，故排除C，D.(2)当x1时， 过E点的截面为三角形，如图2，设此三角形为EFG，则EGEFECtan 60(1x)，CGCF2CE2(1x)，三棱锥EFGC底面FGC上的高hECsin 45(1x)，V(x)CGCFh(1x)3，V(x)(1x)2，又显
4、然V(x)(1x)2在区间上单调递增，V(x)0，函数V(x)(1x)3在区间上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B，应选A.答案A二、填空题7设函数f(x)|x2|xa|的图像关于直线x2对称，则a的值为_解析因为函数f(x)的图像关于直线x2对称，则有f(2x)f(2x)对于任意实数x恒成立，即|x4|x2a|x4|x2a|对于任意实数x恒成立，从而有解得a6.答案68使log2(x)x1成立的x的取值范围是_解析作出函数ylog2(x)及yx1的图象其中ylog2(x)与ylog2 x的图象关于y轴对称，观察图象(如图所示)知1x0，且a1，f(x)x2ax，当x(1,1)时，均有f
5、(x)，则实数a的取值范围是_解析 由题知，当x(1,1)时，f(x)x2ax，即x2 ax.在同一坐标系中分别作出二次函数yx2，指数函数y ax的图象，如图，当x(1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需a2且a1.故实数a的取值范围是a1或1a2.答案 ，1)(1,2三、解答题11设函数f(x)x(x(，0)(0，)的图像为C1，C1关于点A(2,1)的对称的图像为C2，C2对应的函数为g(x)(1)求函数yg(x)的解析式，并确定其定义域；(2)若直线yb与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标解(1)设P(u，v)是yx上任意一点，vu.设P关于A(2,1)对称
6、的点为Q(x，y)，代入得2y4xyx2，g(x)x2(x(，4)(4，)(2)联立x2(b6)x4b90，(b6)24(4b9)b24b0b0或b4.当b0时得交点(3,0)；当b4时得交点(5,4)12已知函数yf(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2x)f(2x)(1)证明：函数yf(x)的图象关于直线x2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x0,2时，f(x)2x1，求x4,0时的f(x)的表达式解析 (1)证明设P(x0，y0)是函数yf(x)图象上任一点，则y0f(x0)，点P关于直线x2的对称点为P(4x0，y0)因为f(4x0)f2(2x0)f2(2x0)f(x0)y0
7、，所以P也在yf(x)的图象上，所以函数yf(x)的图象关于直线x2对称(2) 当x2,0时，x0,2，所以f(x)2x1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x )2x1，x2,0当x4，2时，4x0,2，所以f(4x)2(4x)12x7，而f(4x)f(x)f(x)，所以f(x)2x7，x4，2所以f(x)13当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，求a的取值范围解 设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2) 时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图象在f2(x)logax的下方即可当0a1时，如图，要使在(1,
8、2)上，f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，loga21，1a2.a的取值范围是(1,214已知函数f(x)x|mx|(xR)，且f(4)0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；(5)求集合Mm|使方程f(x)m有三个不相等的实根解(1)f(4)0，4|m4|0，即m4.(2)f(x)x|mx|x|4x|函数f(x)的图象如图：由图象知f(x)有两个零点(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为2,4(4)从图象上观察可知：不等式f(x)0的解集为：x|0x4(5)由图象可知若yf(x)与ym的图象有三个不同的交点，则0m4，集合Mm|0m4